概率论习题答案随机变量的数字特征(最新整理)

1、第3章 随机变量的数字特征1，在下列句子中随机地取一单词，以 x 表示取到的单词所包含的字母个数，试写出 x 的分布律并求e( x ) .“they found peking greatly changed”解：根据题意，有 1/5 的可能性取到 5 个单词中的任意一个。它们的字母数分别为 4，5，6，7，7。所以分布律为x4567pk1/51/51/52/5e( x ) = 1 (4 + 5 + 6 + 7 + 7) = 29 / 5 .52，在上述句子的 29 个字母中随机地取一个字母，以 y 表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出 y 的分布律并求e(y ) 。解：个单词字母数还是

2、，。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为y4567pk4/295/296/2914/29e(y ) =1 (4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 14) = 175 / 29 .293，在一批 12 台电视机中有 2 台是次品，若在其中随即地取 3 台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为 0，1，2台的概率分别为c 36c30p = 10 =，1211c1c 29c31p = 2 10 =，1222c 2c11c32p = 2 10 =。1222所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为e = 6 0 +119 1 +22

3、1 2 = 1 (台) 。2224，抛一颗骰子，若得 6 点则可抛第二次，此时得分为 6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。解：根据题意，有 1/6 的概率得分超过 6，而且得分为 7 的概率为两123457891011121111111111166666363636363636个 1/6 的乘积（第一次 6 点，第 2 次 1 点），其余类似；有 5/6 的概率得分小于 6。分布律为ypk得分的数学期望为e = 1 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) +61 (7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) = 49

4、 (点) 。36125，（1）已知x p(l) ， px= 5 = px= 6 ，求e( x ) 。（2）设随机变量 x 的分布律为px= k =6,p2 k 2k = 1,-2,3,-4,l，问 x 的数学期望是否存在？解：（1）根据pl ，可得= l5 e-l = l6 e-l =，因此x ( )px55!px66!计算得到l= 6 ，即x p(6) 。所以e( x ) =6。（2）根据题意，按照数学期望的公式可得+e( x ) =(-1)k-1 kpx= k =+ (-1)k-1 k 6 = 6 + (-1)k-1 1 = 6 ln 2 ，nk =1k =1p2 k 2p2 k =1kp

5、2因此期望存在。（利用了ln(1 +x) = (-1)n x,- 1 0其他，求一天的平均耗水量。（2）设某动物的寿命 x（以年计）是一个随机变量，其分布函数为0,f (x) = 1 - 25 ,x 5x 5x 2求这种动物的平均寿命。解：（1）一天的平均耗水量为e( x ) =+ xf (x)dx =+ x 2 e- x / 3+2xdx = -d (e+- x / 32xe- x / 3 ) = 0 + dx =+ - 2xd (e-x / 3 )-0903030+= 0 + 2e-x / 3dx = 6 （百万升）。0（2）这种动物的平均寿命为+25+ 50（年）。e( x ) = xd

6、f (x) =- xd (1 -2 ) =x5 2 dx = 10x57，在美国，致命的汽车事故所占的比例 x 的概率密度为42x(1 - x)5 ,f (x) = 0 x 1，求 x 的数学期望。0,其他+11解： e( x ) = xf (x)dx = 42x 2 (1 - x)5 dx = - 7x 2 d (1 - x)6 -0112 6 16 07 17 17= - 7x=1/4。(1 - x)0 + 14x (1 - x)0dx = - 2xd (1 - x)0= - 2x(1 - x)0 + 2(1 - x) dx08，设随机变量 x 具有概率密度如下，求e( x ) 。2(1

7、-1/ x 2 ),f (x) = 1 x 2。0,其他+2解： e( x ) = xf (x)dx = 2x(1 - 1/ x 2 )dx = (x 2 - 2 ln x) 2 = 3 - 2 ln 2 。1-19，设随机变量 x 具有概率密度如下，求e( x ) 。3(1 + x)2 / 2,f (x) = 3(1 - x)2 / 2,0,-1 x 00 x 0其他，另有 x 的函 0,数 g( x ) = x 2 ,x 4+4+解： eg( x ) = g(x) f (x)dx = x 2 0.3e-0.3x dx + 16 0.3e-0.3x dx-04= 1 (200 - 584e-

