三角形中的不等问题与最值问题

1、问题6三角形中的不等问题与最值问题、考情分析,常作为客观题中的压根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题 轴题或解答题中的第二问n这一限制条件.二、经验分享 （1）求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数，利用三角函数的有界性求范围.或根据角的范围利用 余弦定理求边的范围，同时要注意两边之和大于第三边（3）求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围，也可利用基本不等式求范围.三、知识拓展若 ABC是锐角三角形，则农tM+月/ ,血4阳n8C、 2 2若 ABC中，若A是锐角，则a2 + b2 AC2 ;若A是

2、钝角，则a2 + b2 c c2 ABC中，若A =上，则 05. _55-C-二b+L- bcXbc ,二b+L-be3 3 ： 33 ，=+可- 3加4n若a,b, c成等差数列，则B /2ab 4COSC 二=二，ab4，2血2x42皆（0,兀）3 兀TT. r n ,/. C = .B = A. S1I125 = SI4 ”4U= cos2-./. tanJsin25 = tanlcos2J = 3-j 2cos*J +MM血C 二 2 M 2tanUsifllS tan.4cos2J 37 忑02cos4 =臺型土当且仅当g越时成立.【解析】设分别是AC, AB的中点,0+ ZE亠+

3、石.扩一 BE飞 【分析】先得出-乔=1 八 a + b* 9（二）边的范围或最值【例2】在 ABC中，若3siflC = 2sin5,点e, f分别是ac, ab的中点，则-BE的取值范围为 CF缺b“ ,设一=t,转化为函数求值域.皿a(Qcos/.ira +cqsZCFB =0),i)三 2CF +?,Q3siiiC = 2血5 所以由正弦定理得“e气a小討di18+唱135126+9 册4K0-17,设訐，结合cb，由35, 可得be _ 135CFi26 + r 14 U664JBECFa,故答案为1 7(4,8).【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题

4、.求范围问题的常见方法有配方法；换元法；不等式法；图象法；函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将BECF表示为关于t的函数，再根据方法解答的.【小试牛刀】【江苏省如皋中学 2018-2019学年高三第一学期期中】某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，儿E两点为喷泉，圆心0为旳日的中点，其中0A = 08 = 0米，半径0C = 10米，市民可位于水池边缘任意一点 C处观赏.若当也和二7时，血出CO =-，求此时口的值; 设十加且C护+ CEL血(1)(i)试将y表示

5、为口的函数，并求出日的取值范围;fr(ii )若同时要求市民在水池边缘任意一点C处观赏喷泉时，观赏角度 MB的最大值不小于试求两处喷泉间距离的最小值.-OS【解析】(门在观BC中，由正弦定理得 芯si；亦,门 _ OC&T丄sen _ 1 略 _ 2礙 所以一 simOBG 一 理Y 一 9 即 =.(2) (i )在删Of中，由余弦定理得 加三100 W-2加T罰 在朋侃中，由余弦定理得 眈2二1如+収2 - 20百心勲悯甌， 又创 = LzSOC 所以护+亡炉=河0 + 2/,即 y-200+ 2胡.又C用+C护=200+2泌玄232,解得所以所求关系式为yM + 2/,让临4.(ii )

6、当观赏角度山仞的最大时，CMCS取得最小值. 在3眦中， 由余弦定理可得c(kM = 1:2MCSc#*c別loo+a，_I因为山CB的最大值不小于，6J 亦 /心 a 20 -10 所以】i-T，解得经验证知2 -E网 所以曲40- 20品 即乩月两处喷泉间距离的最小值为40 - 2075.(三) 周长的范围或最值【例3】在锐角MBC中,c=2,占g 2亡血4 .(1 )若MBC的面积等于J3,求a、b ；(2)求MBC的周长的取值范围.【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积，余弦定理转化求解即可;（2）利用正弦定理表示三角形的周长，利用三角函数的有界性求解即可.【解析】（1

