球类组合体的求解方法

1、球类组合体的求解方法与球有关的组合体问题具有一定的灵活性和隐蔽性，加之其组合体的立体几何图形有一定的复杂性，故能很好考查学生的空间思维能 力许多学生在处理与球有关的组合体问题时，由于受到球本身的限 制,不善于从组合体问题中挖掘关键点，而显得不够简捷.1由球面定义定球心球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置.球面上任意一 点到球心的距离都相等，这是确定球心位置的基本策略 例1（2006年安徽高考题）表面积为2爲的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（1 2-兀一兀3C、3正八面体的各个顶点 心 0 到 P, A B, C,P兀D、3A, B, C, D, Q都在Q六点的距离相兀

2、3B、P,D,分析如图所示：同一个球面上，球 等，因为正八面体的各个面都是正三角形，结合球的内接正八面体 的对称性可知：正八面体的顶点A, B, C,D在球0的同一个大圆上，R=AB厂且四边形ABC助正方形.所以2,即ab=42R.又因为正八面体的表面积为2“ ,且正八面体的各个面都是正三角形， 所AB/a,即 AB=1厂R= ，二 42R=1 ,即2V所以此球的体积为 因此答案应选A.评注：解此题的关键是确定球心 0恰好是正方形ABCD勺中心,再结 合正八面体的各个面都是正三角形以及正八面体的表面积为 2“即 可求出球0的体积.2.利用割补思想定球心= 4,r4兀（返）止咒3323在直接将球

3、心定位较困难时，利用分割或补形的思想方法去探寻 球心的位置，是解决与球有关的组合体问题一种常用策略.例2(2003年全国高考题)一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(A)3 n (B)4 n (C) 兀(D)6 nO与正四面体CiAiBD小正三棱锥，由1的4 ,进而可求得分析 法1(分割)：如图3所示,连结球心 的四个顶点，则四面体被分割成四个相同的Vci占BD =的。内.0得各小棱锥的高为原正四面体高R用外接球的半径2 ,球的 表面积为3 n .故答案应选(A).法2(补形)：如图3所示,构造棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi,则CABD为棱长为逅的正四

4、面体，正方体ABCD - ABGD1的外接球 也为正四面体CiAiBD的外接球，此时球的直径2R=JS)2+12,球的表面积为3n ,故答案应选(A).3. 利用正四面体、正方体的外接球球心与内切球球心重合利用正四面体、正方体的外接球球心与内切球球心重合这一性 质,寻求内切球半径与外接球半径的方程，算出半径的值，即可解决问 题.例3(2006年山东高考题)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()(A) i：3(B)1:3(C)侗方(D)1:9分析:如图，由图形的对称性知，正方体的中心0既是内切球的球心又BC是外接球的球心.半设正方体的棱长为a,内切球半径为r ,外接球半径为R ,V1r 31

5、3 1L=（一）3 = （）3 =所以V RV3 3丽.故答CCi ar=则 22 ,22案应选（C）.4. 构造球心骨架图在许多与球有关的组合体问题中，要画 出实际空间图形比较困 难，但我们可以通过球心、球面上的点以及切点等的连线构造多面体 （俗称“骨架图”）,把与球有关的组合体问题转化为多面体问题来加 以解决.例4（2006年陕西高考题）水平桌面a上放有4个半径为2R的球,且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面 放1个半径为R的小球,它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球 心到水平桌面a的距离是.00 分析 如右图所示：4q水平桌面a上放有4个 半径为2R的球的球心O1

6、，。2，。3，。4与半径为 R的小球的球心5 五点构成正四棱锥05 -OiO2O3O4 .依题设可矢口 :O1O2 = O2O3 = O3O4 = O1O4 = 4R O1O5 = O2O5 = O3O5 = O4O5 = 3R点05在平面01020304的射影0恰好为正方形01020304的中心，连结 005,002Rt心OO2O5 中OO2 2V2r 02 3R 005二J。2。/ -。二R .因此,小球的球心05到水平桌面a的距离 为 005 +2R = 3R5. 利用球的轴截面（大圆）解题画出球的大圆及其所在的截面图形是解决与球有关的相切或相 接组合体问题的基本策略.因此,我们可以把与

7、球有关的相切或相接 组合体问题转化为与圆有关的平面几何问题，使空间问题平面化. 例5 （2006年漳州质量检测题）甲球内切于某正方体的各个面，乙球 内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则甲、乙、丙球表 面面积之比是（）（A）1:2:3（B）仁血：折 （C） 4：纭：疗 （D）1： 7?：疔分析 设正方体ABCD -AiBiCiDi的棱长为a,甲、乙、丙球的半径分T别为r1,r2,r3. 如右图： y 正方体的 内切球甲与正方体的 六个面有六个公共点，点的位置分别在六个 正方形的 中心，经过四 个切点的轴截面（大圆） 是正方体的截面EFG啲内ar 22切圆./ 2* =a , . 1 2 ,S1 =4时1 =兀3 .乙球如右图，一d中点，经过四个切点的球的轴截与正方体各棱的切点在每条棱的 面（大圆）是正方形EFGH勺外接72ar2 = 丁2 -大圆是正方体的对角面（矩形圆. 22 = EG = Jef 2 + FG2 = 72a各个顶点在球面上，球的一个AiACCi）的外接圆.73a廿-21*3 = AG