方程与不等式之二元二次方程组知识点0001

1、方程与不等式之二元二次方程组知识点一、选择题1 .已知直角三角形周长为 48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长【答案】12cm、16cm、20cm.【解析】【分析】a+b+=48设两直角边为a、b，则斜边为 JOb2，根据已知得：1求解即可. ab=962【详解】 设该直角三角形的两条直角边为 a、b，则斜边长为 Ja2 b2，根据题意得,a+b+b=48-ab=962解得a=12或a = 16b=16b=12经检验，a=12和a=16都是方程的解，所以斜边长为122 162 =20 cm.b=16b=12剤121620答：该直角三角形的三边长分别是12cm、16cm、20cm.【点睛】此

2、题运用三角形面积表示出丄ab=96 ,2然后由勾股定理导出 Ja2 b2是关键.2.已知A, B两地公路长 300km，甲、 时后，甲车接到电话需返回这条公路上与 原路返回C地，取了货物又立即赶往达B地，两车的速度始终保持不变，设两车山发 别为乙两车同时从 A地出发沿同一公路驶往 B地，2小A地相距105km的C处取回货物，于是甲车立即B地(取货物的时间忽略不计)，结果两下车同时到 X小时后，甲、乙两车距离A地的路程分y1(km)和y2(km).它们的函数图象分别是折线OPQR和线段OR.(1)求乙车从 A地到B地所用的时问；求图中线段PQ的解析式(不要求写自变量的取值范围)；当 x=，两车相

3、距25千米的路程.67【答案】(1) 5h (2) y 90x360 ( 3)30【解析】(1 )由图可知，求甲车2小时行驶了求甲车从A地到B地所花时间；即可求出乙车从 知，求出线段PQ的解析式；(3)由路程，速度，(1)解：由图知，甲车 2小时行驶了 180千米，77h30180千米的速度，甲车行驶的总路程，再A地到B地所用的时间；(2)由题意可 时间的关系求出x的值.其速度为180 290 (km/h )甲车行驶的总路程为：2 180 105 300 450 (km)甲车从A地到B地所花时间为：450 90 5 ( h)又.两车同时到达 B地，乙车从A地到B地所用用的时间为 5h.5(2)

4、由题意可知，甲返回的路程为180 105 75 ( km)，所需时间为75 90-6171717(h),. Q点的坐标为(105,).设线段PQ的解析式为：y kx b ,6-把(2,180 )和(105,1801717 )代入得：6 1082k17k6b，解得 k 90, b 360,b线段PQ的解析式为y90x360.(3) 67_77(3) h或3030点睛”本题考查了一次函数的应用, 用数型结合的思想解答问题.解题关键是明确题意,找出所求问题需要的条件，利2x3.解方程组：xy2x y2y23X2【答案】原方程组的解为y2y26535【解析】分析:可.由得出(x+y)(x-2y) =0

5、,即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即详解:xy 2y2=0 由得：(x+y)(x-2y) =0,2x2x y=3x+y=0, x-2y=0,即原方程组化为x y=02x y=3x 2y=02x y=3xx.解得：y2y26535即原方程组的解为Xiy2X2y2653 5点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是 解此题的关键.4.解方程组:2 x2 x9y22xy0y2 4【答案】【解析】【分析】Xiyi3212X2y23212X3 3y31X4y4将原方程组变形为:x 3y x 3y =0x y 2 = 0，所以有3y=0 y 2=0x 3y=

6、0x y 2=0其值.【详解】x 3y=0x y 2=0x 3y=0 ，然后解4个二元一次方程组就可以求出x y 2=0原方程组变形为:3y x 3y =02 x y 2 =0原方程组变为四个方程组为:3y=0 y 2=0x 3y=0x y 2=0x 3y=0x y 2=0x 3y=0x y 2=0Xi解这四个方程组为:yi3212X2y232123x4y31y4X31故答案为Xiyi3212X2y23212X3y35 .解方程组:【答案】X21.50.5x4y4【解析】【分析】2xyy 13y2把方程组的第一个方程分解因式求出3y3，再解方程组解x yx 3y1即可.3【详解】22xy 3y

