无穷级数习题课资料

1、无穷级数习题课资料一、本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法,敛与条件收敛。幕级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性） 级数，函数展开为幕级数及幕级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。绝对收，泰勒二、本章重点用定义判别级数的收敛， 正项级数的审敛法， 莱布尼兹型级数的审敛法， 幕级数的收敛 域与收敛半径，幕级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。三、本章难点用定义判别级数的收敛，级数审敛法，幕级数求和函数, 收敛定理。四、例题选讲函数的泰勒级数，傅立叶级数例1 :判别级数zn =2（1 ）In |1+-一I一也的敛散性

2、。（用定义）In nin （1 + n ）解：原式fW+nnz2 In nIn(1 +n )19In/川十 Urin(n+1)丿f 11+ I- In 3 丿 lln3(1 1级数的部分和Sn =1 U n21 1ln2 ln(n+1)T In 21所以原级数收敛，且收敛于In 2例2:利用柯西审敛原理证明级数尹osn-cosgr)收敛。n=2证明：Sn柿Sn - ZnF cosm-cos(m+1)coLF(丄-丄)cos(m + 1)-n +1m m + 1cos( n + p +1)n+ pn +11-丄)+丄mhHr m m +1 n + p1=0)对任意的s 0，取N =则当n A N

3、时，对所有p忘N，都有k故原级数收敛。例3:判别下列级数的敛散性(6)J_ 厶 Olnn nzi 31解：（1）丄-Innn +1因为=! -In(1 +二)nn1 12 +o(p)I n1 , 1、 诗+o(y)，1 I n +1-Inlim n nn_所以级数znzi1n2lim -2nn_3C1 12 nn丄n2且A收敛,nA nJln(n+1收敛。1所以原级数收敛。(2)因为 limjnn =1,n1n2（3用根值法，你J=n%n+1=-1 ，所以原级数收敛。2(4) 1!+2! + |n+ n! n n!,1!+2!+川 +n!(2n)n f!(2n)!oCI用比值法可知 送收敛，所

4、以原级数收敛。n山n!Un +（5）比值法：二Fq当0xc1时，Iim-xd,级数收敛,Un当X=1时,limUn卡Un1时，limUtUn=0 cl，级数收敛。所以，当X0时,级数收敛。(6)因为广义积分广31inx dxy =|n X 0 dy31一一，所以原级数收敛。In 3-13C例4:判断级数无fsin I n；!nz2 3时，nYIn n由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。因为0 0)，故 f(X )在(0 )内单增,从而fHEr 1、，且啣I石丿也+f (x)= 0，由莱布尼兹判别法知，原级数收敛。an比i收敛。例6：设数列an为单调增加的有界正数列，证明级数送11- n =2

5、I an4t证明：因为数列aj单增有上界，所以极限存在。设lim an = a，考虑n_0 un =1 -旦-an +an + a a - anan +a1而级数送(an+ - ann=2)=lim (an出-a2 )= a-a2存在，由比较审敛法知，原级数收敛。例7：求下列幕级数的收敛域(1)zn inX-nn2C /，(2) 2 sin+ 2x)n ,( 3)h ：(x+1)nn =2丄Y12n丿(2X丿limn_an H1X = 2 时,|an|原级数为=lim 一-一 =1，所以收敛半径为Y2( n+1) 2收敛区间(-2,2 )。x = -2时，原级数为1Z (-1)，收敛。心n所以

6、收敛域为-2,2 )。(2)令 t1 +2x-2-XoC，原级数为znz2sinV 2n丿an +1sin=limnacC,=1，所以收敛半径R = 1。又t=1时级数为2sin丄n三2n2(n +1)JI 2n丿发散，t=-1时级数为于(1Z Isin丄(-1)n，由莱布尼兹准则可知其收敛，故收敛域为 n牡 2n丿D =一1,1)，再由一1 1 +2x1 11，解得原级数的收敛域为 D = I-3,1。2-XL3丿an十-nm1 +1 】nI 3 丿1 =3，所以收敛半径 R =-，收敛区间为5 +1)+1333l3 丿1,1423+*3，即二 X 4当X =-时，原级数收敛，当3x| 时,

7、原级数发散。得原级数的收敛域为 D =-一L 3例&求下列级数的和函数(1)Z 2x2n 十，(2)Z 2X22n zOn!n十）（1）x2nX解（1记un(x)= n!X hO时,Un十（X）lim .nY|Un(X)|2(n+1)+1=limF (n +1)! 2n+1亠 x2=0所以收敛半径 R =处，收敛域为（-处，畑卜设 S(x) = Sn=0n!X2n* X亡（亠七边）S(x心n!+ -X心n!3C n=2x 送(x2 )n+ xS处412 n(X ) n n != 2xZX2n 壬(n 1)!(x2)n+XeJ2Xn1)!/2 n(X )+ xeX =(2x3 +x)eX（2）记

