工程有限元方法材料非线性要点PPT(41页)_详细

1、有限元方法与应用材料非线性,张有为 工程力学系,材料非线性要点,材料非线性问题分类 非线性弹性问题 弹塑性问题 弹塑性有限元分析 弹塑性本构关系 弹塑性有限元分析,材料非线性问题的来源,材料非线性的来源：体系的非线性是由于材料的应力与应变关系的非线性引起,增压器涡轮机轮盘叶片组件弹塑性变形,材料非线性问题的来源,引例,解：由于仅考虑材料非线性，因此a和b两段的应变可表示为,力平衡关系可表示为,此外本构关系可表示为,弹性加载,塑性加载,弹性卸载,材料非线性问题的来源,1) 在初始加载阶段，由于外载荷较小，a和b两段将均处于弹性变形范围，有,2) 随着载荷的增加，a段均处于弹性，b段处于塑性，即,

2、由加载曲线可知a段将一直处于弹性变形阶段,材料非线性问题的来源,3) 载荷达到峰值后，系统将处于弹性卸载，即有,外载荷与交界处位移之间的关系曲线如下图所示,材料非线性问题分类,非线性弹性问题 应力与应变的关系为非线性，且加载与卸载应力应变间的对应关系相同。 弹塑性问题 加载的过程中同时产生可恢复的弹性变形和不可恢复的塑性变形。弹塑性应力和应变间不再保持一一对应的关系，应变不仅依赖于当时的应力状态，而且还依赖于整个的加载历史,弹塑性本构关系,2.1 材料的弹塑性性质 (1) 单轴拉伸实验,理想弹塑性材料,应变硬化材料,低碳钢拉伸应力应变曲线,颈缩阶段,强化阶段,屈服阶段,弹性阶段,弹塑性本构关系

3、,2) 几点说明 由于弹塑性的应力应变关系不是一一对应的，因此研究弹塑性问题时，只有在确定的加载（或卸载）条件下才有明确的意义。 为了避免应力应变间的多值性带来的困难，不宜追求全应力与全应变之间的全量本构关系，应建立在一定加载路线条件下的增量关系,弹塑性本构关系,为简化分析，结构工程中可采用理想弹塑性模型和弹性线性强化模型，它们的主要参数仅有屈服应力、弹性模量和硬化（软化）模量H，塑性阶段主要特征是,理想塑性,应力强化,应力软化,弹塑性本构关系,2.2 塑性力学基本法则 (1) 初始屈服条件,E,屈服准则,此条件规定了材料开始塑性变形时的应力状态。对于各向同性材料，在一般应力状态下开始进入塑性

4、变形的条件是,弹塑性本构关系,1.1) Von Mises准则(1913年,其中,弹塑性本构关系,Von Mises准则在三维主应力空间中可表示为,弹塑性本构关系,1.2) Tresca准则(1864年,其中,弹塑性本构关系,1.3) Mohr-Coulomb准则(1773年) (1.4) Rankine(朗肯)准则(1876年,最大剪应力为屈服决定性因素，但剪应力的临界值不是常数，而是在那一点上同一平面中正应力的函数,最大主应力达到抗拉强度时，材料发生拉伸破坏,适用于岩土材料,适用于岩土材料,弹塑性本构关系,2) 流动法则,流动法则用来规定材料进入塑性变形后的塑性应变增量在各个方向上的分量和

5、应力分量以及应力增量之间的关系,Von Mises流动法则为,弹塑性本构关系,非关联塑性：若塑性势函数与后继屈服应力函数表达式不同，则称之为非关联塑性 关联塑性：若流动法则中塑性势函数取为后继屈服应力函数相同的表达式，称之为和屈服函数相关联的塑性势，即关联塑性,对于金属材料，一般采用关联流动法则,对于泥土和颗粒状材料，一般采用非关联流动法则,弹塑性本构关系,3) 硬化法则,硬化法则是用来规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数在应力空间中变化的规则,后继屈服函数的一般形式为,理想塑性材料的后继屈服函数为,即无硬化效应，后继屈服函数与初始屈服函数一致,弹塑性本构关系,3.1) 各向同性硬化法则,当材

6、料进入塑性变形后，加载曲面在各个方向均匀的向外扩张，但其形状、中心及其在主应力空间中的方位均保持不变,其中,Von Mises后继屈服函数,材料的塑性模量（硬化系数,对于多数金属材料的分析均采用各向同性强化法则,弹塑性本构关系,3.2) 运动硬化法则,此法则规定材料在进入塑性变形以后，加载曲面在应力空间中作一刚体运动，但其形状、大小和方位均保持不变,后继屈服函数,Prager运动硬化法则 Zeigler修正运动硬化法则,弹塑性本构关系,a) Prager运动硬化法则,其中,Von Mises屈服条件下的Prager运动硬化后继屈服函数,此法则规定加载曲面中心的移动是沿着表征当前应力状态的应力点