7、）由 =及正弦定理得：A/3sial = 2sinCsiiL*（， 又sinAHO,二血=芈.又C为锐角，故C =-丄3又=-absinC =击，/. ab =4由二门 + 力 一2处cosC = # + 0 -血得+= 4， 所以由-+；二4解得：；4 ,4 an2zl 三 an(5亠 B亠 C = 2A解得A =60.nb =空沁皮 f =,5inyl anB sinC3J周长/ = 2*(siti3-sinC) = 2*sin(120 - C)sinC = 2 *門 icosC- =33U 21毗=屮叭_賁当C =时， ABC的周长的最大值为 6.3(四)面积的范围与最值【例4】如图，在

8、等腰直角三角形 OPC中,/ POM 90, OP= 2j2,点M在线段PQ上.尸若OM =45 ,求PM勺长; 若点N在线段MQ上,且/ MOM30 ,问：当/ POM取何值时, OMN勺面积最小？并求出面积的最小值.【分析】第(1)题利用余弦定理求 MP的长,难度不大；第(2)题求 OM的面积最小值,前面的要求也很明确:以/ POM为自变量,因此,本题的中点就是如何将 OM的面积表示为/ POM的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中，利用正弦定理将 OSH ON的长表示为/ POM勺函数是关键./n pu _ KO【解析】在AOMP 中，33-,om=J5,o p=2J2,由余弦定理得=

9、0卩+-2xOP xMPx cos 45得炉-4MP + 3 = 0，解得 MP =1 或 MP =3 .设二 a,0 这 a60 卩,OM0P在心OMP中，由正弦定理，得sinZOPJ/ sin ZOA/P of sin 45 OF sin 45所以曲二sm(45+aj，同理故 SgQ =X QAf 冥sin ZMONJ丄 OP* sin* 45=4冀丽存刁籲刁sin (45+Z)sin (45+&+30。)sin i(45*-a:)+cos(45*+a)sin(45+o;)+-an(45+o;)cosf45 + a)2 2 1 - cos(90 *2Of)* i因为化60卩,30加+30坯

10、1刖,所以当a =30时，血卩必+30|的最大值为1,此时 OMN的面积取到最小值.即P0M - 30时, OMN勺面积的最小值为8-45/3 【点评】面积问题是边长与角问题的综合,解题中既要考虑边的变化,也要考虑相关角的变化,通常是利用面积公式，将其转化为同一类元素，然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解【小试牛刀】【江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考】如图所示，某市政府决定在为了充分利用这块以政府大楼0为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府

11、大楼设扇形的半径 皿二斤，出0 P二45 0B与0M之间的夹角为9 .P（I）将图书馆底面矩形 ABCD勺面积S表示成9的函数.若R=斗訥，求当8为何值时，矩形 ABCD勺面积S有最大值？其最大值是多少？（精确到0.M存）【解析】（1由题意可知，点M为曲的中点，所以0 设0M于BC的交点为F,则EC = 2亦制，OF = RMSA .肿=of - 2皿=皿朗三R咖竹. 所以 S = 4B-FC = 2flsinff(flctsfl - flsiniS) = R(2sin0cos9-2sin0)（n）因为唄Q#）,则册+担拧）.所以当 册+-謬-，即 =-时，S有最大值._ i 29臨减=我 一

12、 1）沪二卫 一 i）x 45： = 0414 X 2025 = 83835故当0 =-时，矩形ABC啲面积S有最大值盟出站mi9（五）与其它知识点的综合问题【例5】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知 人ABC的周长为6，且BC，CA，AB成等比数列, 则bA BC的取值范围是.口-9【答案】2,-7 /. J+r 6 jfj从而0b2 ,所以【解析】因为BC，CA，AB成等比数列，所以 =ua- uo-（6-斫-莎(i + 3f+ 27BABC = acQQsB=一 丿2a-cb：二(ej-c) i(a+cf -4acOUDf iiir 07_9%尺,也可以与其它知识点进行交汇【

13、点评】三角函数值也是一个实数 ，所以，它也可以与其他实数进行代数运算如向量、数列、不等式等等，解题中要综合这些知识和相关方法，灵活处理，才能既快又准的解决问题【小试牛刀】如图，已知平面上直线I1/I2, A, B分别是li , I2上的动点，C是li, I2之间的一定点，C到li的距离CM =1, C到12的距离CN=J3,山ABC三内角N A、Z B、Z C所对边分别为a,b,c.ab,且05.（I）判断AABC的形状;,求f （0）的最大值.3【答案】（I）卫ABC是直角三角形；（n）f （日）的最大值为痊3(n)记 NACM =9, f(ff) = + JC BC集合 icos5=zic

