安徽省淮南一中高二空中课堂132函数的极值和导数课件共32张

1、1.3.2,利用导数研究,函数的极值,a,b,y=f(x,x,o,y,y=f(x,x,o,y,a,b,f,x,0,f,x,0,1,定义,一般地,设函数,y=f(x,在某个区间,a,b,内有,导数,如果在,这个区间,内,f,x,0,那么函数,y=f(x,为这,个区间内的,增函数,如果在这个区间,内,f,x,0,那么函,数,y=f(x,为这个区间内的,减函数,一、复习回顾,如果在某个区间内恒有,则,为常数函数,0,x,f,x,f,2,求函数单调区间的一般步骤,求函数的定义域,求函数的导数,f (x,解不等式,f,x,0,得,f(x,的,单调递增区间,解不等式,f,x,0,得,f(x,的,单调递减区

2、间,关注用导数本质及其几何意义解决问题,3,思考,观察下图，当,t=t,0,时距地面的高,度最大,那么函数,h,t,在此点的导数是多,少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地,导数的符号有什么变化规律,二、新课讲解,函数的极值,1,观察,右下图为函数,y=2x,3,6x,2,7,的,图象,从图象我们可以看出什么,函数在,X=0,的函数值比它附,近所有各点的函数值都大，我,们说,f(0,是函数的一个,极大值,函数在,X=2,的函数值比它附近,所有各点的函数值都小，我们,说,f(2,是函数的一个,极小值,x,2,y,0,已知函数,y=f(x,设,x,0,是定义域,a,b,内任一点,1,如果对,x,0

3、,附近的所有点,x,都有,f(x,0,f(x,则称,f(x,0,是函数,y=f(x,的一个,极大值,记作,y,极大,f(x,0,2,函数极值的定义,2,如果对,x,0,附近的所有点,x,都有,f(x,0,f(x,则称,f(x,0,是函数,y=f(x,的一个,极小值,记作,y,极小,f(x,0,极大值与极小值统称为,极值,极大值点与极小值点统称为,极值点,点,x,0,称,为函数,y=f(x,的一个,极大值点,点,x,0,称,为函数,y=f(x,的一个,极小值点,3,思考,y,a,b,x,1,x,2,x,3,x,4,1,x,f,4,x,f,O,x,2,x,f,3,x,f,观察下述图象,试指出该函数

4、的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点,1,极值是一个,局部概念,2,极值点,是,自变量的值,极值,指的是,函数值,3,函数的极大,小,值不是唯一的,4,函数的极大值与极小值之间无法确定大小,5,函数的极值点一定在区间的内部，区间的,端点,不能成为极值点,思考：极值与,最值的区别,4,极值的几点说明,y,a,b,x,1,x,2,x,3,x,4,1,x,f,4,x,f,O,x,2,x,f,3,x,f,6,当可导函数,f(x,在某区间上有有限极值点时,函数,f(x,在该,区间内的极大值点与极小值点是,交替,出现的,o,a,X,0,0,b,x,y,0,0,x,f,0,x,f,0,x,f

5、,o,a,X,0,b,x,y,0,0,x,f,0,x,f,0,x,f,5,函数的极值与导数的关系,1,如果,f,x,0,0,并且,在,x,0,附近的左侧,f,x)0,右侧,f,x)0,那么,f(x,0,是,极大值（左正右负,2,如果,f,x,0,0,并且,在,x,0,附近的左侧,f,x)0,右侧,f,x)0,那么,f(x,0,是,极小值（左负右正,从,曲线的切线角度,看,如果曲线在极值点,处有切线，那么曲线在极值点处切线的斜,率为,0,并且,曲线在极大值点处切线的斜率,左侧为正,右侧为负,曲线在极小值点处切线,的斜率,左侧为负,右侧为正,o,a,X,0,0,b,x,y,0,0,x,f,0,x,

