期末考试及答案(理

1、黄冈中学湖北省2008春季高一数学期末考试试题（理）鄂南高中第12页共7页命题：张科兀审稿：王宪生校对：胡华川5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只、选择题：本大题共 10小题，每小题有一项是符合题目要求的.1 .若 sin (兀 +64= -,sin5f兀r+912丿L35则e角的终边在（D ）A .第一象限C.第三象限B.第二象限cOCOsQ 0， 角的终边在第四象限.54 4提示:;si n04:542.若 a =(1,2), b =(4, k), c=0,贝 U呻I(a b)c=( B )D.第四象限提示:I4B . 04 47 (a b)c = 0 .C. 4 + 2k3.已知

2、a,b为非零实数，且ab ,则下列不等式一定成立的是（A. a2 Ab210,b0,且a+ b=2，则下列不等式一定成立的是（D）C. a2 +b2 兰2a2+b2 32提示:;屈兰号兰匕a2+b2 3 2 .6.函数y =2si n(axcosx ( 0)的最小正周期为 兀，则函数f(x)=2si n佃x+上)的2一个单调增区间是(C)B 2，刃D 0 冷提示:;y =2si n xcosx =sin 2x,( 0) . ： .0 =1,f (x) =2s in(x+ 专)= 2cosx ,3气 在兀，寺上单调递增.7.已知函数f(x)=ta n( 2xbn)的图象的一个对称中心为G,0)

3、，若 |b1，则 f (x)的32解析式为(D)兀A ta n(2x+)JIJIC. tan(2x + )或 tan(2x )63t * 兀k兀2提示:;2 = ， b=-323兀B tan(2x )6JI兀D tan (2x )或 tan( 2x +)63k111一一,(k 迂 Z),又 I b |P4同向，且R与R , F2与R的横坐标都相差一个周期，所以 |PP3|=2 , |P2F4|=2 , PP3 忆巳-IPPsllB巳 1=4 9.设 m,x 忘 R,M=x2 + 2mx +2m2,N =x-2，贝U M ,N 的大小关系为(A )A ManB. M NC.=x2 +(2m-1)

4、x+2m2 +2 , =(2m-1)2 -4(2m2 +2)= x2+(2m-1)x + 2m2 + 20 (2m+1)2-6 CO，所以当 X亡 R 时，MN10设S是心ABC的面积，A, B,C的对边分别为a, b,c，且2Ssin Ac (BA BC)sin B ,(A)MBC是钝角三角形则A C. AABC可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形T T1B 也ABC是锐角三角形D无法判断提示:,2Ssi nA-, AABC是钝角三角形.2 2 2二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.（用坐标表示）11在平行四边形ABCD中，若=（2,4）, 7C = （1,3）,则 7D =

5、提示:丫 AB = DC=(2,4) , 7D=ACDC=(1,3) (2,4)+11) 12.已知三点 A(1,2), B(2,-1),C(2,2) , E, F为线段BC的三等分点，则AE 7f =3 提示:;B(2,-1),C(2,2) , E,F 为线段 BC 的三等分点，二 E(2,0), F(2,1),TTT TAE =(1,2),AF =(1,1)，二 AE ”AF =1+2=3 .13.若函数f（X2x2+2（a；2）x+3a（心）能用均值不等式求最大值，则需要补充a的取值范围是aJ3x提示:;宀 2(a+2)x+3a=1, X 1,该式能用均值不等式求最大值,X + +2（a

6、 +2）x2 1，3a = X 1,a .x33a3a则 一 0,且 X = x14.已知关于x的方程sin x+cosx=a与tan x+cotx=a的解集都是空集，则实数 a的取值范围是（2,72）U（J2,2） 一 提示:a=s in x+cosx=J2s in (x+)亡-J2, J2，又其解集为空集，(-4一返)U(Q P)，当 tan X 0 时，a =tan x + cot x 2Jtan x cot x = 2，当 n 曲 时,a=tanx+cotx2 :a2bc + ab2c + abc2 兰丄；abc3其中一定成立的式子有.432提示:当a=b=c=时排除；a =2 , b

7、=3 , c = T时排除；而(a+b + c)23(ab + bc + ca)2=a2 +b2 + C2 +2(ab +bc+ ca)二 3(ab +bc + ca) =3 ：2，二成立;3(ab)(bc) +(bc)(ca) +(ca)(ab) =3(a2bc + ab2c + abc2)，成立.三、解答题：本大题共 6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步216.(本小题满分 12分)解关于X的不等式：loga(x -4x + 3)0,-x +10,得X 1 时，X2 -4x +3 V-X +1, X2 -3x + 2 0匚.1 xX -3x+2 0”.X2 或 xc1,又

