方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案解析

1、y 2_ 2 _Xy 2y 0方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案解析一、选择题X1 .解方程组： 2Xh+ 5)。-1) = 0【答案】XiX2yiy2【解析】【分析】注意到X2xy2y2可分解为（?c + y）fx2y）,从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解【详解】解：由X2xy2y22y即 X y 0 或 X 2y 0，原方程组可化为y2y1;解y2y原方程组的解为X1X2y1y22 .阅读材料，解答问题材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如如：由（2）得y = x-，代入（1）消元得到关于2 1 1- X + F = 0XI = X7 =42F1宀yJ云（G

2、的方程组.k的方程:Vl = Vt =三-团，-方程组的解为|f X + J = 2（1）请你用代入消元法解方程组：护-y=t（2）【答案】解：由（1）得少二2-工，代入（2）得2必-2 - *）2 = 1化简得：F十4兀一5二0= = -1Il =- 1*牛Xt =- 5, X2= 把約二-5, 1分别代入y = 2-J(得：力=7|,旳=1fxi =- 5(X2 = 1* lyi = 71力=1【解析】这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一兀 二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可3.直角坐标系xOy中，有反比例函数 yx0上的一动点

3、P,以点P为圆心的圆x始终与y轴相切，设切点为 A(1) 如图1,0 P运动到与x轴相切时，求 0P2的值.(2) 设圆P运动时与x轴相交，交点为 B C如图2,当四边形ABCP是菱形时, 求出A、B、C三点的坐标. 设一抛物线过 A、B C三点，在该抛物线上是否存在点Q,使QBP的面积是菱形 ABCP1面积的一？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由.2国2 A ( 0, 2J3 ), B (2, 0), C (6, 0);存在，满足 (14, 16 胎),(8, 2灵)和(6 , 0).图1【答案】(1) 16巧；(2)条件的Q点有(0, 2j3),【解析】【分析】(1

4、)当0 P分别与两坐标轴相切时，PA1 y轴，PK丄x轴，x轴丄y轴，且PA= PK,进而得出PK2,即可得出0P2的值；(2)连接PB,设AP= m,过P点向x轴作垂线，垂足为 H,贝y PH=sin60 BP m , P( m,3m )，进而得出答案；2 2 求直线PB的解析式，利用过 A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联 立，列方程组求满足条件的Q点坐标即可.【详解】解：(1)vO P分别与两坐标轴相切， PA丄OA, PK丄OK./ PAO=/ OKP= 90又/ AOK= 90/ PAO=/ OKP=/ AOK= 90四边形OKPA是矩形.又 AP=KP,四边形OKPA

5、是正方形,.0P2= OK2+ pk2= 2PK?OK= 2xy= 2X3163 ；（2）连结BP,则AP=BP,由于四边形 ABCP为菱形，所以 AB= BP= AP, AABP为正三角形,设AP= m，过P点向X轴作垂线，垂足为 H,贝U PH= sin60 BP73P （m 巧）2 2将P点坐标代入到反比例函数解析式中， 则 2= 83 ,2解得：m = 4,（ m=- 4舍去）， 故 P （4, 2 爲）,0 )；贝y AP= 4, OA= 2 亦,OB= BH= 2, CH= BH= 2, 故 A (0, 2石),B (2, 0), C (6, 设过A、B、C三点的抛物线解析式为6

6、,迟2晶,3I抛物线于点Q ,y= a (X 2)( X 6),将A点坐标代入得，a故解析式为y兽过A点作BP的平行线则Q点为所求.设BP所在直线解析式为：y = kx+d,2k则4k解得:故BP所在的直线解析式为：y J3x故直线I的解析式为yJ3x 2 J3，直线I与抛物线的交点是方程组朋的解,品 2 43y 一x x63y 73x 2 罷Xi解得：y10X2142 屈 y2 160X2故得 Q （0, 2忑）,Q （14, 163）, 同理，过C点作BP的平行线交抛物线于点 则设其解析式为：y J3x+e，则0 = 6 j3 故其解析式为：y 73x-6怎,Qi,e，解得:e=- 6,其

7、直线与抛物线的交点是方程组亞X6岳6/3朋的解,可求得Qi （8, 2 J3 ）和（6,0）.（14, 16船）,（8, 2灵）和（6, 0）.本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正方形的判定以及菱形的性质 等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题.2 X2xy2y94.解方程组：225.XyX2X21X3【答案】4,亠,*1y22y3【解析】试题分析：变形方程组中的，得两个方程组即可.2 X2xy2y9心F八-川丁22X y由得：（X- y） 2=9X41y4 2元一次方程，与组中的联立得方程组，求解5所以X- y=3X- y= - 3 与 联立得：y2y23，5，y32

