高中数学 精讲优练课型 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系 新人教版必修4

1、1.2.2 同角三角函数的基本关系,知识提炼】 同角三角函数的基本关系,即时小测】 1.判断. (1)对任意角，sin2 +cos2 =1都成立.() (2)对任意角， =tan2都成立.() (3)若sin=0，则cos=1.(,解析】（1）正确.对任意角，sin2+cos2=1都成立，用 代 替，可得 （2）错误.当2=k+ ，kZ，即= ，kZ时，cos 2=0. tan 2无意义.故 =tan 2不成立. （3）错误.若sin =0，则cos =1. 答案：（1） （2） （3,2.化简 的结果是（ ） 【解析】选C.因为角 是第二象限角，所以cos 0，所以,3.已知cos = ，且

2、是第四象限角，则sin =（ ） 【解析】选C.因为是第四象限角，所以sin 0， 所以,4.化简： =_. 【解析】 答案：cos,5.已知tan =- ，( ，)，则sin =_. 【解析】由已知得 所以 所以sin2= ，由( ，)得sin 0， 所以sin = 答案,知识探究】 知识点 同角三角函数的基本关系 观察图形，回答下列问题： 问题1：同角三角函数的基本关系中“同角”一词的含义是什么？ 问题2：同角三角函数的基本关系式有哪些变形公式,总结提升】 对同角三角函数基本关系的五点说明 (1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一

3、是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下).关系式成立与角的表达形式无关，如sin23+cos23=1. (2)sin2是(sin)2的简写，不能写成sin2,3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan90= 不成立. (4)注意公式的变形，如sin2=1-cos2，cos2=1-sin2，sin=costan，cos= 等. (5)在应用平方关系式求sin或cos时，其正负号是由角所在的象限决定的，不可凭空想象,题型探究】 类型一 利用同角三角函数的基本关系求值 【典例】(2015淮安高一检测)若cos+2sin=- ，求tan的值. 【解题探究】典例中

4、，根据题目条件能计算出sin和cos吗？换一种思考方法，由已知条件是否可构建关于tan的方程？ 提示：由sin2+cos2=1和已知等式可解出sin和cos. 由已知条件得 分子分母同除以cos2可得关于tan的方程,解析】方法一：因为cos+2sin= 所以cos=-2sin 又因为sin2+cos2=1，所以sin2+(-2sin- )2=1， 整理得5sin2+4 sin+4=0，( sin+2)2=0， 解得sin= 所以cos= 所以,方法二：因为cos+2sin=- ，所以(cos+2sin)2=5， 所以 所以 所以 所以1+4tan+4tan2=5tan2+5， 整理得(tan

5、-2)2=0，所以tan=2,延伸探究】 1.(变换条件)将典例条件改为sin+cos= ，(0，)，结果又如何？ 【解析】因为sin+cos= ， 所以(sin+cos)2= ， 所以1+2sincos= ，所以2sincos= 所以(sin-cos)2=1-2sincos,又因为(0，)，所以sin-cos0， 所以sin-cos= ， 联立解得 所以,2.(变换条件，改变问法)典例中，若已知tan=3，试求cos+2sin. 【解析】方法一：因为tan=3，所以 =3，sin=3cos， 又因为sin2+cos2=1，所以9cos2+cos2=1，所以cos2= 因为tan=3，所以为第

6、一象限角或第三象限角， 当为第一象限角时， 所以cos+2sin,当为第三象限角时， 所以cos+2sin= 方法二：(cos+2sin)2= 由tan=3，知为第一象限角或第三象限角， 所以cos+2sin,方法技巧】 1.求三角函数值的方法 (1)已知sin(或cos)求tan常用以下方式求解,2)已知tan求sin(或cos)常用以下方式求解 当角的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角分区间(象限)讨论,2.已知角的正切求关于sin，cos的齐次式的方法 (1)关于sin，cos的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin，cos的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子

