高等数学：10-4三重积分_第1页
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1、第4节,一、三重积分的概念回顾,二、三重积分的计算,上页 下页 返回 结束,直角坐标系下 三重积分的计算,一、三重积分的概念回顾,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,大化小, 常代变, 近似和, 求极限,解决方法,质量 M,密度函数为,上页 下页 返回 结束,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似,性质,例如,下列“乘,中值定理,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,积和式” 极限,上页 下页

2、 返回 结束,二、直角坐标系下三重积分的计算,方法1 . 投影法 (“先一后二”,方法2 . 截面法 (“先二后一”,方法3 . 三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后, 推广到一般可积函数的积分计算,的密度函数,方法,上页 下页 返回 结束,方法1. 投影法 (“先一后二”,该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,上页 下页 返回 结束,方法2. 截面法 (“先二后一”,为底, d z 为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,上页 下页 返回 结束,投影法,方法3. 三次积分法,设区域,利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得

3、,上页 下页 返回 结束,当被积函数在积分域上变号时, 因为,均为非负函数,根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算,上页 下页 返回 结束,小结: 三重积分的计算方法,方法1. “先一后二,方法2. “先二后一,方法3. “三次积分,具体计算时应根据,三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择,上页 下页 返回 结束,其中 为三个坐标,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域,解,面及平面,上页 下页 返回 结束,例2. 计算三重积分,解,用“先二后一,上页 下页 返回 结束,例3,用三次积分表示,其中由,所,提示,六个平面,围成,上页 下页 返回 结束,将,例4. 设,计算,提示: 利用对称性,原式,奇函数,上页 下页 返回 结束,例5. 计算,其中,解,利用对称性,上页 下页 返回 结束,作 业,P175-176 A类：1(2)(4);

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