6、f,0,x,f,o,a,X,0,b,x,y,0,0,x,f,0,x,f,0,x,f,结合导数的几何意义思考,探索思考,导数值为,0,的点一定是函数的极值点吗,可导函数,的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的,极值点,思考,y=x,3,在,x=0,处的导数,0,0,0,f,x,x,f,x,f,x,结论：对于,是函数,的极值点,可导函数,三、例题精讲,例,1,解,2,2,4,2,x,x,x,y,令,解得,x,1,-2,x,2,2,0,y,当,x,变化时,y,的变化情况如下表,y,x,2,2,2,2,2,2,y,0,0,y,极大值,28/3,极小值,4/3,因此,当,

7、x=-2,时有极大值,并且,y,极大,28/3,当,x=2,时有极小值,并且,y,极小,4/3,3,1,4,4,3,y,x,x,求,的极值,并画出函数的大致图象,9,8,7,6,5,4,3,2,1,3,2,1,4,3,2,1,0,y,x,1,确定函数的定义域,2,求导函数,f,x,3,求解方程,f,x)=0,4,检查,f,x,在方程,f,x)=0,的根的左右的,符号，并根据符号确定极大值与极小值,小结,用导数法求解函数极值的,步骤,x,x,y,27,3,练习,54,3,54,3,极小,极大,y,x,y,x,x,a,a,a,0,0,a,a,a,f(x,0,0,f(x,极大值,2a,极小值,2a,

8、故当,x=-a,时,f(x,有极大值,f(-a)=-2a,当,x=a,时,f(x,有极小值,f(a)=2a,例,2,求函数,的极值,0,2,a,x,a,x,x,f,解,函数的定义域为,0,0,1,2,2,2,x,a,x,a,x,x,a,x,f,令,解得,x,1,-a,x,2,a(a0,0,x,f,当,x,变化时,f(x,的变化情况如下表,x,f,练习,求函数,的极值,2,1,6,x,x,y,解,1,1,6,2,2,2,x,x,y,令,0,解得,x,1,-1,x,2,1,y,当,x,变化时,y,的变化情况如下表,y,x,1,1,1,1,1,2,y,0,0,y,极小值,3,极大值,3,因此,当,x

9、=-1,时有极小值,并且,y,极小,-3,当,x=1,时有极大值,并且,y,极大,3,例,3,已知函数,f(x)=-x,3,ax,2,b,1,若函数,f(x,在,x=0,x=4,处取得极值,且极小值为,1,求,a,b,的值,2,若,函数,f(x,图象上的任意一点的切线斜,率为,k,若,k,1,恒成立，试求,a,的取值范围,1,0,x,解,1,由,得,x=0,或,x=2a/3,故,2a/3=4,a=6,0,2,3,2,ax,x,x,f,由于当,x0,时,当,x0,时,故当,x=0,时,f(x,有极小值,f(0)=b,所以,b=-1,0,0,x,f,x,f,1,0,x,2,等价于当,时,3x,2,

10、2ax,1,恒成立,即,g(x)=3x,2,2ax-1,0,对一切,恒成立,1,0,x,由于,g(0),10,结合图像知只需,g(1)=2-2a,0,即,a,1,例,4,已知,f(x)=ax,5,bx,3,c,在,x= 1,处有极值,且极大值,为,4,极小值为,0,试确定,a,b,c,的值,解,3,5,3,5,2,2,2,4,b,ax,x,bx,ax,x,f,由题意,应有根,故,5a=3b,于是,1,0,x,x,f,1,5,2,2,x,ax,x,f,1,设,a0,列表如下,x,1,1,1,1,0,0,f(x,极大值,极小值,x,f,1,1,由表可得,即,0,4,1,0,1,4,c,b,a,c,

11、b,a,f,f,又,5a=3b,解得,a=3,b=5,c=2,2,设,a0,列表如下,x,1,1,1,1,0,0,f(x,极小值,极大值,1,1,x,f,由表可得,即,0,4,1,0,1,4,c,b,a,c,b,a,f,f,又,5a=3b,解得,a=-3,b=-5,c=2,探索,x,0,是否为函数,f,x,x,3,的极值点,x,y,O,f,x,x,3,若寻找可导函数极值点,可否,只由,f,x,0,求得即可,f,x,3,x,2,当,f,x,0,时,x,0,而,x,0,不是该函数的极值点,f,x,0,0,x,0,是可导函数,f,x,的极值点,x,0,左右侧导数异号,x,0,是函数,f(x,的极值点

