（一模）2026年深圳市高三年级第一次调研考试数学试卷（含官方答案及解析）

秘密★启用前 试卷类型：A2026年深圳市高三年级第一次调研考试数 学 2026.3本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，留存试卷，交回答题卡。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据4,6,10,16的平均数为A.6 B.7 C.8 D.92.复数z=sin1+icos1,则|z|=A.1 B.2 C.3 D.43.已知抛物线y2=4x上的一点M的横坐标为A.1 B.2 C.3 D.44.函数fx=sinωx-π4（ωA.5π80 B.π20 C.3π20 D.(5.设f(x)是定义在R上的奇函数,f(2+x)=f(-x),f(-1)=1,则f(9)=A.-1 B.0 C.1 D.26.已知cosθ=45A.-25 B.-210 C.2026年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题第1页共4页7.已知向量a=(2,4),a·b=10,则向量b在向量a上的投影向量为A.(4,2) B.(2,4) C.222 D.(1,8.若实数x,y,z满足x=2-y=-log2z,A.z＞x＞y B.z＞y＞x C.y＞x＞z D.y＞z＞x二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.在正三棱台ABC-A1B1CA.A₁D∥AB B.AD∥平面A₁B₁C₁C.AD⊥A1C1 D.10.设双曲线Γ:x2-y2=1的左、右焦点分别为F₁，F₂.过F₁的直线l与Γ的两条渐近线的交点分别为A、B，AA.△AOB是直角三角形 B.△BOF₂是等腰直角三角形C.∣AB∣=5 D11.将一枚质地均匀的硬币连续投掷n次，定义随机变量Xn为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定.Xn=0.例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为1和2A.PX2=2=1C.PX6=4=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中,已知.A=π4,B=5π13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3S5=14.已知a1,a2,⋯,a8是8个正整数，记S={ai1+ai2+⋯+ai7∣1≤i四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知数列{an}是等比数列，a1=2,a2(1)求an(2)求数列1bn⋅bn+2026年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题第2页共4页16.(15分)某智能系统用于处理判断题(答案只有“对”和“错”)，系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为p(0＜p＜1)，模型乙回答正确的概率为0.75，假设各模型每次回答相互独立.(1)当p=0.85时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率；(2)若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求p的最小值.17.(15分)已知球O的半径为1，在球O的内接八面体PABCDQ中，顶点P，Q分别在平面ABCD两侧，且四棱锥P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥.(1)如图1，若点O在平面ABCD上，求证：PA∥平面QBC；(2)如图2，若二面角P-AB-Q的正切值为-3，求该内接八面体的体积.2026年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题第3页18.(17分)已知函数f(1)当a=3时，求f(x(2)若f(x)有两个零点.(i)求a的取值范围；(ii)证明:fx＜19.(17分)已知A₁，A₂为椭圆C1:x23+y2b2=1(0＜b＜3)的左，右顶点，M为C1上的一点，N为双曲线(1)设O为坐标原点，证明：O，M，N三点共线；(2)设C1、C2的右焦点分别为F1、F2,M、N均在第一象限，直线.(i)证明:M(ii)证明:∠2026年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题第4页2026年深圳市高三年级第一次调研考试数学答案详解一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据4,6,10,16的平均数为A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】平均数x=4+6+10+162.复数:z=sin1+icos1,则∣z∣=A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】∣z∣=sin23.已知抛物线y2=4x上的一点M的横坐标为1，则点A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】y2=4x准线：x=-1,xM=1,则4.函数fx=sinωx-A.5π80 B.π20 C.3π【答案】A【解析】T=2πω=π,∴ω=2,fx=sin2x-π45.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2+x)=f(-x),f(-1)=1,则f(9)=A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】f(2+x)=f(-x),则f(x)关于.x=1l对称，f(x)为奇函数，则f(x)关于(0,0)对称,f(x)的周期为4,f(9)=f(1)=-f(-1)=-1,选A.5.