弧 弦与圆心角的关系定理

1、1,圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直,线,忆一忆,一,圆的对称性如何？（导航,17,页请你思考,1,2,圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心,二、想一想,圆绕着它的圆心旋转多少度就能与原图形重合,3,结论：圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原,图形重合，这是圆的旋转不变性,什么叫圆心角,导航,17,页请你思考,2,圆心角,顶点在圆心的角叫圆心角,如,AOB,弦心距,过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距,离叫弦心距,如线段,OD,想一想,P,94,2,O,A,B,D,根据旋转的性质，将圆心角,AOB,绕圆心,O,旋转到,A,OB,的位,置时,AOB,A,OB,OA,OB,点,A,与,A,重合,

2、B,与,B,重,合,O,A,B,做一做,O,A,B,A,B,A,B,三,AB,A,B,弧,AB,与弧,AB,重合,AB,与,AB,重合,如图，将圆心角,AOB,绕圆心,O,旋转到,A,OB,的位置,你能发现哪些等量关系？为什么？（导航,17,页请你思考,3,AB,A,B,弧、弦与圆心角的关系定理,在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,四、说一说,五、议一议,定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角,所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否,把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么,等对等定理,不能去掉,反例：如图，虽然,AOB,A,O,B,但,AB,A,B,弧,AB,弧,A,B,定理“

3、在同圆或等圆中，相等的圆心角,所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否,把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么,推论,在,同圆,或,等圆,中,如果,两个圆心角,两条,弧,两条弦,4,两条弦心距,中,有一组量,相等,那么它们所对应的其余各组量都分别,相等,猜一猜,P,96,6,O,A,B,D,A,B,D,如由条件,AB=AB,AB=AB,OD=OD,可推出,AOB,AOB,在这里可以不说“在同圆或等圆中”吗,如图,AB,CD,是,O,的两条弦,1,如果,AB=CD,那么,_,_,2,如果,那么,_,_,3,如果,AOB,COD,那么,_,_,4,如果,AB=CD,OE,AB,于,E,OF,CD,于,

4、F,OE,与,OF,相等吗,为什么,C,A,B,D,E,F,O,AOB,COD,AB=CD,CD,AB,AOB,COD,AB=CD,四、练习,CD,AB,CD,AB,OE,OF,证明,OE,AB OF,CD,AB,CD,AE,CF,OA,OC,RT,AOE,RT,COF,OE,OF,证明,AB=AC,又,ACB,60,AB=BC=CA,AOB,BOC,AOC,A,B,C,O,五、例题,AC,AB,例,1,如图，在,O,中,ACB=60,求证,AOB,BOC,AOC,A,C,A,B,巩固深化,在同圆或等圆中，一弦是另一弦的二,倍，那么它所对的弧是另一弦所对的,弧的二倍吗？试画图分析,反之呢,如图

5、,AB,是,O,的直径,COD,35,求,AOE,的度数,A,O,B,C,D,E,BOC,COD,DOE=35,o,180,3,35,AOE,o,o,75,o,解,六、练习,DE,CD,BC,DE,CD,BC,七、思考,2,如图，圆,O,的两条弦,AB,CD,互,相垂直且交于点,P,OE,垂直于,AB,OF,垂直于,CD,垂足分别是,E,F,且弧,AC,弧,BD,试探究四边形,EOFP,的形状,并说明理由,2,如图，点,O,是,EPF,的平分线上的一点，以,O,为圆心的圆和角的两边分别交于,点,A,B,和,C,D,求证,AB=CD,M,N,证明：作,OM,AB,ON,CD,M,N,为垂足,CD

6、,AB,ON,OM,CD,ON,AB,OM,NPO,MPO,推广：若将上题中的点,O,看作是沿着,EPF,的平分线运动的,在,EPF,的每边与圆,O,有两个交点的时候，是否都能够得到上题的结论,七、思考,D,C,A,B,O,4,如图，已知,AB,CD,为,O,的两条,弦，弧,AD,弧,BC,求证,AB=CD,M,N,O,B,A,C,5,如图，已知,OA,OB,是,O,的半径,点,C,为,AB,的中点,M,N,分别为,OA,OB,的中点，求证,MC=NC,O,B,C,A,E,6,如图,BC,为,O,的直径,OA,是,O,的半径，弦,BE,OA,求证,AC=AE,3,如图,A,B,分别为,CD,和,EF,的中点,AB,分别交,CD,EF,于点,M,N,且,AM=BN,求证,CD=EF,证：连结,OA,OB,设分别与,CD,EF,交于点,F,G,A,为,CD,中点,B,为,EF,中点,OA,CD,OB,EF,故,AFC,BGE=90,又由,OA=OB,OAB,OBA,且,AM=BN,AFM,BGN,AF=BG,OF=OG,DC=EF,F,G,圆的对称性,圆的轴对称性（圆是轴对称图形,垂径定理,及其推论,圆的中心对称性（圆是中心对称图形,圆心角、弧、弦,弦心距之间的关,系,证明