武汉理工大学高数A下2007级A卷及答案理工科

1、高数A2007级A卷及答武汉理工大学考试试题（A卷）1.曲面xyz =1在点（1，1，1）处的切平面方程为（）A.x+y+z-3=0 ,.x+y+z+3=0,C.x+ y+z +1=0,.x + y + z1=0 o2.设a=(x,3,2)， b=(-1, y,4)，若 a/ b，则有()A. X = 1, y =3 ,B.1 1x = -,y = -6， C . x=1,y = -7，D . x = -?,y = 6 o3.4.A. 1 ,设f（u）为连续函数，区域D=x, y）.-1C . 0， D X2 + y2 = 2y，则.不存在。JJf(xy)dxdy=()D1J142A. J/x

2、J口 f(xy)dy，兀 2sin Q 2C. d叫 f (r sin日cos&)dr，Dr2fg 今2B . 2冷.0兀2sin92D.d叫f(r sincos日)rdr of (xy)dx ,题号一一一-二二-三四五六七总分题分151524161686100课程名称：高等数学 A （下）专业班级：2007级理工科专业O备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）应按顺序答在答题纸上 -、单项选择题（3咒5=15分）处a5.级数送（-1）n （1 -cos） （a 0）的收敛情况是（）.n#nA.发散，B.收敛性与a有关， C .绝对收敛，D.条件收敛。 二、填空题（35=15分

3、）1.函设 f （x,y） =x2 +（y -1）arcta nxy），则 fx（1,1）=o 2.由方程xyz +Jx2 +y2+z2 = J2所确定的函数z = z（x,y）在点（1,0, T）处的全微3.4.5.分dz =设f (x)满足收敛定理的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x)在X =0处左连续，且 f (0) = -1,S(0) =2，贝U lim f (x)= x屮十函数z=ln(x2+y2)在点(1,1)处沿方向i =(1,1)的方向导数z cl设 L 为圆周 X2 + y2 = 1，贝U q Jx2 + y2ds =L三.计算题(3x8=24分)1.2Zf(

4、7，x)具有二阶连续偏导数，求令。2.计算I=ff 1 xy 2 dxdy，其中 D: x2+y20。 dT+x +y3.交换积分次序，然后计算I = jdxfxdy四.计算题(2咒8=16分)1.计算 I = (xe圆 x2 +y2 =a2(a AO)到点B (-a , 0)的弧段.-x2y)dx + (xy2siny2)dy，其中 L 是从点 A ( a，0)沿上半2.计算曲面积分I=Mdydz + y2dzdx rz2 -2z)dxdyI其中邑为锥面z2 =x2 +y2介于平面z = 0及z=1之间的部分的下侧。五计算题(28=16分)11.将f(x) 展开成(X-2)的幕级数，并指出收

5、敛域2.已知曲线积分f(x)+6f(x)+4ejydx+f(x)dy与路径无关,且 f (0) =0, f(0) =1，求函数 f(x).六. (8分)欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的长宽高的尺寸七. (6分)设幕级数 h anXn在(二，母)内收敛，其和函数y(x)满足微分方程n出yN2xy， 4y=0，且 y(0) = 0, y(0) =1。2证明：an一 ag0)(2)求和函数y(x)的表达式。07级高数A（下）（A卷）参考答案（2008年7月）二、2 ； dx-72dy ; 5 ；J2 ;2 兀。Fz三

6、、1、解：c2zex2f1lp2 + f222、解：，F1+x2+y2dxdyIJI11=0d叫冷dr3、解：I1 sin yy .=idy(2dx1=sin ydy -1_0 y sin ydy = 1 - sin1四、1、解：加边BA: y = 0 , x 从一 a 到 a,I T(x2D+ y2a x2兀 a)db f xe dx=48分为z =1(x22+ y2兰1）的上侧，2分=fl -JJ 虽=2 川（X+ y+ z T)dv - JJ(T)dxdyQDxy记L与BA围成的区域为D，由格林公式:42.解：设I=2 川zdv-2 JJJdvQQ2 +兀1=20 zdz jjdxdy

7、-Dz兀 2兀5兀=+兀=236五、1、解：f（x） = 15亠氓护x_2)n5=zn =0需(X-2)nX-25-1可得收敛域为-3xv7 。2、解：由曲线积分与路径无关得:f ”(x) -f(X)-6f(x)=4e,其特征方程为 r2r6=0， =3,2= 2。对应的齐次方程的通解为：C1e3x +C2e工x。特解的形式为 广（X）= aex，代入原方程得：a = 1，即f （X）= e原方程的通解为 f（xC1e3x +C2e_2x-xe 。由 f(0) =0, f (0) =1 得C1 =2,C25-U/t- r / 2 3 X 丄 3 _ X_X故 f（X） = e + e-e 。5

8、5六、解：设长、宽、高分别为 X, y, z米，由题意求V = xyz在条件3xy +2xz + 2 yz = 36下的最大值。作函数：L =xyz +A(3xy +2XZ +2yz 36)Lx = yz +3 入y + 2边=0Ly =xz +3 血+ 2边=0解之得：x=y=2,z=3Lz =xy +2k(x +y) =03xy + 2xz + 2yz-36 =02米，2米,驻点是唯一的，由实际问题本身可知最大值一定存在，所以当长宽高分别为 3米时，容积最大（为 12立方米）。七、解：(1 )设 y(x) =S anXn,y(X)=S nanxn-n=0y(x) n(n 一 1)anXnn =2=2 (n + 1)(n +2)anxnn=0C代入微分方程得 送(n +1)(n +2)an卡xnn z0=Z (2n +4)anXn，比较系数得: n z02 (n +1)(n+2)an七=(2n+4)an，即=n+1 an