8、y2X解方程组 2X2y2y25，得：X1y1X2y2X解方程组 2X3，得：5X3y3所以原方程组的解为：X1y12，1，y2X2X4y41，2，X3X4y3 1y4 2由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用次方程用代入法求解5解方程组2X2X2y60答案】X1X2点睛：本题考查了二元二次方程组的解法， 变形组中的一个二次方程为两个一元y1y2解析】分析】由（ 1）得2X1，代入到（ 2）中整理为关于 X 的一元二次方程，求出 X 的值，并分别求出对应的【详解】y 值即可解：2 2 X y 1X X 2 y01由（ 1），得 y 2X1（3），把（ 3）代入（ 2），整理，得 X25X 4

9、 0 ，1,X24，得 y13，得 y29，X11X24y13，y29解这个方程，得 X1把 X1 1代入（ 3）把 X2 4 代入（ 3）所以原方程组的解是用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方【点睛】 本题考查了二元二次方程组的解法， 程是解题关键 .3 3y =JC -在平面直角坐标系中，直线I:42沿x轴翻折后，与x轴交于点A,与y2 ,轴交于点与y轴交于点 D,与直线 AB交于点E、点F （点F在点B,抛物线y蔦XhE的右侧）若线段DF/ x轴，求抛物线的解析式；如图，在（2）的条件下，过F作FH丄x轴于点G,与直线I交于点H,在抛物线上是P、Q的坐标，若不存在，请；（3）1

10、, 3 ),( 3, 0).（2）（3）否存在P、Q两点（点 P在点Q的上方），PQ与AF交于点M，与FH交于点N,使得直线 PQ既平分AFH的周长，又平分 AAFH面积，如果存在，求出 说明理由.3 y =N .4 2与x轴、y轴交点坐标，根据X【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b,先求出直线沿x轴翻折，得到 A、B的坐标，把A、B的坐标代入直线 AB的解析式y=kx+b，即可求出直线AB的解析式；(2) 设抛物线的顶点为 P ( h, 0),得出抛物线解析式为：2 242 ,v_f r hr +3 333,根据DF/ x轴，得出F的坐标，把F的坐标代入直线 AB的解析式即

11、可求出 h的值，即可得到答案；GA: FA=3:(3) 过 M 作 MT 丄 FH 于 T,得到 RtAMTF RtMGF,得到 FT: TM : FM=FG:4: 5，设FT=3k, TM=4k, FM=5k，求出FN的值，根据三角形的面积公式求出 AFH的面积，根据之间的等量关系即可求出k的值，设直线 MN的解析式为:6 12SMNF 和y=kx+b，把式，解由方程【详解】、N (6, -4)，代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线4y =X + 43宀4十和I 3的解即可得出P、Q的坐标.(1)解：设直线 AB的解析式为y=kx+b33y =X 直线 42与x轴、y轴交点分别为(-2

12、, 0),(0,33y =-=x 直线42,直线AB与x轴交于同一点(-2, 0)33)与点 A (-2, 0).与y轴的交点(0,3 B (0，园)，+ 03MN的解析32 ),沿x轴翻折,B关于x轴对称30),-7 4=寸兀 hx +3 一点 F ( 2h,i2 /t23),3解得 k=4, b = 2,直线AB的解析式为(2)解：设抛物线的顶点为 Q ( h,2 2抛物线解析式为：32h2).323又点F在直线AB上， 34丿2,-3解得 h1=3, h2= 4抛物线的解析式为(3)解：过M作MT丄FH于T,(舍去)，2 2 .7=忙-3)2 = 丁址上-4比 + 6 RtAMTFs R

13、SGF. FT: TM: FM=FG: GA: FA=3: 4:5,设 FT=3k TM=4k, FM=5k,则 FN=2AH+HF+AF)-FM=16-5k,1 SNF= 2 (AH+HF+AF)-FM=16-5k,又T SbMINF= 2SZAFH.(16-5A)4ftj=24,6解得k= =W或k=218FT, FM=6,(舍去)，24MT=m , GN=4,12TG可,答：存在P的坐标是(1,耳)，Q的坐标是(3, 0).612 6M (5P)、N (6, -4)，代入得：k+b 且-4=6k+b,4亍，b=4,解得：k=4y =3x+4,4 2-=x2 - 4h + 6联立y=3x+

14、4 与 y= 38求得 P (1,耳)，Q (3,0).8本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组、解二 元二次方程组，三角形相似的性质和判定，图形的旋转等知识点，综合运用这些性质进行 计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度.2X7.解方程：y23y 10【答案】【解析】【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成X=-1-y，代入方程1,得到一个关于y的一元二次方程，求出【详解】y值，进而求X.2X解：X由（2）得:把（3）代入(1)y( 3)(1 y)2y23 y 2原方程组的解是【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程

