用列表法解应用题

1、用列表法解应用题初中一年级学生刚刚进入少年期，机械记忆力较强，分析能力仍然较差。初学列方程解应用题时主要存在三个方面的困难： （ 1）抓不住相等关系。（2）找出相等关系后不会列方程。（3）习惯于算术解法。鉴此，要提高初一年级数学应用题教学效果，务必要提高学生的分析能力。这是每一个初一数学老师值得认真探索的问题。下面通过举例，重点说明用列表法解几类应用题。一、解题思路1、在仔细审题的过程中，边阅读边将复杂背景中的已知量、未知量（可用字母代替）分类列成表格；2、利用表格的横向、纵向联系便很容易把握各量之间的关系，准确地得到方程、方程组，不等式、不等式组。二、应用举例行程问题例 1、甲、乙两人从相距

2、为 195 千米的 A,B 两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。已知甲的速度为 15 千米 /时，乙的速度为 45 千米 /时。如果甲先行 1 时后乙才出发，问甲再行多少时间与乙相遇？分析：这是一道行程问题中的相遇问题。有甲、乙两人，故分两行，每个人又都要求所走的路程，故分 3 列。设甲再行 x 小时与乙相遇，列表如下：先行 1 时的路程（千米） 后行的路程（千米）各走的总路程（千米）甲1515x15+15x乙45x45x相等关系：甲走的路程 +乙走的路程 =甲、乙相距的路程列方程： 15+15x+45x=195，解得：x=3.答：甲再行 3 时与乙相遇。例 2、

3、甲、乙两人分别从相距 30 千米的 A 、B 两地同时、同向出发，甲在前，乙在后。甲骑自行车的速度为 15 千米 /时，乙骑摩托车的速度为 45 千米 /时。问：几小时后，他们相遇？分析：这是一道行程问题中的追及问题。追及问题中的等量关系是：“追者”的路程 -“逃者”的路程 =两者相距的路程。有甲、乙两人，故分两行，每个人又都要考察所走的路程、时间、速度，故分3 列。设 x 小时后，他们相遇。列表如下：速度（千米 /时）时间（小时）所走的路程 （千米）甲15x15x乙45x45x此题的相等关系：乙行进的路程 -甲行进的路程 =30 千米列方程： 45x-15x=30，解得：x=1.答： 1 小

4、时后，他们相遇。例 3、 甲、乙两地相距 168 千米，一辆小汽车以 60 千米 /时的速度从甲地开往乙地， 2 小时后，一辆拖拉机以 48 千米 /时的速度也由甲地向乙地驶去，如果小汽车到达乙地后立即返回甲地，问小汽车开出多少小时后与拖拉机相遇？分析：考察对象为交通工具，为小汽车、拖拉机，故分成两行，每一对象又都要考察其速度、时间、路程，故分成 3 列。设小汽车开出 x 小时后与拖拉机相遇，列表如下：速度（千米 /时）时间（小时）路程（千米）小汽车60x60x拖拉机48x-248（ x-2）相等关系：小汽车行使路程+拖拉机行使路程 =168 2.列方程： 60x+48（ x-2） =168

5、2解得x=4.答：小汽车开出4 小时后与拖拉机相遇。工程问题例 1、 某村承担水利工地的部分运土任务，参加运土的人中，有的一人挑两筐，有的两人抬一筐，现仓库有 108 只箩筐和 57 条扁担，村里需要安排多少人去工地，才能使现有的箩筐和扁担都派上用处？分析：运土的方式分挑和抬， 故分两行，每种运土方式又都要考察扁担数、 箩筐数和人数，故分 3 列。设挑土的扁担数为 x，列表如下：扁担数（条）箩筐数（只）人数（人）挑土x2xx抬土57-x57-x2(57-x)相等关系：挑的箩筐数 +抬的箩筐数 =108列方程： 2x+（57-x）=108，解得x=51. 去工地的人数是：51+2（ 57-51）

