结构动力学》第六章_多自由度系统振动PPT

1、第六章多自由度系统振动(一,6-1 用刚度法与柔度法列运动微分方程,1刚度法,图示简支梁，刚度系数kij定义为,使质量mj的位移xj1而其余质量位移xi0(ij)时在xi处所需要（施加）的力,一般情况下，若各质量均有位移x1、x2、.、xn，则在xi处所需力的总和为,设每一质量mi上作用的外力为Fi(t)，对每一质量运用牛顿第二定律，可得运动微分方程,用矩阵符号可写成,例求图示五自由度系统的刚度矩阵,解：首先用力使m1产生单位位移，并用力使其余质量不动，则需要给m1的力为k1与k2的弹性力和，即k11k1+k2。此时m2需加力为k2，沿x的负方向，即k21-k2，其余质量不必施加任何力，即k3

2、1k41k510。 用类似方法可得其余刚度系数，于是有,利用功的互等原理可知，刚度矩阵是对称阵，即有kijkji，于是上述刚度矩阵为,柔度法,柔度系数aij定义为,在第j个质量上作用单位力时在第i个质量上产生的位移,于是： 若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产生的位移将是aij*F,若在第j个质量上作用的是惯性力 ，方向与坐标相反，则在第i个质量上产生的位移将是,若所有质量都有惯性力，则,若所有质量都有惯性力，则,写成矩阵形式为,或写成,在刚度矩阵K非奇异条件下，柔度矩阵A与刚度矩阵K存在如下的互逆关系,与刚度矩阵类似，有aijaji,例求图示三自由度简支梁柔度矩阵。已知梁的EI、L

3、,解：利用简支梁在单位集中力作用下的挠度公式,其他柔度影响系数,柔度矩阵为,问题：A中元素是否一定为正,例求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵,解：易得刚度矩阵为,m1上加单位力，各质量的位移分别为,m2上加单位力，各质量的位移分别为,例求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵,m3上加单位力，各质量的位移分别为,柔度矩阵为,例求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵,对弹性系统来说，总存在刚度矩阵，但不一定存在柔度矩阵，当系统中存在刚体位移（模态）时，就是这种情况，此时，刚度矩阵是奇异的，矩阵行列式等于零，因而不存在逆矩阵,如本例中的k1=0,拉格朗日方程在建立多度系统动力学微分方程时是非常有

4、效的,设广义坐标qj，则拉格朗日方程可表为,6-2 用拉格朗日方程列振动微分方程,式中：Qj为对应于广义坐标qj的广义力,对于保守系统，LTU，有(T为系统动能，U为势能，L称为拉氏函数,例求图示三自由度系统的运动微分方程,解：系统动能为,势能为,拉氏函数,例求图示三自由度系统的运动微分方程,同样可以求出另外两个微分方程,例求图示两自由度系统的运动微分方程,解：质量m的位置坐标为,系统动能为,一般来说，拉格朗日方程对于刚度矩阵或柔度矩阵不易求出的振动系统更能显示其优越性,系统势能为,系统拉氏函数为,邹经湘老师书P52“动能T与广义坐标无关(因质量是常数)”说法是存疑的,在上一章，我们已讨论了二

5、自由度系统的固有频率与主振型，现在我们来讨论n自由度系统的情况,n自由度系统自由振动微分方程为,6-3 固有频率与主振型（特征值与特征向量,非零解条件为,非零解条件为,此式称为系统的频率方程或特征方程，对于正定或半正定实对称矩阵M与K，它有n个正的实根i(i1,2,.,n)，特征值i等于固有频率i的平方，即,将i代入(*)式即可得到n个主振型(特征向量) ui,对任意j，同样有,6-4 主振型（特征向量）的正交性,特征对 满足特征矩阵方程,将(a)式两边转置后右乘uj，得,c)(d)两式相减，得,若ij，则ij，于是,说明各个主振型关于M与K存在加权正交性,Mi与Ki分别称为第i阶模态质量与模

6、态刚度,用前面两自由度例子说明,有时，系统的频率方程或特征方程会出现重根的情况，此时，按前面的方法就不能唯一确定特征向量,6-5 等固有频率（重特征值）的情况,设12r，u1与u2是对应的特征向量，即有,则u1与u2的线性组合ur（au1bu2）也是特征值r的特征向量。事实上，有,另外，由特征向量的正交性，有,由此即可求出重特征值的特征向量u1和u2,具有重特征值的系统，有时又称为“简并”系统或“退化”系统,例求图示三自由度系统的特征对（固有模态,解：特征矩阵方程为,频率方程为,将代入特征矩阵方程，求出,将代入特征矩阵方程，求出,先求，它有两个元素可任选，取,再求,它满足关于M与K的正交性条件

7、,取u131，则u330，u231,可以检验特征向量关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性,各阶振型物理意义描述如何,振动微分方程,6-6 主振型矩阵与标准振型矩阵,通常既是静力耦合的又是动力耦合的，在二自由度系统时曾经采用主坐标变换，得以解耦，所采用的变换矩阵Uu1 u2我们称为主振型矩阵，对n自由度系统，主振型矩阵为,ui为系统的第i阶主振型或模态向量,利用主坐标变换,xUy,代入到振动微分方程，并前乘，有,利用振型的正交性，不难证明都是对角阵。实际上，按分块矩阵乘法，有,同理，有,于是，微分方程得以解耦,将各个ui分别除以相应的模态质量的平方根，构成的振型矩阵称为标准振型矩阵，此时有,我们称为模态质量归一化的特征向量,无阻尼系统振动微分方程为,6-7 无阻尼系统的强迫振动,作变换：