高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数 新人教版选修2-2

1、1.3.2函数的极值与导数,第一章1.3 导数在研究函数中的应用,1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一函数极值的概念,答案,f(x)0,1.极小值点与极小值 如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值,f(x)0,答案,

2、f(x)0,2.极大值点与极大值 如图，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb的左侧 ，右侧 ， 则把点b叫做函数 的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值. 、 统称为极值点， 和 统称为极值,f(x)0,yf(x,极大值点,极小值点,极大值,极小值,思考(1)可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么,答案,答案可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点， 即“函数yf(x)在一点的导数值为零是函数yf(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”. 可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(

3、x0)0，且在x0左侧和右侧f(x)符号不同. 如果在x0的两侧f(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点,2)函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗,答案不一定,知识点二求可导函数f(x)的极值方法与步骤,答案,极大值,1.求函数yf(x)的极值的方法 解方程f(x)0，当f(x0)0时： (1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是 ； (2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是 . 2.求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数f(x). (2)求f(x)的拐点，即求方程 的根. (3)利

4、用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值,极小值,f(x)0,思考可导函数f(x)若存在极值点x0，则x0能否为相应区间的端点吗,答案不能,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一求函数的极值,解析答案,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,解由题意可知f(x)x24. 解方程x240，得x12，x22. 由f(x)0得x2或x2； 由f(x)0得2x2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表,反思与感悟,反思与感悟,求可导函数 f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数 f(x)； (2)求方程 f(x)0的根； (3)用函数的导数为0

5、的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测 f(x)在方程根左右两侧的值的符号， 如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值； 如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值,跟踪训练1求下列函数的极值. (1)y2x36x218x3,解析答案,解函数的定义域为R. y6x212x186(x3)(x1)， 令y0，得x3或x1. 当x变化时，y，y的变化情况如下表,从上表中可以看出，当x3时，函数取得极大值，且y极大值57. 当x1时，函数取得极小值，且y极小值7,解析答案,解函数的定义域为(，0)(0，,令y0

6、，得x2或x2. 当x2时，y0；当2x0时，y0. 即x2时，y取得极大值，且极大值为8. 当0 x2时，y0；当x2时，y0. 即x2时，y取得极小值，且极小值为8,题型二利用函数极值确定参数的取值范围(或值,解析答案,例2已知函数 f(x)6ln xax28xb(a，b为常数)，且x3为 f(x)的一个极值点. (1)求a的值,2)求函数 f(x)的单调区间,解函数 f(x)的定义域为(0，). 由(1)知 f(x)6ln xx28xb,解析答案,由 f(x)0可得x3或0 x1， 由 f(x)0可得1x3(x0舍去). 函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，)，单调递减区间为

7、(1,3,3)若yf(x)的图象与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围,解析答案,反思与感悟,解由(2)可知函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，)上单调递增.且当x1和x3时，f(x)0. f(x)的极大值为 f(1)6ln 118bb7， f(x)的极小值为 f(3)6ln 3924b6ln 3b15. 当x充分接近0时，f(x)0，当x充分大时，f(x)0， 要使 f(x)的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点,b的取值范围是7b156ln 3,解决参数问题时，要结合函数的图象，同时准确理解函数极值的应用,反思与感悟,解析答案,解因为a0，所以

8、“f(x) x3bx2cxd在(，)内无极值点”等价于“f(x)ax22bxc0在(，)内恒成立”. 由f(x)9x0(即ax2(2b9)xc0)的两实数根分别为1,4,所以对于一元二次方程ax22bxc0，(2b)24ac9(a1)(a9). 不等式ax22bxc0在(，)内恒成立,易验证a1与a9均满足题意，故a的取值范围是1,9,题型三函数极值的综合应用,解析答案,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,则函数yg(t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点,即a2，使函数图象与坐标轴横轴有三个不同的交点. 所以实数a的取值范围为(2，,求出函数的所有极值，有利于我们整体把握函数图象的

9、特征，也就为我们证明有关不等式、解决某些方程根的个数等问题提供了有力的依据，因而函数的极值在中学数学中应用广泛，是高考命题的热点,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3已知函数 f(x)x3ax2b(a，bR). (1)求函数 f(x)的单调递增区间,解析答案,2)若对任意a3,4，函数 f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围,解析答案,所以实数b的取值范围为(4,0,解析答案,因忽视对所得参数进行检验而致误,例4若函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，试求a，b的值,返回,防范措施,易错易混,错解由导数公式表和求导法则得， f(x)3x22axb,解析答案,错因分析由于函数在

10、一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而非充分条件. 因此，本题在解答时很容易忽略对得出的两组解进行检验而出错,防范措施,正解由导数公式表和求导法则得，f(x)3x22axb,但由于当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)20， 故 f(x)在R上单调递增，不可能在x1处取得极值,解析答案,防范措施,故a，b的值分别为4，11,防范措施,根据极值条件求参数的值的问题中，在得到参数的两组解后，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，考查每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,5,1.已知函数 f(x)2x3ax

11、236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是() A.(2,3) B.(3，) C.(2，) D.(，3,B,解析答案,解析f(x)6x22ax36，且在x2处有极值， f(2)0,244a360，a15， f(x)6x230 x366(x2)(x3)， 由 f(x)0得x2或x3,1,2,3,4,5,2.下列关于函数的极值的说法正确的是() A.导数值为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值 D.若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数,D,解析答案,解析由极值的概念可知只有D正确,1

12、,2,3,4,5,3.函数 f(x)的定义域为R，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数f(x)() A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点,解析答案,C,解析在xx0的两侧，f(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值； f(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值， 由图象易知有两个极大值点，两个极小值点,1,2,3,4,5,解析答案,4.已知 f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为() A.1a2 B.3a6 C.a1或a2 D.a3或a6,D,解析f(x)3x22ax(a6)， 因为 f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)243(a6)0， 解得a6或a3,1,2,3,4,5,解析答案,5.设函数 f(x)6x33(a2)x22ax.若 f(x)的两个极值点为