概率统计习题5.1

1、&5.1 总体与样本 内容提要1. 总体 在一个统计问题中 ,研究对象的全体称为总体 , 构成总体的每个成员称为个体。若关心的是总体中每个个体的一个数量指标，则该总体称为一维总 体，总体就是一个一维分布 .若关心的是总体中的每个个体的两个数量指标 ,则该总体称为二维总 体,二维总体就是一个二维分布 .余此类推 .2. 有限总体与无限总体 若总体中的个体数是有限的 ,此总体称为有限总体.若总体中的个体数是无限的 ,此总体称为无限总体 .实际中总体中的个体数大多是有限的 .当个体数充分大时 ,将有限总体 看作无限总体是一种合理的抽象 .3. 样本 从总体中随即抽取的部分个体组成的集合称为样本,样本

2、中的个体称为样品，样品个数称为样本容量或样本量 样本常用n个指标值X1, X2xn表示.它可看作n维随机变量，又可看作其观察值 ,这由上下文中加以区别 .4. 分组样本 只知样本观测值所在区间 .而不知具体的样本称为分组样 本.缺点 :与完全样本相比损失部分信息 .优点 :在样本量较大时 ,用分组样本既简明扼要 ,又能帮助人们更好地 认识总体 .5. 简单随机样本若样本xi, X2，xn是n个相互独立的具有一分布(总体分布)的随机变量,则称该样本为简单随机样本，仍称样本.n若总体的分布函数为F (X),则其样本的(联合)分布函数为n F(xi)i 二n若总体的密度函数为p(x)，则其样本的(联

3、合)密度函数为n p(xi)i 二n若总体的分布列为p(xi),则其样本的(联合)分布列为n P(Xi)i=1习题与解答5.11.某地电视台想了解某电视栏目(如:每晚九点至九点半的体育节目)在该地区的收视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行一次电视访查.(1) 该项研究的总体是什么？(2) 该项研究的样本是什么？ 解(1)该项研究的总体是该地区全体电视观众； 该项研究的样本是该地区被电话访查的电视观众2为了了解统计学专业本科毕业生的就业情况，我们调查了某地区30 名2000年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪情况(1) 什么是总体？(2) 什么是样本？(3) 样本量是什么？ 解(1)总体是

4、该地区2000年毕业的统计学专业本科生实习期满后的 月薪； (2)样本是被调查的30名2000年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪;(3) 样本量为30名.3. 设某厂大量生产某种产品，其不合格品率P未知，每m件产品包装为 一盒,为了检查产品的质量，任意抽取n盒,查其中的不合格品数 试说 明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布.解 总体为该厂生产的每盒产品中的不合格品数；样本是任意抽取的 盒每盒产品的不合格品数； 样本中每盒产品中的不合格品数为X1, X2XnXi : b(m, P), i =1,2，n 所以样本(X1, X2，xn )的分布4. 假设一位运动员在完全相同的条件下重复进

5、行n次打靶，试给出总体和样本的统计描述.解 若以P记运动员打靶命中的概率，并以”记打靶命中，以”0”记打靶 未命中，则总体为运动员打靶命中与否，该总体可由一个二点分布表X01p1-pP样本为由n个0或1组成的集合 若记Xi ： b(1, p) ,i = 1,2，n ,样本n Xj1 itn t(X1,., xn)的分布为 n P O-P) 二 PO-P),其中 t = X1+.+ Xni =15.某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了解其平均寿命，从中抽出n件产品测其实际寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布.解 总体是该厂生产的电容器的寿命，或者可以说总体是指数分布，其

6、分布为ExP （几）； 样本是该厂中抽出的n个电容器的寿命;记第i个电容器的寿命为Xi，则Xi : Exp（A ）, i = 1,2,., n ,样本（X1.Xn ）的n分布为n扎e丛=汀討其中t = X1 +. + Xi =16. 美国某高校根据毕业生返校情况记录，宣布该校毕业生的年平均工资为5万美元，你对此有何评论？ 解毕业生返校记录是全体毕业生中的一个特殊群体（子群体）的一个 样本,它只能反映该子总体的特征，不能反映全体毕业生的状况，故此 说法有骗人之嫌.7. 设有n个产品，其中有m个次品.进行放回抽样.定义Xi如下:1, 第i次取得次品0, 第i次取得正品求样本X1, X2 , .,

7、Xn的联合分布.解总体的分布列为P（x吟,P（xf M1-X也可以写成P（X =x）In丿,X = 0,1.因此样本X1, X2,., Xn的联合分布为f MP(X1, X2,., xn) =n I .i,N 丿 I1_M1、nt,Xi =0,1,8.设离散总体的分布列为P (X =k)=丄,k =1,2,., N.现进行不返回的抽N样，X1, X2xn为样本为样本均值，求E(X 与 Var(；).(表示成N的函数).解由于N有限,抽样是不返回的，所以样本X1,., Xn中诸Xi的分布列与总体的分布列相同，但诸 间不相独立，即此样本不是简单随机样本，以下我们先求诸Xi的期望，方差与协方差：N

8、k 1 N (N +1) N + 1,i = 1, 2,., n ,22 2Var(xi) = E&j2) - E(xi) = ZN (N + 1)(2 N + 1)N + 1、=I 6Nk=1 N212,i = 1,2,., n ,C 0V (Xi, Xj)E (xiXj) - E (Xi) :E (Xj) = Z - k* N其中N送klkdk =12 2N (N +1)N (N + 1)(2 N +1)(N +1)( N -1)(3 N + 2), 12代回原方差表达式，可得Cov (xi, Xj)=N (N + 1)( N -1)(3 N +2)2(N +1)N +112 N (N -

9、1)L Hj且i,1,2,., N,由此可得样本均值的期望与方差Ed)-1送 E(xi)-1nVar(X)= Varn I y(Xi) +送 Cov (Xi, Xj)1叽宀1)卄1):1212N +1 I1=(N +1 )( N - n ). 12n&5.2样本数据的整理与显示内容提要1.经验分布函数若将样本观测值X1,X2,., xn由小到大进行排列，得有序样本X(1)兰X(2)兰兰X( n),用有序样本定义如下函数0,当 X x(1),Fn(x)二 1 k/n,当 x(k)兰 X c二1,2，n -1,1,当 XX X(n),则称Fn ( X)为该样本的经验分布函数.格里纹科定理设X1,X

10、2,., xn是取自总体分布函数为F(X)的样本,Fn(x)是该样本的经验分布函数，则当nT +绘时,有P(su P Fn(x)-F(x)T 0) = 1.;bc此定理表明，当n相当大时，经验分布函数Fn(x)是总体分布函数F(x) 的一个良好的近似.它是经典统计学的一块基石.2.频数频率分布表 由样本数据X1, X2,., Xn制作频数频率分布表的操作步骤如下：确定组数 k;确定每组组距 ,通常取每组组距相等的 d;确定每组组限 ;统计样本数据落入每个区间的频数 ,并计算频率 .综合上述 ,列入表中 , 即得该样本的频数频率分布表 .该表就是一个分 组样本 ,它能简明扼要的把样本特点表述出来 .不足之处是该表依赖于 分组,不同的分组方式有不同的频数频率分布表 3.样本数据的图形表示 (1)直方图 利用频数频率分布表上的区间 (横坐标)和频数 (纵坐标 )可作出频数直 方图;若把纵坐标改为频率就得频率直方图 若把纵坐标改为频率 /组距 ,就得到单位频率直方图 .这时长条矩形的 面积