15、组成的方程组的解法，可用代入法 求解.X y 178 .解方程组Xy 30【答案】X215【解析】【分析】根据第一个式子，得出【详解】x与y的关系，代入第二个式子求解.解：X y叮Xy30 由，得x=17+y,把 代入 式，化简得y2+17y+30=0, 解之，得 y1=-15, y2=-2.把 y1=-15 代入 X=17+y,得 X1=2,把y2=-2代入X=17+y,得X2=15 .Xi故原方程组的解为y115X215y2 2【点睛】本题考查了二元二次方程的解法,解题的关键是运用代入法得出X、y的值.9.解方程组22X y22X y2（X8y） 0【答案】yiX2y2X3& 2 y42【

16、解析】【分析】首先把式利用因式分式化为两个一元次方程，和式组成两个方程组，分别求解即可.【详解】X2 y2 2（X y） 0 X2 y2 8 式左边分解因式得，（X y 2） X y 0,/ X-y+2=0 或 X+y=0,原方程组转化为以下两个方程组:X y 20（i）22 或（ii）X y 8解方程组（i）得，X+y2X0y2 8Xiyi73 1 X21 7373 1 y21 73解方程组（ii）得,X32X42y3 2y42,所以，原方程组的解是：5/3 1x?15/3X32x42%1 y2173y32y42Xi【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键

17、10. 2x y 6x2xy 2y 0【答案】【解析】【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可.【详解】解：原方程组变形为2x y 6x 2y x y 02x y 6 2x y 6x 2y 0 或 x y 0原方程组的解为x 4或x 2x故答案为：y【点睛】本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键.x y 1011 解二元二次方程组x2 y 2x 1 0X, 2x21I答案】y1，y2 2【解析】【分析】把方程 变形为y=1-x，利用代入法消去 y,得到关于X的一元二次方程，解方程求出X,然后就可以求出y,从而求解.【详解】X解： 2Xy 10y 2x 1

18、0，把变形化简整理得X2- Xy= 1 - X,代入得 X2-( 1 - X)- 2X- 1 = 0,-2= 0,二 X1= 2 , X2=- 1,把x= 2代入得y=- 1,把x=- 1代入得y= 2,所以原方程组的解为:2X21y11 y22Xi【点睛】本题考查二元二次方程组的解法, 一个未知数的一元二次方程，2 2X y2 212.已知 a bX my1(ab 0)0,n 0般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另 把求得结果代入一个较简单的方程中即可.求证:y2 2mn b2y详见解析【答案】【解析】【分析】先把式代入式可以去掉X,然后整理y的函数，即可证明.【详解】证明：把代入

19、，得(my n)22 a2；2 1,.2 2 2b m y_ 2 2 22mny na y2a b ,2 2 2 m b y- .22. 2 2 22mnb y n b a y2. 2a b0 ,2 , 22 2.2 22 . 2a b m1 y 2mnb y na b0.【点睛】本题主要考查了解二兀二次方程组，整式的乘法，关键是把后整理y的函数.式代入式可以去掉X,然X213.4xy 4y2- 22y2y 12【答案】Xiyi7214X2y2X3y31274X43y4 0【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二 元二次方程，得到四个二元一

20、次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可.【详解】X2 4xy 4y29解：212 0X 2yX 2y将因式分解得：（X 2y）29 , X 2y 3或 X 2y 3将因式分解得：（X 2y4)(x2y X 2y 40 或 X 2y3 0X 2y 3X原方程化为：y或X 2y 40X7X1-X202解上述方程组得：2 ,31y1 ；223)X370X2X12y2y原方程组的解为:X3y1y2y3:2y 430 或X4y4 0X4y4 0X 2y 3X 2y 3 0【点睛】解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个本题考查了二元二次方程组的解法, 方程组.14.解下列方程组:(1)X

21、2 y220 2X 5xy 6y 0217,1.【答案】（XiX2X3y1y2342血,X4y412512【解析】【分析】（1）把原方程组化为:2y2y202y3y20再分别解这两个方程组可得答案.0（2）把两个方程相加得1y -2，再代入求得xy1，联立求解并检验可得答案.3【详解】x2解：（1）因为 2x2y5xy206y20把 x2 5xy 6y20化为：(X- 2y)(x- 3y) =0 ,即x 2y 0或x3y 0原方程组化为:y2202y 02yx 3y20因为x22y2y202y0化为x2y，把2y代入20中,得y24，所以所以方程组的解是2 2x V 同理解yx 3v200得方

