高等数学：5-8 常微分方程的应用

1、欧拉方程的解法,上述结果可以写为,一般地,例,求欧拉方程,的通解,解,作变量变换,原方程化为,即,或,1,方程(1)所对应的齐次方程为,其特征方程,特征方程的根为,所以齐次方程的通解为,设特解为,代入原方程，得,所给欧拉方程的通解为,常系数线性微分方程组,一、微分方程组,微分方程组由几个微分方程联立而成的方程组称为微分方程组,注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几个具有同一自变量的函数,常系数线性微分方程组微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程组,步骤,从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程,二、常系数线性微分

2、方程组的解法,解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数,把已求得的函数带入原方程组,一般说来，不必经过积分就可求出其余的未知函数,例1解微分方程组,由(2)式得,设法消去未知函数,解,两边求导得,把(3), (4)代入(1)式并化简, 得,解之得通解,再把(5)代入(3)式, 得,原方程组的通解为,例如,注意,例2 解微分方程组,解,类似解代数方程组消去一个未知数,消去,即,非齐线性方程,其特征方程为,解得特征根为,易求一个特解,于是通解为,将()代入()得,方程组通解为,注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另一个未知函数的通解时，一般不再积分,三、小结,注意求出其中一个解，再求另一个解

3、时，宜用代数法，不要用积分法避免处理两次积分后出现的任意常数间的关系,注意微分算子D的使用,北京理工大学 2011-2012学年第一学期 工科数学分析,第八节 常微分方程的应用,应用范围,几何：求曲线的形状；探照灯反光镜的设计； 物理：运动轨迹方程；衰变问题；物体的冷却问题；落体问题；发射问题；自由振动问题； 其他领域：生物，医学，生态，经济，保险，战争，人口控制与预测等等,1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件,2) 求出微分方程的通解,3) 根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解,用常微分方程求解实际问题的一般步骤,对所得结果进行分析，解释它的实际意义

4、。如果它与实际相差甚远，则应修改模型，并重新求解,例1,设曲线上任一点的切线在第一象限内的线段恰好被切点所平分，已知该曲线通过点( 2 , 3 ) ，求该曲线的方程,解,由题意，它是切线在第一象限内的线段的中点,设 M ( x , y )是曲线上任意一点,则切线与 y 轴的交点坐标是( 0 , 2 y ),与 x 轴的交点是 ( 2x , 0 ),则得微分方程,因此，所求曲线的方程为,所以切线的斜率为,若设曲线方程为,分离变量，解得,代入条件,例 我舰艇发射核弹攻击航母，核弹头始终对航母，设航母沿y轴正向以匀速v行驶，核弹速度5v,设导弹由x轴点(a,0)处发射时，航母位于原点，求核弹的轨迹,

5、解 设核弹轨迹为 y=y(x,当核弹位于P点时，航母位于 B(0,vt),从而,又曲线段PA的长度为,由上面两式消去t，得,上式两端对x求导，有,这是一个不显含y的方程,即可降阶求解,例 有旋转曲面形状的凹镜，假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行（如车灯的反射镜面），求这旋转曲面的方程,解,如图,8 /11,得微分方程,由,9 /11,分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,解,受力分析,由于将平衡位置取为原点，重力与一部分弹性 恢复力相抵消，故不再考虑重力,它不包括在平衡位置时与重力 相抵消的那一部分弹性力,物体自由振动的微分方程,HIV/AIDS 控制模型-常微分方程的生物医学应用,