九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数教学 新人教版

1、22.3实际问题与二次函数,知识点,知识点利用二次函数解决实际问题 由于抛物线的顶点总是抛物线的最高点或最低点,故在顶点处函数取最大值或最小值,因此对于某些与二次函数有关的牵涉到最大(小)值的实际问题,我们可将实际问题抽象为二次函数的数学模型,求出二次函数的解析式,借助最值求法解决实际问题. 求解此类问题的一般步骤如下: (1)列出二次函数解析式; (2)结合实际意义,确定自变量的取值范围; (3)求二次函数的最大值或最小值; (4)解决实际问题,知识点,名师解读:对于实际问题中的最大(小)值,要注意有时并不是抛物线顶点的纵坐标.原因是顶点的横坐标可能不在自变量的取值范围之内,此时应根据二次函

2、数图象(抛物线的一段或一部分有意义的点)的增减性进行解答,知识点,例题为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数解析式. (2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元,知识点,分析:(1)根据销量乘以每千克利润等于总利润进而得出答案; (2)利用二次函数最值求法得出x=- 时,w取到最值,进而得出答案. 解:

3、(1)由题意得w=(x-20)y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120 x-1 600, 故w与x的函数解析式为w=-2x2+120 x-1 600. (2)w=-2x2+120 x-1 600=-2(x-30)2+200, -20,当x=30时,w有最大值,最大值为200.即该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大利润为200元,知识点,解答这类应用题,先把实际问题转化成数学问题,建立二次函数模型,用待定系数法确定二次函数解析式,然后求出二次函数的最大值或最小值解决问题,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点一求自变量的取值有一定范围的二次函数的最值

4、 例1已知二次函数的图象y=ax2+bx+c(0 x3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是(,A.有最小值0,有最大值3 B.有最小值-1,有最大值0 C.有最小值-1,有最大值3 D.有最小值-1,无最大值,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,解析:由图可知,该二次函数在x=1时,有最小值-1,x=3时,有最大值3. 答案:C,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,对于求自变量的取值有一定的范围的二次函数的最值的问题,首先要看顶点是否在其范围内,如果在,若a0,则有最小值,若a0,则有最大值;如果不在,则根据二次函数的增减性进行解答,但是

5、对于自变量是像mxn(mn)的形式的问题,函数图象是抛物线的一段,则有可能既有最小值,也有最大值,具体根据图象解答,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点二利用二次函数求图形面积的最值问题 例2 新时代中学为了搞好校园环境,准备在围墙边设计一个长方形的自行车棚,一边利用围墙,并且已有总长32 m的铁围栏,为了方便出入,在平行于墙的一边留有一个2 m宽的门. (1)如果要使这个车棚的面积为144 m2,请你设计长和宽; (2)要使车棚的面积最大,请你设计长和宽,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,分析:(1)设垂直于墙的铁围栏为x m,则平行于墙的一边长为(32-

6、2x+2)m,根据长方形的面积公式即可列方程求解; (2)设这个车棚的面积为y m2,由(1)的数量关系得出二次函数,利用配方法求得最大值即可. 解:(1)设宽为x m,则长为32-2x+2=(34-2x)m, 依题意可列方程x(34-2x)=144,即-2x2+34x-144=0,解得x1=8,x2=9.当x1=8时,32-2x+2=18,当x2=9时,32-2x+2=16. 所以这个车棚的长为18 m,宽为8 m或长为16 m,宽为9 m. (2)设这个车棚的面积为y m2, 由题意得y=x(34-2x)=-2x2+34x=-2(x-8.5)2+144.5. 要使车棚面积最大,长应为17

7、m,宽应为8.5 m,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,求图形最大(小)面积问题时,先把图形的面积表示成其中一个变量的二次函数,通过二次函数的最值进行求解,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点三利用二次函数确定最大利润问题 例3某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,现在采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销量就减少10件. (1)要使每天获得利润700元,请你帮忙确定售价; (2)问售价定在多少时能使每天获得的利润最多?并求出最大利润,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,解:(1)

8、设每件商品涨价x元, 则每件利润为(10+x-8)=(x+2)元, 每天销售量为(200-20 x)件, 依题意,得(x+2)(200-20 x)=700. 整理得x2-8x+15=0,解得x1=3,x2=5. 把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元. 答:把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元. (2)设应将售价定为x元时,才能使每天获得的利润最大为y元, 根据题意得y=(x-8) =-20 x2+560 x-3 200=-20(x2-28x)-3 200=-20(x2-28x+196)-3 200+20196=-20(x-14)2+720, x=14时,y最大,

9、最大值为720. 答:应将售价定为14元时,才能使每天获得的利润最大,最大利润为720元,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,解决求最大利润问题,先根据已知条件把利润表示成价格的二次函数,然后根据二次函数的最值求解,注意自变量的取值范围如果不包含顶点的横坐标时,要使实际问题有意义,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点四利用二次函数解答运动路线或运动距离问题 例4立定跳远时,以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴(假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上),地平线为x轴,建立平面直角坐标系(如图),则小明此跳重心所走过的路径是一条形如y=-0.2(x-1)2+0.7的

10、抛物线,在最后落地时重心离地面0.3 m(假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,1)小明在这一跳中,重心离地面最高时距离地面多少米?此时他离起跳点的水平距离有多少米? (2)小明此跳在起跳时重心离地面有多高? (3)小明这一跳能得满分吗?(2.40 m为满分) 解:(1)y=-0.2(x-1)2+0.7, 抛物线的顶点坐标为(1,0.7), 重心离地面最高时距离地面0.7 m,此时他离起跳点的水平距离有1 m,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,解答生活中的实际问题,关键是把实际

11、问题转化成数学问题,对于路线是抛物线的问题,关键是看问题的要求符合抛物线的哪一方面的性质(或关键点),然后利用二次函数的相关性质进行解答,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点五利用二次函数解决方案选择问题 例5某超市计划上两个新项目: 项目一:销售A种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系y=kx.当投资5万元时,可获得利润2万元; 项目二:销售B种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.当投资4万元时,可获得利润3.2万元;当投资2万元时,可获得利润2.4万元. (1)请分别求出上述的正比例函数解析

12、式和二次函数解析式; (2)如果超市同时对A,B两种商品共投资12万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案获得的最大利润是多少,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,解:(1)销售A种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系y=kx, 当投资5万元时,可获得利润2万元, yA=0.4x. 销售B种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系y=ax2+bx, 当投资4万元时,可获得利润3.2万元, 当投资2万元时,可获得利润2.4万元,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,2)设投资B种商品x万元,则投资A种商品(12