已知cosθ=45,θ∈A.-25 B.-210 C.2【答案】B【解析】cosθ=sinθ-π7.已知向量a=24,a⋅b=10,则向量bA.(4,2) B.(2,4) C.222 D.(1,【答案】D【解析】b在a上的投影向量选D.a3.若实数x,y,z满足x=2-y=-log2z,A.z＞x＞y B.z＞y＞x C.y＞x＞z D.y＞z＞x【答案】C【解析】方法一：令x=2-y=-log2z=k,k＞0,情形①表示.y＞z＞x;情形②表示z＞y＞x;情形③表示z＞x＞y,选C.z＞y＞x;z＞x＞y,方法二：令x=2-y=-log2z=t,由2-y＞0得t＞0,从而x=t2,y=-log2t,z=2-t.若y＞x＞z,则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在正三棱台ABC-A1B1CA.A1C.AD⊥A【答案】BD【解析】A1B1‖AB而A1B1∩A1D=A1,∴A1D与AB不平行，A错.平面ABC∥平面A₁B₁C₁,AD⊂平面ABC,∴AB=AC,AD⊥BC,A₁B=A₁C,A₁D⊥BC,∴BC⊥面AA₁D,D对,选BD.10.设双曲线:x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2.过.F1的直线l与ΓA.△AOB是直角三角形 B.△BOFC.∣AB∣=5 D.直线l的斜率为【答案】ABD【解析】双曲线的渐近线为.y=±x,，两条渐近线相互垂直，A对.如图,令B(m,m),则Am-22m2,A在y=-x上,则y=-xOB=1=BF2,OkBF1=1311.将一枚质地均匀的硬币连续投掷n次，定义随机变量Xn为结果中连续出现正面的最大次数.若始终末出现正面，规定Xn=0.例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为1和2，故.A.PX2C.PX6=4=【答案】ABD【解析】A.X2=2⇔B.n=3时，X3=3:正正正，1种；X3X3=1:正反正、正反反、反正反、反反正，X3=0:反反反，1种；C.PX3=2=2D.设Yn为n次中正面总次数，易知EXn≤E3、推广：偏硬币P(正)=p的递推模型令pn,j=P(前n次末尾连续正面为j，Xn<k),0≤j≤k-1,则p0,0=1,4、更重要的范围：快速估计EX对公平硬币，任取k≥1,，连续k个正面起点至多n-k+1个，PXn≥k≤(n-k+112k,EXn三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在△ABC′中，已知A=π4,B=【答案】6【解析】A=π4,B=51213.已知等差数列an的前n项和为，Sn,且3【答案】14【解析】等差数列{an中，3×5a3=8×314.已知aa1,a2,⋯,a8，a₈是8个正整数，记S={ai1+【答案】23【解析】方法一：a1,8,10,11,12,13,14,14,15满足条件,最大值加最小值为23.方法二:S={82,83,84,85,86,87,89},S有7个元数,设(aC87设a1∴7m=596+X,m能被596+X整除,X=83,m=97,∴{82=m-a889=m-a方法三：通法：设T=a1+a2故8个七项和构成的多重集合为T-a1T-|S|=7⇒恰有一个值重复,设重复值为x∈{82,83,84,85,86,87,89},则T-a596=1(mod7)⇒x=6(mod7),在{82,83,84,85,86,87,89}中仅83=6(mod7),故x=83,7T=596+83=679⇒T=97于是}u1最大数=15,最小数=8,最大数与最小数的和=15+8=23.拓展与深挖：1、一般化结论：n个正整数a1,a则bk就是所有n-1项和，且如果只给出不同值集合且恰少一个(本题|S|=n-1)，就意味着bk2、本题最省事的方法：只求最大数与最小数的和，不必把8个数全写完a本题b3、改编：仍为8个正整数，若七项和的不同值集合为S=u1u2⋯u7且|S|=7T=2026年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DABAABDC【命题说明】：1.(1)教材题源：人教A版必修二181页第1题；(2)高考题源：2025年新高考全国Ⅱ卷第1题；(3)课标要求：结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义.2.(1)教材题源：人教A版必修二95页第4题；(2)高考题源:2008年江西卷第1题;(3)课标要求：理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.(1)教材题源：人教A版必修二第157页第1题；(2)高考题源:2025年北京卷第11题;(3)课标要求：了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.4.(1)教材题源：人教A版必修一第214页第16题；(2)高考题源：2025年新高考全国Ⅰ卷第4题；(3)课标要求:结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的实际意义;能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.5.(1)教材题源：人教A版必修一第214页第15题；(2)高考题源：2025年新高考全国Ⅰ卷第5题；(3)课标要求：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.6.(1)教材题源：A版必修一第217页第4题：(2)高考题源：2024年全国甲卷(理科)第8题：(3)课标要求：理解同角三角函数的基本关系式：sin27.(1)教材题源：人教A版必修二第20页第3题；数学试题参考答案及评分标准第1页共8页(2)高考题源：2025年新高考全国Ⅱ卷第12题；(3)课标要求：通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.8.