14、os J 得 511125 二血 2b a【解析】（I）由正弦定理得：-一=一sin B sin A又a Ab,所以A A B ,且凡肌町,所以2+处兀， C亠2所以右ABC是直角三角形;(IIJI）NACM =日，由（I ）得曰CN二一-d ,则7AC_丄 BC _A f(0) = cosB，sin，丄+丄二g 0+9 站砂=卓皿3兰） AC SC3 击 L所以0=6时，“的最大值为晋五、迁移运用1 .【江苏省如皋市2018-2019学年高三年级第一学期期末】在锐角ABC中，角A, B, C所对的边分别为a,b, c，已知幵Mb“忒二时,则f血她M的最小值是 .【解析】根据题意，已知吐+加尿

15、。比=3虞，由余弦定理得 M化简得咖-旳u【答案】62砧由正弦定理.2（石汩 - Ch切）三皿叱即+sinC （正弦平方差）整理可得.2讯批伽B -泅=sfnAios/f + cts4s；rtH|即 sintosfi = 3cosjsinfl ntaM = 3tanB设 CtinA = x.cun/f = 3x|因为为锐角三角形，所以伽心臥刈此时皿f附心益xr：CcinAtcjnIftt/nC i所以S令心护心*f)当 f W0rfl|, f(x)递增；当 f gCOeCYl 所以 /Wmm 蛊 f(l) = (j故技加。油(佚泌的最小值是6x 0),f(x)递减;故答案为62 .【江苏省无锡

16、市 2019届高三上学期期末】在锐角三角形ABC中，已知2sin 2 A+ sin 2B = 2sin 2C,则+ +:tanA tanR lanC【答案】计的最小值为【解析】由正弦定理，得:如图，作BD丄AC于D,设因为2 + fo=2?,所以, 宀如-划-d,解得：AAx, CD= y, BAh,2(” +(x + y) = 2(F + 巧，化简，得:x= 3ytan(A + G ttrnB lurtA + tanC =- tonB 1 - tanAtanC1 -tanAtanCI ，tanA + tanC tanP，111lanAtanC - 1h +-+taiiA tan8 lanC

17、】 lanA + t.anCtanA tanC舟2 亠+匸 h h h h+ =JT y=空十旳-By =护+算2 ；，当且仅当西时取得最小值h 4yh. $2故答案为：学3 .【江苏省南京市13校2019届高三12月联合调研已知血IEC的三边长口，h,匸成等差数列，且 ? + Q + / =盟，则实数b的取值范围是【解析】【解析设公差为 d,则有a= b- d, c = b+d，代入a2+b2+c2= 63，化简可得3b2+2d2= 63,当d= 0时，b有最大值为、阪,由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b c,整理得：b 2d,可得：3b2+2洛）263,

18、解得：b3怯，则实数b的取值范围是（3农，屈故答案为：（琲，、阪.4 【江苏省清江中学 2019届高三第二次教学质量调研在删Bf中，设角儿&C的对边分别是険,若农码肛-成3 血等差数列，则 +的最小值为.sin A sinC【答案2*陌+ 1）【解析由题得 恥二血 + C : C0SB = “-凸2 ar2SLC所以嗣=辿弊.遷塗=警2iLC所以 0B75Vii0sinB.2sind = yf23iiA + siiiC, vsirul + sinC 警;-,3当且仅当a=c=J3时等号成立.二si nB兰232亠宀巫设心ABC外接圆的半径为r，贝y siilB 2j22，故r9 S =谢】 -

19、兀.故心ABC外接圆面积的最小值为8答案:10 .【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若不等式9-兀8fein+sirLsmC 19siiLSsinC 对任意人ABC都成立，则实数k的最小值为【答案】100【解析】由正弦定理得I9bc-ac (19i/-a)c (19i-a)tj + i)彳制+碍。因此k工100，即k的最小值为100 11.【山东省德州市 2018届高三上学期期中考试】在 AABC中，a,b,c分别为内角 A,B,C的对边, a+c=tif 2-cod) = a(cos5+l),则 abc 面积的最大值为【答案】也【解析.i(2-cg4)(cos5+l),.2b-0