7、x 3yy 13yy3y【点睛】本题考查了解高次方程组,1.50.5能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键.If # = , 6 解方程组：卜2_2护=*r fl 2yi 2【答案】JC| - fly】=斗，【解析】【分析】先由得x=4+y,将x=4+y代入，得到关于y的一元二次方程，解出 y 值代入x=4+y求出x的值即可.【详解】If X. y 4.”解: x-2y = xy，由得：x=4+y，把代入得：(4+y) 2-2y2= (4+y) y,解得：y1=4, y2=-2,代入得：当y1=4时，X1=8,当 y2=-2 时，X2=2,的值，再将y的故答案为:yi =羊，所以原方程组

8、的解为:f *1 - -2yi =4，尹2 =-2 .-2yz =- 2【点睛】本题考查了解高次方程y= ax2+bx+1 经过 A (- 1, 0), B (1, 1)两点.7.如图，已知抛物线(1 )求该抛物线的解析式；(2)阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线11： y= k1x+b1 (k1, b1为常数，且 k10 ,直线l2： y =k2x+b2 (k2, b2 为常数，且 k20，若 |1 丄 |2，贝U k1?k2= 1.解决问题： 若直线y= 2x- 1与直线y= mx+2互相垂直，则 m的值是; 抛物线上是否存在点 P,使得APAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请

9、求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) M是抛物线上一动点，且在直线 的距离的最大值.AB的上方(不与 A, B重合)，求点 M到直线ABAl Q【答案】(1)y=- 1x2+丄x+1；2 21(2)；点 P 的坐标(6, 14)( 4, 5);2(3)逅5【解析】【分析】(1 )根据待定系数法，可得函数解析式；(2) 根据垂线间的关系，可得 PA PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；(3) 根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ，根 据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形

10、高的最大值【详解】解：(1)将A，B点坐标代入，得b 10(1)b 1 1(2)，丄212抛物线的解析式为y=(2)由直线y= 2x-1 2x21与直线y= mx+2互相垂直，得2m =- 1,1即 m =-2故答案为-1212当PA丄AB时，PA的解析式为y =AB的解析式为y-2x- 2,a解得联立PA与抛物线，得1 2x22xlx 122解得1 （舍）,0614，（6,- 14）即P当PB丄AB时，PB的解析式为y=- 2x+3,联立PB与抛物线,1y 2x y 2x1x 123解得（舍）（4,即P综上所述:-5),PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标(6,- 14)( 4,

11、- 5);b1 1 1 1M （t，-尹尹1），Q（t，齐+2），1 1MQ = t2+ 2 21SZMAB = MQ|x B - xa|=1 (- 1t2+1 ) X22 2 2=-1t2+1 ,2 2当t = 0时，S取最大值1，即M （0, 1）.2由勾股定理，得AB= J22 12 =5/5 ,设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得点M到直线AB的距离的最大值是 並5【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程 组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键&解方程组:2x2x【答案】X2【解析】yiy2【分析】用代入法即可

12、解答,【详解】 化为y=-2x+5，代入 得x2- (-2x+5) 2+x+7=0即可.由得y2x把代入，得2(2x 5) x 70.整理后，得x2 7x 6解得x|1 , x2由Xi1，得yi由X26，得y212所以，原方程组的解是x1x29已知x1y1答案】x2y2解析】分析】x1先将y1解详解】解：将x1y1y1y23是方程组2-22代入方程组3代入方程组2则方程组变形为：2y2m的一组解,求此方程组的另一组解m中求出m、n的值，然后再求方程组的另一组x2m 中得：n13由 x+y=1 得： x=1-y,将 x=1-y 代入方程 x2+y2=13 中可得： 解得 y=3 或 y=-2,将

13、 y=3 代入 x+y=1 中可得：y2_y_6=0，即所以方程的另一组解为：点睛】x=-2；x2 -2y2 3用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出10解方程组：4xyy04y2 9答案】x1y1x2y2解析】【分析】 先将第 1个方程变形为解即可详解】13y+2)=0，m 和 n 的值是解题的关键 .x+ 2y= 3, x+ 2y=- 3,从而得到两个二元一次方程组，再分别求解: X2y4X0 4y2方程可变形为X22y 92y 3得: X 2y 3, X它们与方程 分别组成方程组，得;解得2yyXiyi03或X 2yX yX2y2所以，原方程组的解是Xi3y2 3X2【点睛】

14、关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到本题考查的是高次方程， 的知识点是因式分解、加减法.11.解方程组:【答案】yiX y 42X xy亦或：亦或X2y21躬3 75【解析】【分析】X的值，得方程组的解.把X y= 4变形为用含X的代数式表示y,把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次 方程求出【详解】X解： 2Xy 4Xy 8由得，把代入，得X2- X（4- X）= 8 整理，得X-2X-4= 0解得：X1=1 J5, X2=5 ,把x=i J5代入，得把X=1-J5代入，得丫2=牟（1 75）=&75 ；（25）=3 75 ；所以原方程组的解为:X11y1 3苗或X2

