《几何与代数》科学出版社习题解析第六章.ppt

1、几何与代数习题解析第六章,主讲: 关秀翠,东南大学数学系,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,x = Qy,作直角系的旋转变换,坐标轴的平移,g(y) = yTy + BTy + c = 0,y = z,1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d,Q正交,Q正交且|Q|=1 右手系右手系,一般二次型f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0,实对称阵的正交相似对角化问题 Q正交, s.t., Q1AQ=QTAQ= =diag(1,n,p=3,q=0,r(g)=3, b=0,椭球面,球面,p=2, q=1,d0,

2、p=0,q=3,d0,单叶双曲面,d0,d0,双叶双曲面,d=0,二次锥面,r(g)=2, b0,d=0,p=2, q=0,椭圆抛物面,p=1, q=1,双曲抛物面,r(g)=2, b=0,d0,p=2, q=0,椭圆柱面,p=1, q=1,双曲柱面,r(g)=1,d=0,p=1, q=0,p=0, q=1,抛物柱面,证明,3. 设A为n阶方阵，证明二次型 f(x)=xTAx的矩阵为,所以 f(x)=xTAx 的矩阵为,解,因为 Ax = 与ATAx = 同解,9. 设mn矩阵A的秩为r，求二次型 f(x) = xTATAx 的规范形,所以 r(A) = r(ATA) = r,f(x) = x

3、TATAx,(Ax)T Ax,所以x, f(x) = (Ax)T Ax 0,所以ATA的正惯性指数为 r,从而f(x) 的规范形为 g(y,证1: 设,所以A不是正定阵,证2: 令,显然A,B相合,并且相合的矩阵有相同的正定性,则,则,所以B不是正定阵,所以A不是正定阵,12. 设A= (aij)为n阶实对称矩阵，若对角线上有一个aii 0, 则A必不是正定矩阵,证明,设为B对应于的特征向量, 则,14. 设A为n阶实对称矩阵，B为n阶实矩阵,且A与A BTAB均为正定矩阵,是B的一个实特征值, 则 |1,15. 设A, B都是实对称矩阵, M,A O O B,证明: M正定 A, B都正定,

4、证明: (,M正定,x, y,0,0,A, B都正定,证明: (,P1AP,M正定 1, , s, 1, , t 0,A, B都正定,15. 设A, B都是实对称矩阵, M,A O O B,证明: M正定 A, B都正定,A,B实对称, 必存在正交阵P, Q,使得,证明: (,设A为s阶的, 则当i s时,M正定 M的顺序主子式 0,A, B的顺序主子式 0,A,B,O,O,M的i阶顺序主子式,A的i阶顺序主子式,当i s时, M的i阶顺序主子式,A|B的is阶顺序主子式,A, B都正定,15. 设A, B都是实对称矩阵, M,A O O B,证明: M正定 A, B都正定,证明: (,因为A

5、, B都正定,PTAP = E, QTBQ = E,所以存在可逆阵P, Q使,因而M正定,15. 设A, B都是实对称矩阵, M,A O O B,证明: M正定 A, B都正定,证明: (,因为A, B都正定,A = PTP, B = QTQ,所以存在可逆阵P, Q使,因而M正定,15. 设A, B都是实对称矩阵, M,A O O B,证明: M正定 A, B都正定,证明,因为A正定,所以AT =A, A的所有特征值i0, i=1,2,n,因为A正交,A的所有特征值i2=1, 则i=1, i=1,2,n,所以ATA = A2 = E,所以实对称阵A与E相似,即存在可逆矩阵P,使得,19. 设A

6、既是正定阵又是正交阵，证明：A是单位阵,方阵A与E 相似 A = E,A与E相合A正定,方阵A与E 相抵 A 可逆,线性无关,A = P1Ps Q1 Qt,满秩,非奇异,非退化,特征值均不为零,实对称阵A 可逆 正负惯性指数 p+q=n,A的行向量组线性无关,方阵A 正交 A可逆,实对称阵A 正定 A可逆,反之不然,反之不然,i 0,p=n,A=PTP,k0,A既是正定阵又是正交阵，则A是单位阵,证明1,因为A可逆,所以A的正负惯性指数p+q=n,并且p(A)=q(A)=q,设A与A在实数域上相合,则p(A)=p(A)=q,所以 n=2p 为偶数,设A为n阶可逆实对称矩阵，证明：如果A与A在实数域上合同，则n必是偶数,证明1,设A与A在实数域上相合,则存在可逆阵P,使得,因为A可逆,所以|A|0,所以n为偶数,证明,已知n阶方阵A相似于对角阵,并且A的特征向量均是矩阵B的特征向量.证明: AB = BA,n阶方阵A相似于对角阵,所以A有n个线性无关的特征向量,设为p1, p2, , pn,对应的特征值设为1,2,n,A的特征向量均是B的特征向量, 则B也有n个线性 无关的特征向量p1,pn, 对应的特征值设为t1,tn,令P = (p1,