新北师大版直角三角形的边角关系讲义

1、第一章 直角三角形的边角关系特殊角的三角函数值知识点一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）解直角三角形35在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是 解直角三角形。斜边对边锐角A的正弦、余弦和正切都是/ A的三角函数。在RtAABC中，/ C= 90我们把锐角A的对边与斜边的比叫之间存在如下关系:/A的对边 a 做/A 的正弦（sinc），记作 sin A，即sinA=二。（1）三边之间关系:a2 +b2 = c2;把/ A的邻边与斜边的比叫做/ A的余弦（cosine），记作cos A，（2）锐角之间关系:/ A+ / B=90;NA的邻边 bc 0 A =斜边（3）边角之间关系:sinA

2、=，cosA=-，tanAr。（其中/ A ccb的对边为a，/ B的对边为b，/ C的对边为c）把/ A的对边与邻边的比叫做 / A的正切（tangent），记作tan A，NA的对边a即tan A N A的邻边b。 面积公式：S血BC = ab =丄ch（h为斜边上的咼）2 2直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素注意:(1)在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数;2、解直角三角形的基本类型和方法:若求角：一般用已知边比已知边，去寻找

3、未知角的某一个三角函数;已知条件解法求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则： 一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计一边直角边a及锐角B = 90-A，b = atanA，c= a sin A算。（2）一锐斜边c及锐角AB = 90-A , a= c si nA, b= ccosA对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和， 中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、 面积等等。对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转 化为基本量，或由基本量间关系通过列方程 （组），然后解方程（

4、组）， 求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来,B = 90-A，两条直角边a和b解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通 过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的 方法，实现问题的有机转化两边直角边a和斜边csinA=旦，B = 90-A，小八卅 c3、各锐角三角函数之间的关系(1)互余关系sinA=cos(90 A)，cosA=sin(90 A)(2)平方关系(3)倒数关系tanA=cot(90 A)，cotA=tan(90 A)2 2sin A +cos A =1t

5、an A*ta n(90 A)=1坡度的定义及表示我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度I的比叫做坡度(或坡比)。坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值关系是:tanaI注意:(1)坡度一般写成1： m的形式(比例的前项为1,后项可以是小数)；(2)若坡角为a，坡度为i=tana，坡度越大，则a角越大,锐角 asinatana30*12启2羽345屈2蔬2160、启21273皓大漩卜増大坡面越陡。1、30，45，60角的三角函数值(重点)根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、 余弦和正切值正弦、余弦的增减性：当0W a W 90时，sin a随a的增大而增大，CO

6、Sa随a 的增大而减小。正切、余切的增减性：当0 va ”、“=” 若 “V”)（结果精确到27. （ 2014?陕西）用科学计算器计算：五+3tan56 竺0.01)（2014江苏苏州）如图，在 ABC 中,AB= AC= 5 , BC= 8 .若28.（ 2013湖北省鄂州市，7，3分）如图,RtZABC 中，/A=90 AD IBC于点 D，若 BD : CD=3: 2，则 tanB=(BPC=29、如图，飞机)CB.a,如一异EM，则tan /A在目标B的正上方， 地面C处测得飞机的仰角为解直角三角形在生活和生产中有广泛的应用，在测量高度、距离飞机测得地面C处的俯角为B,飞行高度为h

7、, AC间的距离为s,从这角度 确定方案时都常用到解直角三角形，解这类问题的关键是4个已知量中任取 2个为一组共有6组，那么可以求出BC间距离的有（）把实际问题转化为数学问题，常通过做辅助线构造直角三角形来解决问题。h类型一、坡度坡角问题1、（2014 ?德州）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12 米,斜面坡度为1 : 2，则斜坡AB的长为（）1米C.B.6忑米A. (6 + 73)米10米D.24 米2.(2013聊城)河堤横断面如图所示，BC = 6米，迎水坡AB的坡比为1：，贝y AB的长为（4.（ 2013河 南省）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原