15、1 需或y2 3药.X2【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键12.解方程组:X 3y 202X24xy 4y 9【答案】yi【解析】【分析】由完全平方公式, 组可变形为关于解.【详解】X2y213可变形为（X+2y） 2 = 9, 卩 X+2y= 3 或 x+2y=- 3 .这样原方程X、y的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的X 3y 2 0X2 4xy 4y29由得：（X+2y） 2= 9,即：x+2y= 3 或 x+2y=-所以原方程组可化为3y 22y 33y2yX解方程组X3y2yXiy1X解方程组X3y2yX2y21351

16、513原方程组的解是得X1X2y11 ；得y2XX9(2)139【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题 的关键.13.解方程组x2 2xyy2 16X2 9y20【答案】X 3X26讨 11 y22 ys1X2X33 X4y4【解析】【分析】由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方 程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程 组的解就是原方程组的解.【详解】解:由所以由X2 2xy y216X2 9y20 ，得(X- y)2= 16,X y= 4 或 X- y = 4.，得(x

17、+3y)(x- 3y)= 0,即 x+3y= 0 或 X- 3y= 0 所以原方程组可化为：X y 4X 3y 0解这些方程组,y3yy3yX yX 3yx-i3y11X2y2所以原方程组的解为:X3y3Xiyix4y4X2y2X3x4y3 1y4【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元 次方程组是解题的关键.14.(1)解方程组:2 2X y72x 4y11 010 0(X(X3)(y 2)1)(y 3)(X(X3)(y2)(y10)12)【答案】(16.【解析】【分析】（1） 将方程组的第二个方程移项、两边平方求出x2，再代入第一个方程可求出 y

18、的值, 然后将y的最代入第二个方程可求出 x的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利 用加减消元法求解即可.【详解】x2 y2 110 (1)迈x 4y100由可得：J2x4y10两边平方化简得：2x2(4y10)2：,即代入得：9y240y390，即(y解得:y 3或y139将y3代入得:72x 12100，将y13代入得：72x 413103)(9y 13)00 ,解得：x解得：x J2x2 8y2 40 y50故原方程组的解为:9132)(x 誥;2)3)(x(x3)(y2)(y10)12)去括号化简得:xy2x3yxy3

19、xxy 10xxy 12x3y2y30242x3x5，解得:1代入得：2得：5x将x(1)4，解得:x故原方程组的解为y【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键2x15.x4xy 4y222y2y 12【答案】X1y17214X2y2X3y312x437，y404【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二 元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可.【详解】X2 4xy4y29解：2X 2yX2y12 0将因式分解得：(X2y)219 , X2y 3或 X:2y3将因式分解得：(X2

20、y4)(x2y X2y 40或X2y3 03)原方程化为:2y 32y 42y2yX 2y 3 或X 2y 40X 2y 3X 2y 3 0解上述方程组得:原方程组的解为:XiyiXiyi7214X2X3y2y31274X43y407214X2X3y21274x43y40【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法,方程组.解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个2X16. 2X3xy 4y24xy 4y2【答案】Xiyi2316X2y22316X31X41y31 ，y41【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二 元二次方程，得到四个二元一

21、次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可.【详解】解:X2 3xy 4y222X 4xy 4y将因式分解得:(X4y)(xy) X4y 0或 X将因式分解得:(X2y)22y 1 或 X2y原方程化为:4y2y4y2yy 02y 1X y 0X 2y 1解这些方程组得:原方程组的解为:X1y1X1y1X2y2X2y22316X3y3X3y3X4y4X4y4【点睛】解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个本题考查了二元二次方程组的解法,方程组.17.前年甲厂全年的产值比乙厂多 甲厂每年的产值比上一年递增 年甲厂全年的产值仍比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：1

22、0万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数去 6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元前年 甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为 80万元，乙厂每年的产值递 增的百分数是20%.【解析】【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为X万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y,则甲厂前年的产值为(X+12)万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即 可.【详解】设前年乙厂全年的产值为 X万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y,根据题意得解得121210 X 110 10y 2 3.28020%80+12=92 （万元），答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为 80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%,故答案为：92，80，20%.【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据