12、,f,x,0,0,注意,f,x,0,0,是函数取得极值的必要不充分条件,思考,已知函数,在,处取得,极值,1,求函数,的解析式,2,求函数,的单调区间,3,2,2,f,x,ax,bx,x,2,1,x,x,f,x,f,x,f,x,f,x,解,1,在,取得极值,即,解得,2,由,得,的单调增区间为,由,得,的单调减区间为,2,3,2,2,f,x,ax,bx,f,x,2,1,x,x,12,4,2,0,3,2,2,0,a,b,a,b,1,1,3,2,a,b,3,2,1,1,2,3,2,f,x,x,x,x,2,2,f,x,x,x,0,f,x,1,2,x,x,或,0,f,x,2,1,x,1,2,2,1,或

13、,0,1,0,2,f,f,函数,在,时有极值,10,则,a,b,的值为,A,或,B,或,C,D,以上都不对,2,2,3,a,bx,ax,x,x,f,1,x,3,3,b,a,11,4,b,a,1,4,b,a,11,4,b,a,11,4,b,a,C,解,由题设条件得,0,1,10,1,f,f,0,2,3,10,1,2,b,a,a,b,a,解之得,11,4,3,3,b,a,b,a,或,注意,f,x,0,0,是函数取得极值的必要不充分条件,注意代,入检验,解：函数,f,x,ln,x,x,的定义域为,0,且,f,x,令,f,x,0,得,x,e,当,x,变化时,f,x,与,f,x,的变化情况如下表,x,0

14、,e,e,e,f,x,0,f,x,增加,极大值,减少,故当,x,e,时函数取得极大值，且极大值为,f,e,1,e,例,2,求函数,f,x,ln,x,x,的极值,问：你能画出该函数的草图吗,变式,若方程,ln,x,ax,有两个实数根，则,a,的取,值范围是,_,解,函数的定义域为,x,x,0,f,x,2,令,f,x,0,得,x,2,列表如下,x,2,2,2,0,0,2,2,2,f,x,0,0,f,x,极大值,极小值,所以，当,x,2,时，函数,f,x,有极大值,f,2,8,当,x,2,时，函数取极小值,f,2,8,1,求,f,x,2,x,8,x,的极值,8,x,2,2,求函数,y,x,4,4,x

15、,3,5,的极值,解,y,4,x,3,12,x,2,4,x,2,x,3,令,y,4,x,2,x,3,0,得,x,1,0,x,2,3,当,x,变化时,y,y,的变化情况如下表,x,0,0,0,3,3,3,y,0,0,y,不是极值,极小值,故当,x,3,时函数取得极小值，且,y,极小值,f,3,22,3,已知,f,x,x,3,ax,2,a,6,x,1,有极大值和极小值，则,a,的,取值范围为,_,解析,f,x,3,x,2,2,ax,a,6,函数,f,x,有极大值和极小值,4,a,2,12,a,6)0,即,a,2,3,a,180,a,6,或,a,3,答案,3,6,解,1,f,x,3,ax,2,2,b

16、x,2,因为,f,x,在,x,2,x,1,处取得极值,所以,f,2,0,f,1,0,即,12,a,4,b,2,0,3,a,2,b,2,0,4,已知函数,f,x,ax,3,bx,2,2,x,在,x,2,x,1,处取得极值,1,求函数,f,x,的解析式,2,求函数,f,x,的单调区间,解得,a,1,3,b,1,2,所以,f,x,1,3,x,3,1,2,x,2,2,x,2,f,x,x,2,x,2,由,f,x,0,得,x,2,或,x,1,由,f,x,0,得,2,x,1,函数,f,x,的单调增区间为,2,1,单调减,区间为,2,1,5,是否存在实数,a,使函数,f,x,1,3,x,3,x,2,ax,1,在,x,1,处取,极值？若存在求出,a,的值,并判断,f,1,是极大值还是极小值,若不存在说明理由,解,假设存在实数,a,使函数,f,x,1,3,x,3,x,2,ax,1,在,x,1,处取极值,又,f,x,x,2,2,