8、 xc1,”.xc1 , 综上：当a A1时，不等式无解；当 0cac1时，不等式的解集为x|xv1.17.(本小题满分 12 分)已知向量 OA=(3,4),OB =(6,3),OC =(5-x,3-y).(I)若点A, B,C能构成三角形，求 x,y满足的条件;(n)若 MBC为等腰直角三角形，且 NB为直角，求x,y的值.解答:(I) 若点A, B,C能构成三角形，则这三点不共线，7 AB =(3,1),AC =(2-x,1-y), 3(1y)H2X , /. x, y 满足的条件为 3y-xH1(若根据点 A,B,C能构成三角形，必须IAB I + IBC |a| AC I，相应给分)

9、；(n) AB = (3,1), BC = (X 1, y),若 Z B 为直角，则 AB 丄 BC ,- 3(-x -1)- y = 0 ,又 lABHBCl , (x+1)2+y218.(本小题满分12分)若将函数IX = 0 亠 I X = -2 = 10,再由 y = 3(-x1),解得 4 c或 c .y = _3y=34f(X)= Sin X的图象按向量a =(兀，3)平移后得到函数 g(x)的图象.(I)求函数g(x)的解析式;(n)求函数1F(X)(F的最小值.解答:(I)4设P(x,y)是函数f(x)=si nx的图象上任意一点，按向量 a=(3)平移!x = x+兀，即y

10、= y +3I X = X jI 后在函数g(x)的图象上的对应点为 P (x,y)，则： ,ly=y-3y +3 =sin(x + ；i)，所以函数 g(x) = sin x 3 ；1 1(n) : F(x2f(x)sinx+E= sin X + 3 +sin X +3-3，令 t =sinx +13引2, 4，而函数 卩(t)=t +-在2,4上是增函数，所以当1当 si nx=1 时，F(x)min=-.1t=2 时，卩(t)min=2+2，即19.(本小题满分12分)在 ABC中，cosA -417tanB35(I)求角C的大小;(n)若 ABC最大边的边长为，求最小边的边长.解答:(

11、I)C = n (A + B) , cos A = ，二 tan A=-174/. tanC = tan(A+ B)=1 + 3451丄34 53=1.又 J 0 C n, /. C = n ；4(n) Tc冷AB边最大，即心后.又；tanAtanB，二角A最小，BC边为最小边.Y cos A = 也717sin A 圧17AB由sin C= -B 得:sin ABC = ABsin A =，所以，最小边 BC =.si nC20.(本小题满分13分)“都会选择一个合理的位置，512 ”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇，分别位于医疗队到达后,个矩

12、形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处，AB=10km，BC = 5km，现要在该矩形的区域内(含边界)且与A,B等距离的一点 0处建造一个医疗站，记 0点到三个乡镇的距离之和为y .(I)设NBAO = (rad )，将y表示为日的函数;(n)试利用(I)的函数关系式确定医疗站的位置，使三 个乡镇到医疗站的距离之和最短.解答：（I）如图，延长PO交AB于点Q ,由题设可知BQ-AQAB-S , AO = BO ,2PO =5-OQ，在 RUABC 中，AO=,OQ=5tanS , cosO10雹”y =AO +BO +PO =+ 5-5tan0，又0 9 ,cos 日410辽:胡=-5t

13、ane+ 5,(0 0 -)； cos 日4(n) ； y_5tan0 +5=5 2 引门日 +5，令 u = 2 引门日，0 日 ，则cos9cos 日COST4UCOS0 +si=2,. Ju2 +1sin(9 +W) =2,(tan W =u)，二 sin(0 + ) =2 或u （舍），当u = 时，卑=,日=忘0,，所以y最小，即医疗364站的位置0满足0可使得三个乡镇到医疗= -,AO =BO 二10 PO =5-5km ,633站的距离之和最短.21.（本小题满分14分）已知AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.（I）证明：不论x取何值总有 b2x2+ (b2+c2-a2)x+c aO ；（n）证明:c+1a + b+12，证明:1 .a+b+c+1 (c+ 1)(a +b+1)6解答:(I) 令 y =b2x2 +(b2 + c2-a2)x tc2，由余弦定理 b2 +2 2c -a =2bccosA,.A“2,22,2.,22.,222.,22,.22,2.、亠一宀十亠”i =(b + c -a ) -4b c =4b c cos A-4b c =4b c (cos AT)，在三角形中2 2 2 2 2 2 2 2cos A 1，二也0得：不论x取何值总有b x +(b +c -a)x+c