20、Tc05+dco5B由余弦定理得1曲+处。詔“+应一之2bc二 2b -a = c，即卩 a +c =2b。又 a + c = 4，二 b =2.-12ac acJ+F - 4 (a+c) -2ac-4 l2-2ac 62ac由余弦定理的推论得 0話二-一-3扌=扣+黑+号=应显庆2丿-9 = J亍，当且仅当a = C时等号成立。 AABC面积的最大值为J3。12.【江苏省泰州中学 2018届高三10月月考】在 MBC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c , 若 A ABC为锐角三角形，且满足 b2a2 =ac，贝U+ si 115的取值范围是taiLl taiB【答案】L也I 6丿【解

21、析】由正弦定理得：血必-血d=5in/lsinC,由降幂公式得cos2-coM =血钿nc，再结合1和差化积得：sin(5-J)=siiLd/TTT TT _ 兀在三角形中得B=2A所以知由三角形为锐角三角形得：訂衣亍而+ 5irLS= + sin5 , tatLl taiBsithS令 =511W C庁丿，血肌7,f 7J3 ）函数y =t +-在（0,1 J递减，所以4，故填,一6 13.【江苏省南通市基地学校 2019届高三3月联考】在 朋IBC中，角扎EC所对的边分别为口血G向量 话=（2乩b），2厲，且五苗（1）若2 = 30，求角C的值;（2）求角R的最大值.【解析】（1）因为m

22、= （2a.y, 2 a-血），且耐用 所以 2aX（-cosC）二 b,即 2x0忧 + b = 0|a b 2sinAcosC + sin/J = 0l由正弦定理= ，得5加卫 Stni?所以 2sjnAcosC + sin(A + T) = 0|整理 得 3血mK + cosAxtnC = 0| 将g二30代入上式得加M =-事又 CleOLit）,所以 C = 12炉（2）方法一：由式，因为 占Mao,血Rao，所以cosC 0式两边同时除以cosAcosC,得引T+mmtarvUiFtanC tarn一 3仙力2 怡朋竹曲=一伽01+C）二一1一伽加I广 1+孔何二rr歸ZtanA

23、袒；tanB 2$护X护=駁Cf3ac 06所以 R = 2Wsiii即叶讷二 4sin0 + 2v3ros（?所以仙屮辰辭又当时，F 二 4losR - 2 a 乔旳 F 机g 召-23 fi _在0F；上递增.所以当0（ = -时，h取得最大值5.因为2 +2护A 5,所以h的最大值为2 + 2启.综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（15. 【江苏省常州市2019届高三上学期期末】某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形ASCDEFGH）,整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴W米，两根竖轴

24、S = DG = 1力米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为米.圏一.（1）若MEC二一，且两根横轴之间的距离为0石米，求景观窗格的外框总长度;（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积（多边形 AfiCDEFGH的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中MEC的大小与的长度.【解析】（1）-g吩米，如 =囲剜二期腮-Z =06 仞二丽-2 SCcosrCSE 二 1.6 - 03 则*?血豁厂米，米, 故总长度Tg囂D +他七M米;答：景观窗格的外框总长度为 6.8-1.23米；（2）设川Bf刃我EEC = y,景观窗格的面积为5

25、 ,则 A5 = 1.2- 2pn C - 3卜 1.2 + 2)血儿 CD = 1.6-即眦(工= 2戶血n 1 =如+風=4y(l + TO - siru)+56 乞5 胡沪帕 盒+1盂+1広Mrk归沱警，当且仅当叫少即* =仝时取等4-咖2任+ 1）也-孟3-盒S 312 xl.&-x ；脏 in(jr - - BC 诚-Jt) = 1.2 x 1,6+冋必 知：400200丿-20答：当景观窗格的面积最大时,zWC=亍flC的长度为警若米.16. 【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市 ）2019届高三第一学期期末联考】如图，某公园内有一 块矩形绿地区域 ABCD已知AB=1O0米