8、1.2 ) （不符书上答案）913，设随机变量 x 1 , x 2 ,l, x n 相互独立，且都服从区间(0,1) 上的均匀分布，记y1 = min( x 1 , x 2 ,l, x n ) ，yn = max( x 1 , x 2 ,l, x n ) ，求e(y1 ), e(yn ) 。解：因为 x i 0, (i = 1,2,ln) 的分布函数为f (x) = x, 1,x 00 x 1，所以可以求出x 1y1,yn 的分布函数为10,y 0 0,y 0fmin( y) = - (1 - y)n ,0 y 1，fmax( y) = yn ,0 y 1。1,y 1 1,y 1y1,yn 的

9、密度函数为n(1- y)n-1,fmin ( y) = 0 y 1nyn-1,， fmax ( y) = 0 y 0f (x) = s2 0,其他d( x )其中s 0 为常数，求e( x ), d( x ),。+ x 2- 2222 +22pe解： e( x ) = xf (x)dx = x /(2s ) dx = - xe- x2/(2s )+ e- x/(2s ) dx = s，-0 s+ x32200222 +22e( x 2 ) = x 2 f (x)dx = e- x /(2s ) dx = - x 2 e- x /(2s )2+ 2xe- x /(2s ) dx-0 s00= -

10、 2s2 e- x2 /( 2s2 ) + = 2s2 ，0d( x ) = e( x 2 ) - e( x )2 = (2 -p/ 2)s2 ，d( x )=(2 -p/ 2)s。+（本题积分利用了 e0- x2 / 2dx =p2，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）19，设随机变量 x 服从几何分布，其分布律为px= k = (1 - p)k-1 p,k = 1,2,l，其中0 p 1是常数。求e( x ), d( x ) 。+解： e( x ) =kpx= k = p+ k (1 - p)k-1 = p 1 = 1 ，k =1k =1p 2p+e( x 2 ) =k 2 px=

11、k = p+ k 2 (1 - p)k-1 = p + k (k + 1)(1 - p)k-1 - + k (1 - p)k-1 k =1= p( 2 -p31 ) =p 2k =12 - 1 ，p 2p k =1k =1所以， d( x ) = e( x 2 ) - e( x )2 =1 - 1p 2p= 1 - p 。p 2+本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设s( p) =k (1 - p)k-1 ，k =1p+则 s( p)dp = -(1 - p)k1k =1= 1 - p1，所以s( p) = p 1s( p)dp =1 。类似的，设p 2+s ( p) =k (k + 1

12、)(1 - p)k =1两次求导得到s ( p) =k -12，则经过两次积分以后可得到。(1 - p)2p，在经过p320，设随机变量 x 具有概率密度为 kqkf (x; k,q) = xk +1 , 0,x qx 0,q 0 为常数。（1） 若k 1 ，求e( x ) 。（2） 问当k = 1 时， e( x ) 是否存在？（3） 若k 2 ，求d( x ) 。（4） 问当k = 2 时， d( x ) 是否存在？+ kqkk+ 1kq解：（1）当k 1 时， e( x ) =+ 1 xf (x)dx = kx-qdx = kqkq xdx =。k - 1x（2）当k = 1 时， e(

13、 x ) = qdx = + ，即e( x ) 不存在。dx =q+ kqkkq2x（3），当k 2 时， e( x 2 ) = x 2 f (x)dx = -qk -1，k - 2所以，=2 - 2 =q2 1-k =kq2。d( x )e( x )e( x )k k - 2(k - 1)2 (k - 1)2 (k - 2)（4）当k = 2 时， e( x 2 ) =+ x 2 f (x)dx =+ 2q2dx = + ，所以d( x ) 不存在。-q x21，（1）在 14 题中，求cov( x ,y ),rxy 。（2） 在 16 题中，求cov( x ,y ),rxy ， d( x

14、+ y ) 。（3） 在第二章习题第 14 题中，求cov( x ,y ),rxy 。解：（1）根据 14 题中结果，得到cov( x ,y ) = e( xy ) - e( x )e(y ) = 3 /14 - 1/ 2 3 / 4 = -9 / 56 ；2因为e( x 2 ) = k 2 pxk =0= k = 4 / 7 ，2e(y 2 ) = k 2 py = k = 27 / 28 ，k =0所以d( x ) = e( x 2 ) - e( x )2 = 9 / 28 ， d(y ) = e(y 2 ) - e(y )2 = 45 /112 ，rxy =cov( x ,y )= -5

