高等数学：BIT高数总复习

1、数量积也称为“点积”、“内积,结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积,关于数量积的几点说明,证,证,数量积符合下列运算规律,1）交换律,2）分配律,3）若 为数,若 、 为数,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,解,证,马尔萨斯人口预测模型 (1798,x(t) :时刻t的人口，则某段时间内人口的增长数目,基本假设 : 人口相对增长率 r 是常数,不考虑移民,考虑移民,写微分方程的形式为,求积分，结果为,1月10号上午3,4节加课地点：1-204,高数集体答疑时间：1月12日上午10:00-12:00；下

2、午2:00-4:00 地点：1-108,109,期末复习课,北京理工大学 2011-2012学年第一学期 工科数学分析,高等数学1,1 极限与连续,重点,极限的计算,了解极限的概念，知道左右极限的概念,知道函数在点,处存在极限的充分必要,条件是,关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法,1）极限的四则运算法则,运用时要注意法则的条件是各个部分的极限都存在,且分母不为0,当所求极限不满足条件时,常根据函数的具体情况进行分解因式,以消去,零因子）、或无理式的有理化、或三角函数变换,或分子分母同时除以,分子分母同,趋于无穷大时,等变形手段,以使函数满足四则运算法则的条件,2）两个重要极限,熟记,要

3、注意这两个公式自变量的,变化趋势以及相应的函数表达，同时要熟悉它们的变形形式,高等数学1,3）利用无穷小的性质计算,无穷小量是指极限为0 的量，有限个无穷小量之和,积都是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。等价无穷小代换,4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值,5）利用洛必塔法则计算,例1：求下列极限,解,1,分子、分母同除以,则,6)幂指函数型 ， ， 求极限对数法,高等数学1,2,解,首先将分母有理化，然后再利用重要极限计算,3,解,由于,时，有,因此,还是无穷小量，故,高等数学1,4,解,5,解,6,解,高等数学1,2、函数连续,理解函数在一点连

4、续的概念,它包括三层含义,在,的一个邻域内有定义,在,处存在极限,极限值等于,在,处的函数值,这三点缺一不可,若函数,在,至少有一条不满足上述三条,则函数在该点是间断的,会求函数的间断,点,了解函数在区间上连续的概念,由函数在一点连续的定义,会讨论分段函数的连续性,知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数,两个连续函数的复合仍为,连续函数,初等函数在其定义域内是连续函数,知道闭区间上连续函数的性质（最大最,小值存在定理、零点定理、介值定理,例2,讨论函数,在,处的连续性,高等数学1,解,的定义域为,由于,在,点处的左右极限不相等,故极限不存在,因此函数,在,点间断,2：导数与微分

5、,高等数学1,理解导数的概念,了解导数的几何意义,会求曲线的切线和法线,会用定义计算简单函数的导数,知道可导与连续的关系,高等数学1,在点,处可导是指极限,存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成,在点,处的导数,的几何意义是曲线,上点,处的切线斜率,曲线,在点,处的切线方程为,高等数学1,函数,在,点可导，则在,点连续。反之函数,在,点连续，在,点不一定可导,了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性,熟记导数与微分的基本公式；熟练掌握导数与微分的四则运算法则,微分四则运算法则与导数四则运算法则类似,熟练掌握复合函数的求导法则。（注意：抽象函数求导,高等数学1,掌握隐函数求导法，取对数

6、求导法，参数表示的函数的求导法,一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如,求,直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得,两端求导得,整理后便可得,高等数学1,若函数由参数方程,的形式给出，则有导数公式,了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数,7. 分段函数求导(注意:分段点处的求法,高等数学1,3：导数的应用,了解拉格朗日中值定理的条件和结论；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式,掌握洛必塔法则，会用它求,型不定式的极限，以及,型不定式的极限,掌握用一阶导数判别函数增减性的方法；会求函数的单调区间,若在区间,上有,则,在区间,上单调增加,若在区间,上有,则

7、,在区间,上单调减少,高等数学1,了解极值和极值点的概念；熟练掌握求极值的方法；了解可导函数极值存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别与联系,在点,满足,那么,若,在点,的左右由正变负（或,，则点,是,的极大值点,若,是,在点,的左右由负变正,或,，则点,的极小值点,极值点如果可导则一定是驻点；驻点的两边导数如果变号则一定是极值点,了解曲线凹凸的概念；掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法；会求曲线的拐点,若在区间,上有,则,在区间,上是凹函数,若在区间,上有,则,在区间,上是凸函数,高等数学1,会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线,若,则,是曲线,的水平渐进线,若,则,是曲线,的垂直渐进线,熟练掌握求

8、解一些简单的实际应用问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主,求,在区间,上的最大值的方法是：找出,的所有驻点,找出,的所有不可导点,将所有这些点的函数值与两个端点的函数值,一起比较大小，最大者为最大值，相应的点为最大值点,求最小值的方法类似,高等数学1,关于积分概念的理解和积分计算问题分析,一、原函数与不定积分,已知函数,在某区间上有定义,如果存在函数,使得在该区间上的任一点处,都有关系式,成立,则称函数,是函数,在该区间上的一个原函数,设函数,是函数,的一个原函数,则,的全体原函数,C为任意常数,称为,的不定积分,记为,性质,1,2,2、基本积分表,是常数,5、第一类换元法,4、直接积分

9、法,第一类换元公式（凑微分法,由定义直接利用基本积分表与积分的性质 求不定积分的方法,常见类型,6、第二类换元法,第二类换元公式,常用代换,7、分部积分法,分部积分公式,8.选择u的有效方法,9、几种特殊类型函数的积分,1）有理函数的积分,定义,两个多项式的商表示的函数称之,真分式化为部分分式之和的待定系数法,1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律,特殊地,分解后为,特殊地,分解后为,将有理函数化为部分分式(简单分式)之和,容易求得,凑微分,令,2） 三角函数有理式的积分,定义,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,3） 简单无理函数的积分,讨

10、论类型,解决方法,作代换去掉根号,二、典型例题,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,倒代换,例6,解,解得,例7,解,例8,解,例9,解,例10,解,广义积分,定积分,定积分 的性质,定积分的 计算法,牛顿-莱布尼茨公式,定积分重点内容,例,解,微 元 法,解 题 步 骤,定积分应用中的常用公式,定积分应用内容,一、平面图形的面积,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,二、平面曲线的弧长,三、空间立体的体积,四、旋转体的侧面积 (补充,侧面积元素,的线性主部,不是薄片侧面积S 的,注意,四、 定积分在物理上的应用,高等数学1,7：常微分方程,了解微分方程及其阶、解的概念；知道什么是线性微分方程,熟练掌握可分离变量的微分方程的解法；掌握齐次型方程的解法,知道线性微分方程解的结构,熟练掌握一阶线性微分方程的解法,