26、，BC=80米，以AD, BC为直径的两个半圆内种植花草，其它区域种值苗木.现决定在绿地区域内修建由直路 BN MN和弧形路MD三部分组成的观赏道路，其中直路MN与绿地区域边界AB平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米2a元，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为每米3a元，修建的总造价为W元.设创；）.（1 ）求W关于3的函数关系式;（2）如何修建道路，可使修建的总造价最少？并求最少总造价【解析】（1）连NC AM设AD的中点为0,连接MO过N作丽ElBf，垂足为E.()mx由BC为直径知，岀就=9卜又RC米，皿Bf韵，所以 SA - SOcostJ 米，匪二瑚刖=8siiitos9,因为 MN/

27、 AB,刈丹二 loo米，所以 MN 二細-则E = 100 IfiOsiiiflcosfl米,由于创M = 2山伽=制0MTO米，所以 DM = 40 X 2&二 800米，因为直路的工程造价为每米 2a元，弧形路的工程造价为每米 3a元,所以总造价为+=2ci8（ko出 + 100-160 咖血。卅）+3q 碉0-4险他仍卩一 Ssinflcosfl + 6卩 + S)二4呱4血0-4 诚0+60 + 5)(O0).所以w关于g的函数关系式为IV 二 4Oa4E0s0 - Ssinflcosff+6ff+5)(0 0；)（2）记怡）=4疏-甌0期0+册+507 则 f(S)-4sin0-8

28、co3=fl + 8sin9+6= 16sin0-4sinfl*2 4sinHlKZsinS-l)令ft胃）= 0,得0丄，列表如下:fi0716一0+fCfi)极小值旳所以，当弘-时，他取得最小值，C200 + 40W)a 元此时，总造价 W最少，最少总造价为 答：（1）W关于g的函数关系式为C200 + 40W)a元.卩=40 砒 g 制-谿册瀾+6$+5）（10 fl ；）；（2）当肛-时，修建的总造价最少，最少总造价为&17. 【福建省厦门市2018届高三年级上学期期末质检数学（理）】如图，单位圆 O与X, y轴正半轴的交点分别为A,D，圆O上的点C在第一象限.若点C的坐标为徑丄12

29、2丿，延长CD至点B，使得DB =2，求OB的长;2t圆O上的点E在第二象限，若 ZEOC = ，求四边形OCDE面积的最大值.3Q3 1【解析】（1）由点C，一在单位圆上，可知I2 2丿由图像可得上COD二60 ； 在总CDB 中，OD =1，/CQ = 120， db =2 ；由余弦定理得 OS = ODDB -lOD - OB cosllO ； 解得0B = J7 ；(2 )设AZJ)OE = -33S如二严8,S迥inPMI 3丿四边形OCDE的面积仰= -sin5+-sin2 2(2jr A(71JT、0 ；:-e-U )6 2)1- 3 羽?cos 0 + sin S = si 1

30、10+-C：O50X 2=1 )倍，三角形ABC的面积为S (千米2).试用0和a表示S ;(2)若恰好当9 =60时，S取得最大值，求a的值.【解析】设边BC =x，则AC =ax , 在三角形ABC中，由余弦定理得:所以F二_,1 + if -2口CO501二、c 】 e 1所以 S 二一工J= ,22 l+a* -lacosff1 flco50(l+6r -2acosd-2asm& ijsin&(2)因为 y 二P，4(1+/-2000)1 +-2/2 (1+才 -令 S =0，得 C0S% =,1+0亠.2a且当0 C日0时，C3爲,S、o,l+6f2&当日A日0时，Ca站C, SvO ,1+(/所以当0 = 00时，面积S最大，此时日。=60 ，所以2a 2 =丄1 + a22解得 a =2 + J3 ,因为 a 1 ，贝y a =2 + J3.19. 【江苏省仪征中学 2018届高三10月学情检测】如图，一块弓形余布料EMF点M为弧EF的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形EMF内） , / EOF.将弓形余布料裁剪成尽可能大的矩形ABCD不3计损耗），AD/ EF,且点A D在弧EF上，设/ AOD2e .（1）求矩形ABCD勺面积S关于e的函数关系式;（2）当矩形ABCD勺面积最大时，求