15、 。d( x ) d(y )5（2）根据 16 题结果可得：cov( x ,y ) = e( xy ) - e( x )e(y ) = 2 /15 - (2 / 5)2 = -2 / 75 ；11- y因为 e( x 2 ) = x 2 f (x, y)dxdy = dy 24x3 ydx = 1/ 5 ，rr0011- ye(y 2 ) = y 2 f (x, y)dxdy = dy 24 y 3 xdx = 1/ 5 ，rr00所以， d( x ) = e( x 2 ) - e( x )2 = 1/ 25 ， d(y ) = e(y 2 ) - e(y )2 = 1/ 25d( x + y

16、 ) = d( x ) + d(y ) + 2cov( x ,y ) = 2 / 75 ，d( x ) d(y )rxy =cov( x ,y )= - 2 。3（3）在第 2 章 14 题中，由以下结果xy012px = k00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38py = k0.160.340.501得 到 ，e( x ) = 1.14 ，e(y ) = 1.34 ，e( xy ) = 1.8 ，e( x 2 ) = 1.9 ，e(y 2 ) = 2.34 ，所以， cov( x ,y ) = e( xy ) - e( x )e(

17、y ) = 0.2724 ；d( x ) = e( x 2 ) - e( x )2 = 0.6004 ， d(y ) = e(y 2 ) - e(y )2 = 0.5444 ,rxy =cov( x ,y )= 0.2724 = 0.4765 .d( x ) d(y )0.571722，设随机变量(x,y)具有d( x ) = 9, d(y ) = 4 ， rxyd( x - 3y + 4) 。= -1/ 6 ，求d( x + y ) ，解：根据题意有 d( x + y ) = d( x ) + d(y ) + 2cov( x ,y )d( x ) d(y )= d( x ) + d(y )

18、+ 2rxy= 9 + 4 + 2 (-1/ 6) 6 = 11。d( x - 3y + 4) = d( x + 4) + d(3y ) - 2cov( x + 4,3y )= d( x ) + 9d(y ) - 6cov( x ,y ) = 9 + 36 - 6 (-1/ 6) 6 = 51 。123ii23，（1）设随机变量 x , x , x 相互独立，且有 e( x ) = 0, e( x 2 ) = 1，123i = 1,2,3 ，求ex 2 ( x - 4 x )2 。（2）设 x 1 , x 2 , x 3 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求123e( x - 2

19、x + x )2 。解：（1）因为 x 1 , x 2 , x 3 相互独立，所以1231232233ex 2 ( x - 4 x )2 = e( x 2 )e( x - 4 x )2 = e x 2 - 8x x + 16 x 2 22332233= e x 2 - 8x x + 16 x 2 = e x 2 - 8e x e x + 16e x 2 = 1 - 0 + 16 = 17 。（2）根据题意，可得e( x i ) = 1/ 2,e( x 2 ) = d( x ) + e( x )2 = 1/ 3 ， i = 1,2,3iii。123123121332e( x - 2 x + x

20、)2 = e x 2 + 4 x 2 + x 2 - 4 x x + 2 x x - 4 x x 123121332= e x 2 + 4e x 2 + e x 2 - 4e x e x + 2e x e x - 4e x e x = 1 + 4 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1 。3332224，设随机变量(x,y)具有概率密度f (x, y) = 1,0,y x,0 x 1其他验证 x,y 不相关，但 x,y 不是相互独立的。1x解：因为e( x ) = xf (x, y)dxdy = dx xdy = 2 / 3 ，rr0- x1xe(y ) = yf (x, y)dxdy = d

21、x ydy = 0 ，rr0- x1xe( xy ) = xyf (x, y)dxdy = dx xydy = 0 ，rr0- x所以， cov( x ,y ) = e( xy ) - e( x )e(y ) = 0 ，即，验证了 x,y 不相关。+ x又因为， f x(x) =f (x, y)dy = 1dy = 2x， 0 x 1 ；- x- 0,其 他 1 1dx， - 1 y 0- y1 + y， 0 y 0.5+ 1fy ( y) = f (x, y)dx = 1dx， 0 y 1= 1 - y， 0.5 y 1 ，- y0， 其 他 0，其 他显然， f (x, y) f x (x) fy ( y) ，所以验证了 x,y 不是相互独立的。25，将n 只球(1 n号）放入n 只盒子(1 n号）中去，一只盒子装一之球。若一只球装入与之同号的盒子中，称为一个配对。记 x 为总的配对数，求e( x ) 。解：引入随机变量定义如下=1x i0第i个球落入第i个盒子第i个球未落入第i个盒子则总的配对数 xn= i=1x i ，而且因为pxi= 1 = 1 ，所以， x n n (n, ) 。1n故所以， e( x ) = n 1 =