高等数学：10-2直角坐标二重积分计算_第1页
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1、第2节,上页 下页 返回 结束,直角坐标系下 二重积分的计算,一. 曲顶柱体体积的计算 二. 利用直角坐标计算二重积分,一、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,上页 下页 返回 结束,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,上页 下页 返回 结束,例1. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积,解 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,上页 下页 返回 结束,二、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,上页 下

2、页 返回 结束,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效,由于,上页 下页 返回 结束,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序,则有,2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,上页 下页 返回 结束,例3. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,上页 下页 返回 结

3、束,例4. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序,上页 下页 返回 结束,例5. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成,视为Y型区域 , 则,上页 下页 返回 结束,例6. 计算,其中D 由,所围成,解: 令,如图所示,显然,上页 下页 返回 结束,小 结,二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系下,若积分区域为,则,若积分区域为,则,上页 下页 返回 结束,练 习,1.设,且,求,提示,交换积分顺序后, x , y互换,上页 下页 返回 结束,解,原式,2. 给定,改变积分的次序,上页 下页 返回 结束,作 业,P155 A类：2 (2) (4); 3 (4) (5)（

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