6、=63（人）答：村里需要安排63 人去工地，才能使现有的箩筐和扁担都派上用处。例 2、父子二人在同一工厂工作，两人要生产一批数量相同的零件。父亲生产这批零件要用 30 分钟，儿子生产这批零件只用20 分钟，父亲比儿子早做5 分钟，问过多少时间儿子能追上父亲？分析：此即工程问题中的追及，考察对象为父亲和儿子，故分成两行，每一对象又都涉及工作效率（把这批零件看作 1）、工作时间、工作量，故分成3 列。设儿子追上父亲需要 x分钟，列表如下：工作效率工作时间工作量父亲1x+5x 53030儿子1xx2020相等关系：父亲做的零件 =儿子做的零件。列方程： x5= x ，3020解得x=10.答：过 1

7、0 分钟后儿子能追上父亲。例 3、某村承担某段水渠复修任务，第一天甲村民组派了15 人，乙村民组派了18 人，分别负责挖土和运土。为了提高劳动效率，第二天对劳力进行了合理调配， 使运土的人数等于挖土的人数的 2 倍。问：需要从甲村民组中抽调多少人到乙村民组？分析：水渠的复修任务有挖土和运土，故分两行，每种任务又都要考察两天的人数、抽调人数，故分 3 列。设需要从甲村民组中抽调x 人到乙村民组。列表如下：抽调人数原有人数现有人数甲组（挖土）x乙组（运土）相等关系：调配后的运土人数列方程：18+x=2（ 15-x ），解得x=4.1518=2调配后的挖土人数，15-x18+x答：需要从甲村民组中抽

8、调4 人到乙村民组。浓度问题例1、 现有质量分数为15的盐水 60 克，要配制成质量分数为25的盐水，需要加盐多少克？分析：这是一道浓度问题的应用题。这类问题的基本关系式是：溶质质量溶液质量 =溶质质量 +溶剂质量，质量分数 = 溶液质量 100 .考察对象为加盐前后的盐水，故分成两行，每一对象又都涉及含盐量、含水量和盐水的质量，故分成 3 列。设需要加盐 x 克。列表如下：含盐量（克）含水量（克）盐水的质量（克）加盐前15 60（1-15） 60加盐后25（ 60+x）（1-25）（60+x）相等关系：加盐前的含水量=加盐后的含水量，列方程：（1-15） 60=（ 1-25）（ 60+x），

9、解得x=8.6060+x答：需要加盐8 克。例2、现有质量分数为15的酒精溶液 60 克，要配制成质量分数为10的酒精溶液， 需要加水多少克？分析：考察对象为加水前后的酒精溶液，故分成两行，每一对象又都涉及含纯酒精量、含水量和酒精溶液的质量，故分成3 列。设需要加水 x 克。列表如下：含纯酒精量（克）含水量（克）酒精溶液的质量（克）加水前15 60（1-15） 6060加水后10（ 60+x）（1-10）（60+x） 60+x相等关系：加水前含酒精的质量=加水后含酒精的质量，列方程：15 60=10（ 60+x），解得x=30.答：需要加水30 克。例3、现有质量分数为20和 12的两种硫酸溶

10、液，要配制成质量分数为15的硫酸溶液 80克，这两种硫酸溶液应各取多少克？分析：考察对象为配制前后的两种硫酸溶液，故分成两行，每一对象又都涉及纯硫酸质量、溶剂质量和硫酸溶液质量，故分成3 列。设需要质量分数为20的硫酸溶液 x 克和 12的硫酸溶液y 克。列表如下：纯硫酸质量（克）溶剂质量（克）硫酸溶液质量（克）20x（1-20） xx配制前12y（1-12） yy配制后15 80（1-15） 8080相等关系：配制前含纯硫酸的质量 =配制后含纯硫酸的质量， （或者是配制前含溶剂的质量 =配制后含溶剂的质量）质量分数为 20的硫酸溶液 +质量分数为 12的硫酸溶液 =质量分数为 15的硫酸溶液