8、水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米A. 12C. 3米B. 4（2012深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米已知斜坡的坡角为 300，同一时 刻，一根长为I米、垂直于地面放置的标杆增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为 错误！未找到引用源。，背水坡坡角 错误！未找到引用源。，新坝体的高为 错误！未找到引用源。，背水坡坡角 错误！未找到引用源。（结果精确到。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度错误！未找到0.1米，参考数据：错误！未找到引用源。

9、）在地面上的影长为 2米，则树的高度为【类型二、仰角俯角问题1.（ 2014?舟山）如图，在地面上的点 A处测得树顶B的仰角为a度，AC=7米，则树高BC为米（用含a的代数式表示）.5.（ 2014?常德）如图，A, B, C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB, BC表示连接缆车站的钢缆.已知 A, B, C所处位置的海拔 AA1,BB1, CC1分别为160米，400米,1000米，钢缆AB , BC分别与水平线AA2, BB2所成的夹角为30 45求钢缆AB和BC的总长度.（结果精确到1米）2、（2014?株洲）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔182米（结果保留顶的

10、仰角为20 （不考虑身高因素），则此塔高约为 整数，参考数据：sin20 0.3420 sin70 0.9397tan20 0.3640 tan70 2.7475cos13 0.9744, tan 13 0.2309, sin52 0.7880, cos52 0.6157,tan 52 1.2799)3、（ 2014云南昆明）如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32 AC为22米，求旗杆CD的高度.（结果精确到0.1米.参考数据:/z*/ z zsin32 0.53, cos32 0.85 ,tan32 0.62

11、)回D5、（ 2014?襄阳）如图，在建筑平台 CD的顶部C处，测得大树 AB的顶 部A的仰角为45测得大树AB的底部B的俯角为30已知平台CD的 高度为5m，则大树的高度为 m （结果保留根号）第20题图4、如图小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为52。，楼底45=C6沖L点D处的俯角为13.若两栋楼AB与CD相距60米，则楼CD的高度约米.（结果保留三位有效数字，参考数据:sin 13 0.2250,6 （ 2014?广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们1. （2013湖北孝感，15, 3分）如图，两建筑物的水平距离 BC为18m,先在点A处测得树顶C的仰角为3

12、0，然后沿AD方向前行10m,到达B从A点测得D点的俯角a为30测得C点的俯角B为60则建筑物CD点，在B处测得树顶C的仰角高度为60 （ A、B、D三点在同一直线上）.请的高度为m （结果不作近似计算）.的高度（结果精确到 0.1m）.（参考r .i-2013四川绵阳，9，3分）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从你根据他们测量数据计算这棵树CDA点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角a为600,又从A点测得D点的俯角B为300,若旗杆底点 G为BC的中点，则矮建筑物的7.（ 2014年云南省）如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪高CD为（）测得旗杆AB的顶端B的仰

13、角为30再向旗杆方向前进 10米到F处，又A. 20 米B .1073 米C .15/3 米D. 5/6测得旗杆顶端B的仰角为60请求出旗杆 AB的高度（取Vs - 1.73结果A；E保留整数）2.5.&（ 2014?四川自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶 D的仰角为45看雕塑底部 C的仰角为30求塑像CD的高度.（最后结果精确到 0.1米，参考数据:9、（ 2014河南）19. （9分）在中俄“海上联合一 2014”反潜演习中，我 军舰A测得潜艇 C的俯角为300.位于军舰 A正上方1000米的反潜直升机 B侧得潜艇C的俯角为680.试根据

14、以上数据求出潜艇 C离开海平面的下潜 深度.（结果保留整数。参考数据 :sin680 0.9,cos680 0.4,tan680 DC45EBCD，从点C测得宣传牌的底部 B的4米到达点F处，又从点E测得宣BM=17米，且点A、B、M在同一直0.1米。参考数据：幕膏173 , sin37线上，求宣传牌AB高度（结果精确到10、（ 2013年遵义）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的 办学理念做成宣传牌（AB ），放置在教学楼的顶部（如图所示）。小明在 操场上的点D处，用1m高的测角仪 仰角为370,然后向教学楼正方向走了 传牌顶部A仰角为450.已知教学楼高0 0.60,cos37o