8、 Un（X）2nUn 十（X）X ho时，lim .F |Un(x)|2n +1nm2(2 n- 1)x所以收敛半径r = J2，又x = 72时，原级数发散，所以级数的收敛域为D =（-72,逅）。n#2n,X (-应寓C x2n比 X2nFS(x)=2 (二任nJ 2nJ 22 + X2=2 ， X 忘(-Z2, V2 卜(2-x2)(3)求得级数的收敛域为(亠，y 卜记级数的和函为 S(x卜nn用也-M (1 ) 2n出亠(1 )2 M37 (2n +1)!y (2n +3)!n丄X忘(-=c,+=c )所、j( 一1 i2n 书所以近X =sinxx，7(2n +3 Jn即2上匚严心(

9、2n + 3)!对上式两端求导得：sin XX-1 ,(XHO)n2(U-1) x2 n 卫(2 n+3yxcosx sin Xn处(n +U -1 ) 故有 S(x)=2 心(2n +3 J2nX1-一(xcosx-sin X )，( xHO) 2x当x =0时，由所给级数知S(0) =丄。因此6S(x=1 / , -(xcosxsi nx) xHO 2xl6例9把级数n -4(T ) X2n-12n/人cznm(2 n1 J2的和函数展开成X-1的幕级数。解：记级数的和函为 S(x),nJ(T)C即 S(X)(2n F22n2n 4nJX= 2sin-,2S(x)= 2sin1 +(x -

10、1 )1 X -11 . X-1 =2(sin-cos+ cos-Sin)2 2 2 21 fx-1? c 1 J1fx-1*1I ( +2cos-送(-1 a 2n? (2n _1 八 2 丿(2n)!l 2 丿c例10求级数22n(n -1)2-的和。 n解:(1广 _(n+1)(n1)(1严-n=2 (n +1)(n1) 2n=2丄_丄口n出5-1 n +1 丿 2zn =S4n=2 n124 ni nJ)n|n()e2424云丄n厂n=2 n +1 l2 丿n=2n +1I n +2)h(T)nn 2W)n一 (ln1+1+12 2 8i2-5，czn=2(n2 -1 0=2 o841

11、例11 设 f(XrlnLarctanx-x ,1-X 2试将f (X )展开成X的幕级数。解：f(X)的定义域为1x c1,f(x戶沽J4 1 - x 2 1 + x2-11-XoCZ4n Xn zOc-1 =znTX4n , 1xc13C4n u p 14n +dt Xn# 4n +1X 1 oc所以 f(X)= f(0)+ T f (t dt = Jo 送 t0 n3C例12设f (X ) = 5； anxn在0,1上收敛，试证：当a0 =6 =0时，级数Zndnf ln丿必收敛。证明由已知f (1 ) = 2 an收敛，所以lim an =0，从而an有界，即存在 n_M A 0，使得

12、an M(n =0,1,2,川)，所以a0上心+ 11MJn nXMfil5+ 丄+川 a。7=012 r n nM1-% (n-1)由比较准则可知级数：T f f1】收敛，且为绝对收敛。例13求函数f(X )= a。j0anf (X )满足展开定理= F(X条件，将f (X)周期延拓得F(x)(周期为T)，-x才，F(X)处处连续。(Xf(X(1+(-1)兀(n2 1)252兀2)dx =sin xdx =EosTxdx =2 f2sinT 0-2(4k2 -1 )n =2kxcos Txdx T，nH1, k=1,2川,n =2k2另求 a1:a1 =TT2sin 经 cos jdxT T

13、=-cosT2=0，.2;inx ,X)sin dx =2 2 2;rx . 2;inx f2 sinsinT 0 TT dx = 0, n h1另求b,:所以函数f （X ）的傅立叶级数为:丄 Jsin 生 X 22 T4兀nx氏4n匸1cos八一鳥。S皋dx1 T例14(1)求f（X ）的傅立叶级数;已知函数f（x）=x2, 0cxc2兀，是周期为2兀的周期函数,兀21证明2：61l）dx 的值。解：（1） f（x ）的间断点为x=2k；i,kZ , f（X ）的傅里叶级数在 x = 2k；i,kZ上收敛到2兀2。2兀2Jo xd- 31 兀1 2兀1ao=J f(x)dx= f(x)dx= _ .丁兀p兀anbn1 f x2cosnxdx =