11、列方程组： 20x +12 y =15 80，x+y=80.x=30，解得y=50.答：需要质量分数为20的硫酸溶液 30 克和 12的硫酸溶液 50 克。与经济有关的应用题随着市场经济日益繁荣，与经营、经济有关的数学问题不断在生活中出现，因此就相关的经济问题简析如下：例 1、商店将超级 VCD 按进价提高 35后打出“九折酬宾，外送50 元出租车费”广告，结果每台超级 VCD 仍获利 208 元，那么每台超级VCD 的进价是多少元？分析：考察对象是超级VCD ，故分成一行，要考察它的进价、标价、折扣和出售价，故分成四列。设每台超级VCD 的进价是 x 元，列表如下：商品进价（元）标价（元）折

12、扣出售价（元）超级 VCDx（ 1+35） x九折（1+35） 90 x相等关系：出售价 -进价 -出租车费 =利润 .列方程：（1+35） 90x x-50=208，解得x=1200.答：每台超级 VCD 的进价是 1200 元。例 2、 某商场将某种商品按标价的8 折出售，此时商品的利润率是10，若此商品的进价为1600 元，则商品的标价是多少？分析：考察对象是某种商品，故分成一行，要考察它的进价、标价、折扣、利润率和出售价，故分成五列。设此商品的标价是x 元，列表如下：标价（元）折扣出售价（元）进价（元）利润率某种商品x8 折80 x160010 商品利润 =商品售价 -商品进价 =商品

13、标价折扣 -商品进价，又 商品的利润 =商品进价商品利润率， 相等关系：商品标价折扣-商品进价 =商品进价利润率。列方程： 80 x-1600=160010 ,解得：x=2200.答：此商品的标价为2200 元。例3、某商品的进价是1000 元，标价为 1500 元，商店要求以利润率不低于5的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？分析：考察对象是某商品，故分成一行，要考察它的进价、标价、出售价和利润率，故分成四列。设售货员最低可以打x 折出售此商品，列表如下：进价（元）标价（元）利润率出售价（元）某商品10001500不低于 51500 x10相等关系：商品出售价 -商品进价 =商品进

14、价利润率，列方程：1500 x -1000=1000 5 ,10解得：x=7.答：售货员最低可以打七折出售此商品。（备注：打一折即按原价的1 或 10出售。）10例 4、 国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息 20，银行一年定期储蓄的年利率为 1.98。今小刚取出一年到期的本金及利息时，交了3.96 元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为多少元？分析：考察对象是存款问题，故分成一行，要考察存款问题中的本金、利率、利息、期数和利息税，故分成四列。设小刚一年前存入银行的钱为x 元，其中，利息 =本金利率期数；本息和 =本金 +利息。列表如下：本金（元）利率期数利息（元）利息税（元）x1.98一

15、年x1.98 1x 1.98 20相等关系：利息税 =利息 20列方程：x1.98 20 =3.96，解得x=1000.答：小刚一年前存入银行的钱为1000 元。例 5、 张大妈参加了2003 年 4 月 18 日经中国保险监督管理委员会批准的人保理财金牛投资保障型（ 3 年期）家庭财产保险，她一次投资2000 元，投保 3 年，每年须交保险费12元。期满后，保险公司从收益金中扣除每年须交的保险费后，连同保险投入资金，张大妈一共能领到 2096 元，试问：（1）张大妈投保 3 年期的收益率是多少？（收益金=投入资金年收益率保险年数）1. 若张大妈把 2000 元存入银行存期 3 年， 仅从现金

16、的角度考虑（不考虑财产损失后是否有赔），请你为张大妈算一算，上述两种投资，哪一种更合算？（利息 =本金年利率存期， 3 年期年利率为 2.52，利息税是 20）分析：考察对象是投保问题，故分成二行，要考察投保问题中的投入资金、年收益率、保险年数和每年须交的保险费，故分成四列。设3 年期的年收益率是x，列表如下：投入资金（元）3 年期的收益率保险年数（年）每年须交的保险费（元）2000x312相等关系：收益金 =投入资金年收益率保险年数利息 =本金利率期数，列 方 程：2000x3=2096-2000，解得x=0.016，即 x=1.6。张大妈投保 3 年期的收益率是1.6。（2）利息 =200

