高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定 新人教A版必修2

1、2.3.2平面与平面垂直的判定,自主预习,课堂探究,自主预习,1.了解二面角及其平面角的定义,并会求简单二面角的大小. 2.理解两个平面互相垂直的定义. 3.理解两个平面垂直的判定定理,并能用定理判定面面垂直,课标要求,知识梳理,面,棱,垂直于棱l,直角,2.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作,直二面角,另一个平面的垂线,自我检测,1.(空间角)以下角:异面直线所成角;直线和平面所成角;二面角的平面角.可能为钝角的有( ) (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个 2.(判定定理)直线l平面,l平面,则与的位置关

2、系是( ) (A)平行 (B)可能重合 (C)相交且垂直 (D)相交不垂直,B,C,3.(面面垂直的判定)如图,在三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,则三棱锥的四个面中,互相垂直的有( ) (A)1对(B)2对(C)3对(D)4对,C,答案:60,答案:30,课堂探究,二面角,题型一,例1】 下列命题中:两个相交平面组成的图形叫做二面角;异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角;二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系,其中正确的是() (A)(B)(C)(D,解析:对,显

3、然混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对,由于a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对,因为不一定垂直于棱,所以是错误的;是正确的.故选B,题后反思 (1)二面角的平面角满足:顶点在二面角的棱上;两边分别在二面角的面内;两边分别与二面角的棱垂直. (2)二面角的平面角是两条射线所成的角,因此二面角不一定是锐角,其范围为0180,平面与平面垂直的判定,题型二,例2】 如图,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,E是PC的中点. 求证:(1)PA平面BDE; (2)平面PAC平面BDE,证明:(1

4、)连接OE,AC,则O是AC的中点,又E是PC的中点, 所以OEAP, 又因为OE平面BDE,PA平面BDE.所以PA平面BDE. (2)因为PO底面ABCD,POBD, 又因为ACBD,且ACPO=O, 所以BD平面PAC,而BD平面BDE,所以平面PAC平面BDE,题后反思 判定两平面垂直的常用方法:(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面,证明: (1)因为E、P分别为AC、AC的中点, 所以EPAA,又A

5、A平面AAB,而EP平面AAB, 所以 EP平面AAB,即 EP平面AFB. (2)因为E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点,所以EFBC.因为BCAC,EFAE, 故EFAE,所以BCAE.而AE与AC相交,所以BC平面AEC. 又BC平面ABC,所以平面ABC平面AEC,证明:取AB的中点为O,连接OD,OP. 因为PA=PB,所以ABOP.又ABPD,OPPD=P, 所以AB平面POD. 因为OD平面POD,所以ABOD. 由已知,BCPB, 又ODBC,所以ODPB, 因为ABPB=B,所以OD平面PAB. 又OD平面ABC,所以平面PAB平面ABC,线面垂直、面面

6、垂直的综合问题,题型三,教师备用】 如何作二面角的平面角,2)证明:由(1)知PD平面ABCD, 所以PDAC,而四边形ABCD是正方形,所以ACBD,又BDPD=D, 所以AC平面PBD. 因为AC平面PAC, 所以平面PAC平面PBD. (3)解:由(1)知PDBC, 又BCDC,PDDC=D, 所以BC平面PDC,所以BCPC. 所以PCD为二面角PBCD的平面角. 而PCD为等腰直角三角形,所以PCD=45, 即二面角PBCD的大小为45,题后反思 (1)证明垂直关系时要注意利用线面垂直、线线垂直、面面垂直之间的转化. (2)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角,这就需要紧扣它的三

7、个条件,即这个角的顶点是否在棱上;角的两边是否分别在两个平面内;这两边是否都与棱垂直.在具体作图时,还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧,如:线面的垂直,图形的对称性,与棱垂直的面等,1)证明:因为D,E分别是AB,PB的中点, 所以DEPA. 又因为PA平面PAC,DE平面PAC, 所以DE平面PAC,2)证明:因为PC底面ABC,AB底面ABC, 所以PCAB. 又因为ABBC,PCBC=C, 所以AB平面PBC, 又因为PB平面PBC, 所以ABPB. (3)解:由(2)知,ABPB,ABBC, 所以PBC即为二面角P-AB-C的平面角, 因为PC=BC,PCB=90, 所以PBC=45, 所以二面角P-AB-C的大小为45,1)证明:因为PA底面ABCD,CD平面ABCD, 所以PACD, 又ACCD,ACPA=A, 所以CD平面PAC,又AE平面PAC, 所以CDAE,2)证明:因为PA底面ABCD,AB平面ABCD, 所以PAAB, 又ADAB,ADPA=A, 所以AB平面PAD, 又PD平面PAD,所以ABPD, 由P