22、程组的解是所以原方程组的解是:y14 x22，y2x y(2)因为 42,X3y334242X4y411.36，所以x1y-2，把 X y代入1所以+得:得：xx所以1213，解得:112512经检验丄12是原方程组的解,512所以原方程的解是1125123【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验 是必须步骤.15.解方程组:x2+2y2-101 01x【答案】：y11 X2-130， 2 y2 3【解析】【分析】把(2)変形后代入(1)便可解得答案【详解】x2+2y2-10 X y 10由得:x=y-1y10代入得：2 ,y23x分别代入得:故原

23、方程组的解为:X1x2y2【点睛】此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则(X16.解方程组2Xy)(x y)2y【答案】X2【解析】试题分析:X3X4yiy2y3y4方程整理为:0解方程组即可.8试题解析：由原方程组变形得:y 0 y2 8X2y22 X3y3X4y417.（探究证明）（1）在矩形ABCD 中,H.,求证：EFEF丄 GH,AD ； GH AB ；EF分别交CD于点E, F, GH分别交AD, BC于点G,（结论应用）如图2，在满足（1）的条件下，又 AM丄BN,点M , N分别在边BC, CD上若EF 11 十 BN=，求；GH 15 AM(联系拓展)(3)如图 3，四边

24、形 ABCD中，/ ABO 90 AB= AD= 10, BO CD= 5, AM丄 DN,点 M , NDN分别在边 BC, AB上，求 的值.AMFIffifiifS3【答案】（1）证明见解析;11一；（3）15【解析】分析：过点A作AP/ EF,交CD于P,过点B作BQ/ GH,交AD于Q,根据矩形的性质BN证明PDZA QAB; (2)根据(1)的结论可得竺-；(3)过点D作平行于AB的直线，交过点AMA平行于BC的直线于R,交BC的延长线与S, SC= x, DS= y，在RtCSD RtARD中，用 勾股定理列方程组求出 AR, AB,结合(1)的结论求解.详解：(1)如图1,过点

25、A作AP/ EF,交CD于P,过点B作BQ/ GH,交AD于Q,四边形 ABCD是矩形， AB/ DC, AD/ BC.四边形AEFP四边形BHGQ都是平行四边形， AP= EF, GH= BQ.又 GH丄 EF,. AP丄 BQ, / QAT+Z AQT= 90四边形ABCD是矩形， Z DAB=Z D= 90, / DAP+Z DPA= 90,Z AQT=Z DP A. P DA QAB.AP = ADBQ ABEF = ADGH AB如图2 , GH丄EF AM丄BN,由(1)的结论可得里=如,空=如GH AB AM ABBN =巨AM GH二 1115 .D作平行于AB的直线，交过点

26、A平行于BC的直线于R,交BC的延长线 ABSR是平行四边形. ?ABSR是矩形，.O如图3，过点 与S,则四边形Z ABC= 90.Z R=Z S= 90 RS= AB= 10 ,AR= BS.DN AR/ AM丄DN,.由中的结论可得x2+ys，解得 x=3,x=2y 5y=4x= 5尸0 (舍)，所以AR= 5 + x= 8,则空AMAR 84AB 105AM AB 设 SC= x, DS= y,贝U AR= BS= 5+ x, RD= 10- y, 在 RtACSD中，X2+ y2= 25, 在 RtAARD 中，(5+ X)2 + (10- y)2= 100, 由-得x= 2y- 5

27、，点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结 论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程 仍然适用于一般图形.18 . AABC中，BO AC, CD平分Z ACB交于AB于D, E, F分别是 AC, BC边上的两点,EF交于CD于H,(1)(2)如图如图1,2若Z EFC=Z A,求证：CE?CD=CH?BC;BH 平分Z ABC, CE=CF BF=3 AE=2,求 EF 的长;C字 CF/ CEFN B,/ ACB=60 , CH=5,ACCE=4j3，求的值.BC若如图(3)3,【答案】(1)见解析；(2) 276

28、 ；【解析】【分析】(1 )只要证明 AECH BCD,可得ECBC CDCH，即可推出CE?CD=CH?BC(2)如图2中，连接AH.只要证明AEHA HFB,可得圧=巴，推出FH2=6，推出HF FBHE=HF/6，即可解决问题.(3)只要证明 AECFA BCA，求出CF即可解决问题.【详解】(1)证明：如图1中，/ EFC+ FEC+ ECF=180, / A+Z B+Z ACB=180 , 又/ EFC=Z A,Z ECF=Z ACBZ CEF=Z B,v/ ECH=Z DCB, EC CH BC CD， CE?CD=CHPBC.(2)解：如图2中，连接AH. BH、CH都是AABC的角平分线,AH是ABC的角平分线，BHC=180 -丄(/ ABC+/ ACB) =180- - (180 / BAC) =90 + BAC=90+/ HAE2 2 2-CE=CF / HCE=/ HCE CH 丄 EF, HF=HECHF=90 ,/BHC=/ BHF+/ CHF=Z BHF+90 ,/HAE=/ B