17、0 2.52 3=151.2（元），利息税 =151.220=30.24（元），151.2-30.24=120.96（元），有 120.96 元 96 元。（又解因为 2.52（ 1-20） =2.018 1.6）故仅从现金的角度考虑，存入银行合算。例 6、 王明于 2002 年购买一辆帕萨特轿车，并参加了车辆财产保险,至 2006 年 ,四年共交了保险费 8320 元 .在 2006 年因车祸造成财产严重损失.事后理赔调查时 ,按当地的完好市价估计总值为 25 万元 ,残存车辆的残值 15 万元 ,于是保险公司赔款10.4 万元 .问王明 2002 年参加车辆财产保险的金额是多少 ?保险费率

18、是多少 ?分析 : 保险公司赔偿损失是按保险金额和损失程度确定的.计算公式为保险赔款 =保险金额 损失程度 ,保险财产受损价值损失程度 = 保险财产受损当时市场100 ,完好价值本题中“保险财产受损价值”为（25-15）万元。解： 设王明 2002 年参加车辆财产保险的金额为x 万元。因为损失程度 = 2515 100 =40，25则有10.4=x 40，解得x=26.所以参加家庭财产保险的金额为26 万元。又设保险费率为p，则26p4=0.832，解得p= 8.所以保险费率为8。其他问题例 1、父子两人年龄之和是60， 10 年前父亲的年龄是儿子年龄的7 倍，求父亲今年的年龄。分析：考察对象

19、有父亲和儿子，故分成两行，每一考察对象又都要涉及现在年龄和10 年前年龄，故又分成两列。设父亲现在的年龄为x 岁，列表如下：现在（岁）10 年前（岁）父亲xx-10儿子60-x50-x相等关系：10 年前父亲的年龄=10 年前儿子年龄的7 倍.列 方 程： x-10=7（50-x）,解得x=45.答：父亲现在的年龄为45 岁。例 2、 一个三位数，它的十位数字比个位数字大2，百位数字是十位数字的2 倍，如果把百位上数字与个位数字对换，那么可以得到比原数小495 的三位数，求原三位数。分析：就三位数而言，题中涉及原数和新数（调换后的三位数），故分成两行，就三位数而言，又分百位数字、十位数字、个位

20、数字、三位数本身，故分四列。设原来的三位数的十位数字为 x，列表如下：百位数字十位数字个位数字三位数原数2xxx-21002x+10x+ （ x-2）新数x-2x2x100（ x-2）+10x+2x相等关系：新数 +495=原数 .列 方 程： 100（x-2） +10x+2x+495=1002x+10x+（x-2）.解得x=3.原数 =1002x+10x+（x-2 ）=10023+103+（3-2）=631.答：原三位数为 631。例3、 某书店老板去批发市场购买某种图书， 第一次购买书用去100 元，按该书定价2.8 元出售，并很快售完。由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高

21、0.5元，用去了150 元，所购书数量比第一次多10 本。当这批书售出 4/5 时，出现滞销，便以定价的 5 折售完剩余图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚了多少？分析：考察的对象是购买图书，购书分两次，故分成两行，每一次要涉及购书款、进价、售价、本数和结果，故又分成五列。设第一次购书进价为x 元/本，购进 y 本。列表如下：购书款（元） 进价（元 /本） 售价（元 /本） 本数（元）结果第一次 100x2.8y全售出150x+0.52.8y+10售出 4/5第二次2.850售出 1/5相等关系：购书款 =进价本数列 方 程 组：xy=100，x=2，x=2.5，（x+0.5）（y+10）=150.解得y=50.y=40.利用表中第二次进价与售价，结合生活实际进行比较后知x=2.5，y=40. 不 合 题 意 。 于 是 利 用x=2，y=50. 并结合表中三、四行分步计算得：前 4/5 赚：（ 2.8-2.5）（ 50+10） 4/5=14.4（元）后 1/5 赔：（ 2.5-2.8 50）（ 50+10） 1/5=13.2（元） . 14.4-