(1)教材题源：人教A版必修一第160页第5题；(2)高考题源：2025年新高考全国Ⅰ卷第8题；(3)课标要求：通过具体实例，结合y=x,y=1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号91011答案BDABDABD【命题说明】：9.(1)教材题源：人教A版必修二第154页例6；(2)高考题源：2024年新高考全国Ⅱ卷第7题；(3)课标要求：从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出四条性质定理，并加以证明.10.(1)教材题源：人教A版选择性必修一第127页第8题；(2)高考题源：2025年新高考全国Ⅱ卷第11题；(3)课标要求：了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.11.(1)教材题源：人教A版选择性必修三第74页例1；(2)高考题源：2023年新高考全国Ⅰ卷第21题；(3)课标要求：通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差).三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.6 13.14 14.23【命题说明】：12.(1)教材题源：人教A版必修二第48页第2题；(2)高考题源：2024年新高考全国Ⅱ卷第15题；(3)课标要求：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.13.(1)教材题源：人教A版选择性必修二第56页第11题；(2)高考题源：2025年新高考全国Ⅱ卷第7题；数学试题参考答案及评分标准第2页共8页(3)课标要求：探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.14.(1)教材题源：人教A版选择性必修三第27页第11题；(2)高考题源：2024年新高考全国Ⅰ卷第14题；(3)课标要求：通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.【命题说明】(1)教材题源：人教A版选择性必修二第51页第4题；(2)高考题源：2025年新高考全国I卷第16题；(3)课标要求：通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.【参考答案】解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则q=a2a1=2,所以an因为2当n≥2时,2两式相减得2则n≥2时, bn=n+1; 当n=1时,所以bn=n+1,n∈N°。(2)由于1S所以S16.【命题说明】(1)教材题源：人教A版必修二第251页例2；(2)高考题源：2024年新高考全国Ⅱ卷第18题；(3)课标要求：结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义。结合古典概型，能利用独立性计算概率.【参考答案】数学试题参考答案及评分标准第3页共8页解：(1)不妨设事件A=“模型甲回答正确”，事件B=“模型乙回答正确”，则A=“模型甲回答错误”，B由于A与B相互独立,A与B,A与B,A与B都相互独立，由题意可得，PA=p=分析可得，“在第一次提问中两个模型答案不同”的概率为PAB∪AB,FAB∪故在第一次提问中两个模型答案不同的概率为0.325.(2)系统最终输出正确答案可分为第一次输出正确答案和第二次输出正确答案，系统第一次输出正确答案的概率为：P(AB)=0.75p，由(1)可知，在第一次提问中两个模型答案不同的概率为：王AB∪AB=PAB+PAB=PAPB+PAPB=0.25p+0.751-p=0.75-0.5,系统第二次输出正确答案的概率为：P(AB∪AB)P(A)=(0.75-0.5p)-p=-0.5p²+0.75p,设系统最终输出正确答案的概率为P'，则P'=17.【命题说明】(1)教材题源：人教A版选择性必修一第49页第16题；(2)高考题源：2025年新高考全国Ⅰ卷第17题；(3)课标要求：能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题；能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.【参考答案】解：(1)如图,连接AC,则AC必过点O,在四边形PAOC中，由于对角线AC，PO互相平分，则四边形PAOC为平行四边形,故PA∥QC,由于PA⊄平面QBC且QC⊂平面QBC,所以PA∥平面QBC.(2)如图,记正方形ABCD的中心为N,取AB中点M,连接PM,QM,NA,NB,由于PA=PB,则PM⊥AB,同理可证QM⊥AB,则数学试题参考答案及评分标准第4页共8页∠PMQ为二面角P-AB-Q的平面角,又NA=NB,则NM⊥AB,则∠PMN为二面角P-AB=N的平面角,∠QMN为二面角Q-AB-N的平面角,不妨设点O在N的下方，设ON=x(0＜x＜1),则NB=于是tan∠PMN=于是tan∠PMQ=tantan∠PMQ=由于0＜1-x1+x＜则AB=43,则V=13×PQ×S18.【命题说明】(1)教材题源：人教A版选择性必修二第104页第19题；(2)高考题源：2023年新高考全国Ⅰ卷第19题；(3)课标要求：结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大(小)值、最大(小)值；对于多项式函数，能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值；体会导数在研究单调性、极大(小)值、最大(小)值中的作用.【参考答案】解：(1)由于f令f'(x)=0,x=2,令f'(x)＞0,x∈(0,2),f(x)在(0,2)上单调递增;令f'(x)＜0,x∈(2,+∞),f(x)在(2,+∞)上单调递减;所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，+