7、的法线方向,一般情况下Prager运动硬化法则只能用于完全的9维应力空间，其在各应力子空间（如平面应力状态）中应用较为困难，主要是由于在子应力空间中很难保证初始屈服曲面与后继屈服曲面形式上的一致性,弹塑性本构关系,b) Zeigler修正运动硬化法则,其中,Von Mises屈服条件下的Zeigler修正运动硬化后继屈服函数,此法则规定加载曲面沿联结其中心和当前应力点的向量方向移动,移动张量的偏移分量,Prager运动硬化法则和Zeigler修正运动硬化法则的区别仅在于加载曲面移动的方向不同,弹塑性本构关系,3.3) 混合硬化法则,同时考虑各向同性硬化和运动硬化两种法则（由Hodge首先提出,

8、后继屈服函数,一般情况下,其中,移动张量,Prager运动硬化法则,Zeigler修正运动硬化法则,混合硬化主要用于反向加载和循环加载的情况,M为材料参数,弹塑性本构关系,4) 加卸载准则,该准则用来判断从某塑性状态出发，材料是处于继续塑性加载还是弹性卸载，其将决定计算过程中是采用弹塑性本构关系还是弹性本构关系,理想弹塑性 各向同性硬化,运动硬化 混合硬化,弹塑性本构关系,2.3 弹塑性增量应力应变关系 (1) 建立应力应变关系所遵循的原则,当材料的应力点已经处于屈服面上继续弹塑性加载时，需要应用弹塑性增量的应力应变关系进行弹塑性行为的分析,弹塑性本构关系,2) 各向同性硬化材料的应力应变关系

9、,a) 一致性条件,b) 流动法则,其中,后继屈服函数的全导数,弹塑性本构关系,c) 弹塑性应力应变关系,其中,塑性矩阵,弹性矩阵,矩阵形式,矩阵形式,弹塑性本构关系,c.1) 三维空间问题的应力应变关系,三维空间问题的弹性、塑性矩阵（各向同性硬化材料,三维空间问题的应力应变分量,弹塑性本构关系,c.2) 轴对称和平面应变问题的应力应变关系,轴对称问题的应力应变分量,平面应变问题的应力应变分量,轴对称问题和平面应变问题的弹性矩阵和塑性矩阵分别可由三维问题对应的矩阵去掉最后两行和两列得到,弹塑性本构关系,c.3) 平面应力问题的应力应变关系,平面应力问题的应力应变分量,平面应力问题的弹性、塑性矩

10、阵,其中,弹塑性本构关系,3) 其它硬化材料的应力应变关系,a) 理想弹塑性材料,b) 运动硬化材料,c) 混合硬化材料,屈服条件,应力应变关系的获得,弹塑性本构关系,2.4 弹塑性全量应力应变关系 (略) 全量理论的基本假设 应力主方向和应变主方向重合，且在整个加载过程中主方向保持不变 全量理论的适用性及特点 一般情况下很难满足全量理论基本假设 若实际分析中为单参数加载且变形满足小应变条件时，上述假设近似成立 全量理论使得整个分析包括本构关系的建立得到简化,弹塑性有限元分析,3.1 弹塑性有限元分析概述 对于小变形的弹塑性问题，几何方程与弹性分析相同，不同之处是单元的应力应变关系可能是线性的

11、或非线性的，因此集合单元得到的总刚度矩阵是与应力水平相关而出现的非线性方程组。 求解弹塑性问题，一般采用荷载增量法。当出现屈服点后，每次增加的荷载应适当减小,弹塑性有限元分析,3.2 弹塑性问题的增量方程 由于材料和结构的弹塑性行为与加载及变形历史相关，在进行结构的弹塑性分析时，通常将载荷分成若干个增量，然后对于每一载荷增量，将弹塑性方程线性化，从而使得弹塑性非线性分析转化为一系列线性问题 增量方程,1) 平衡方程,2) 几何关系,3) 物理方程,4) 边界条件,其中,弹塑性有限元分析,3.3 弹塑性问题的增量有限元格式 虚位移原理（增量形式） 引入应力应变关系,矩阵形式,弹塑性有限元分析,有限元离散 单元内位移插值 应变位移关系 系统平衡方程,单元节点增量位移向量,型函数矩阵,应变矩阵,弹塑性刚度矩阵,不平衡力向量,其中,外载荷向量,内力向量,避免解的漂移,弹塑性有限元分析,增量有限元实施步骤 (1) 线性化弹塑性本构关系 (2) 形成增量有限元方程 (3) 求解增量有限元方程，获得增量位移 (4) 积分本构方程确定新的应力状态 (5) 检查平衡条件，若不满足平衡条件，则继续迭代,即检查外载荷向量和内力向量是否满足平衡,此处迭代可选择非线性方程组求解的欧拉法、N-R法或mN-R法,3 弹塑性有限元分析,每一增量步中