7、，分母同除以cos的n次幂，其式子可化为关于tan的式子，再代入求值. (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2+cos2来代换，将分子、分母同除以cos2，可化为关于tan的式子，再代入求值,3.sincos与sincos的应用 (sin+cos)2=1+2sincos， (sin-cos)2=1-2sincos=(sin+cos)2-4sincos， sin+cos，sin-cos与sincos三个式子，可以由其中一个，求出另外两个的值. 求值时，注意sin+cos与sin-cos整体的符号的判断,补偿训练】已知tan=2，求 的值. 【解析】因为tan=2，所以,类型二 利用同角

8、三角函数基本关系化简 【典例】1.(2015六安高一检测)已知是第一象限角，则 =() 2.化简：(1) (2) 是第二象限角,解题探究】1.典例1中， 和 如何化为平方的形式？ 提示： 2.典例2中，(1)有“弦”有“切”如何处理？(2)sin，cos的符号分别是什么？ 提示：(1)切化弦.(2)sin0，cos0,解析】1.选D. 原式= 因为是第一象限角，所以0sin1，0cos1， 所以原式,2.(1)原式= (2)原式= =|sincos|， 因为是第二象限角，所以sin0，cos0， 所以sincos0， 所以原式=-sincos,延伸探究】若把典例1中根号下的“cos”改为“si

9、n”，“第一象限角”改为“第二象限角”，其他不变，化简结果是什么？ 【解析】原式= 因为是第二象限角，所以0sin1，-1cos0， 所以原式,方法技巧】化简三角函数式的一般要求及化简技巧 (1)一般要求： 函数种类最少；项数最少；函数次数最低；能求值的求值；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含根式,2)化简技巧： 化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. 对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. 对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2+cos2=1，以降低函数次数，达到化简的目的,变式训练】

10、化简： 其中0 【解析】因为0 ，所以 所以 所以 原式,补偿训练】化简 【解析】原式,类型三 利用同角三角函数基本关系证明恒等式 【典例】1.若 =0成立，则不可能位于 () A.第二、三、四象限 B.第一、二、三象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 2.证明,解题探究】1.典例1中， 恒成立吗？所给等式何时成立？ 提示： =|sin|， =|cos|，当 =-sin， = -cos时等式成立. 2.典例2中，从一边开始证明它等于另一边，还是证明左、右两边等于同一个式子？ 提示：可以从一边开始证明它等于另一边，也可以证明左、右两边等于同一个式子,解析】1.选C.当 =|sin|=

11、-sin， =|cos|=-cos时，1+sin +cos =1-sin2-cos2=0成立. 所以是第三象限角，故选C,2.方法一：左边= =右边. 所以原式成立,方法二：左边= 右边= 所以左边=右边,方法技巧】 1.简单的三角恒等式的证明思路 (1)从一边开始，证明它等于另一边. (2)证明左、右两边等于同一个式子. (3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简. 2.证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等. (2)原则：由繁到简，变异为同,变式训练】求证： 【证明,补偿训练】已知tan2=2tan2+1， 求证：sin2=2sin2-1. 【

12、证明】因为tan2=2tan2+1， 所以tan2+1=2tan2+2， 所以 所以 所以1-sin2=2(1-sin2)， 即sin2=2sin2-1,规范解答 同角三角函数基本关系的应用 【典例】(12分)(2015荆州高一检测)(1)若角是第二象限角，化简 (2)化简,审题指导】(1)化简(1)中的式子，首先要将正切化为正弦、余弦，根号下式子化为平方形式，然后用 =|a|化简. (2)化简(2)中的式子，首先要用1=sin2130+cos2130和平方关系把根号下式子化为平方形式，然后用 =|a|化简,规范解答】(1)原式= 4分 因为是第二象限角，所以sin0，cos0， 5分 所以原式 =-1.6分,2)原式= 8分 = 10分 = =1.12分,题后悟道】 1.注意三角函数式化简的基本要求和思想方法 三角函数式化简的基本要求：尽量减少角的种数和三角函数的种数，尽量化成同角、同名三角函数，能开方的尽