15、 0.81,tan37o 0.75).AB的高10.（2013?徐州，25, 8分）如图，为了测量某风景区内一座塔度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C，楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45和30已知楼高CD为10m,求塔的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据：721 41,73）且11、屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30。，然后他正对屏幕方向45（2011 ?綦江县）如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子前进了 6米到达B处，又测得该屏幕上端 C处的仰角为45 ，延长AB与楼房垂直相交12、21.13、于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端

16、与下端之间的距离CD .（结fl c（第21B图）如图，一楼房 AB后有一假山，其坡度为i=1 ： J3 ,山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚 C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离 CE =20 米.小丽从楼房顶测得E点的俯角为45”，求楼房AB 的高.（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平 宽度的比）类型三方向角问题.1、（ 2014?珠海）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45。方向、距离2. （ 2014?广西贺州，第24题8分）如图，一艘海轮在 A点时测得灯塔 C小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于在它的北偏东42方向上，它沿正东方向航行80海里后到

17、达B处，此时灯小岛南偏东60方向的B处.塔C在它的北偏西55方向上.（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛 M之间的最小距离（结果用根（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；号表示）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）.（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达(参考数据：sin55- 0.819cos55 0.574tan55 1.428tan42 0.900tan35 0.7,0Qa n48 1.1)11小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）（参考数据：讥 1.41- 1.73晶2.45在渔政船的北偏西 30的方向上，随后

18、渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛 A在渔政船的北偏西60的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB .（结果保留小数点后一位，其中 错误！未找到引用源。-1. 732）海里.（结果精确到个位， 参考数据：勺吃V.4,H.7,3. （ 2014?十堰）如图，轮船在 A处观测灯塔C位于北偏西70方向上， 轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西 50方向匀速航行，1小时后 到达码头B处，此时，观测灯塔 C位于北偏西25方向上，则灯塔 C与码 头B的距离是V62.4）北5、如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点 A、B、C,景区管委会又

19、开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30方向8km处，位于景点 B的正北方向，还位于景点C的北偏西75方向上，已知 AB=5km。4. （2013广东湛江）如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛 A（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从（2）求景点C与景点D之间的距离。（结果精确到 1km）(参考数据：曲=1.73，躬=2.24 , sin53 =cos37 =0.80, sin37 =cos53B测得小船在北偏西15的方向.求点C

20、与点B之间的距离.（上述两小题=0.60, tan53 =1.33,tan37 =0.75， sin38 =cos52 =0.62, sin52=cos38 =0.79，tan38=0.78，tan52 =1.28, sin75 =0.97，cos75 =0.26，tan75 =3.73)7、（ 2014?益阳） 中国-益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况,计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥.如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量 A、B之间的河宽，在垂直于新大桥 AB的直6、(2013苏州）如图,在一笔直的海岸线I上有AB两个观测站，A在B的线型道路I上测得如下数据：/

21、BAD=76.1, / BCA=68.2 , CD=82米.求AB的长（精确到 0.1米）.正东方向,AB=2（单位：km）.有一艘小船在点 P处，从A测得小船在北参考数据:偏西60的方向，从B测得小船在北偏东 45的方向.sin76.1 0.97OS76.1 0.24an76.1 ;4.0（1）求点P到海岸线I的距离;sin68.2 0.9eos68.2 0.3tan68.2 .2.59、（ 2014黑龙江哈尔滨市，24, 6分）如图，AB、CD为两个建筑物，建 筑物AB的高度为60m,从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C 点的俯角/ EAC为30,测得建筑物CD的底部D点的俯角/

22、EAD为45.求两建筑物两底部之间的水平距离求建筑物(1)(2)BD的长度;CD的高度（结果保留根号）.8、（ 2014?黔东南州）黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小第24题图军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45小军站在点D测得旗杆顶端 E点的仰角为30已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米, 求旗杆的高EF的长.（结果精确到 0.1，参考数据： 血1.41 Vs-1.7310、（2013娄底）（7分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立 即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.已知 A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分 别是30和45，试确定生命所在点C的深度.（精确到0.1米，参考数与水平线（参考数据： 旋1.414，的1.732 ）C1 | 1 H 1fDDd/7IC212、下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45 .为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角 10米的建筑物是否需要拆除?11.（