用构造法求数列的通项公式

1、用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列等差数列等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用例1: (06年福建高考题)数列an中,a1 1,an1 2an 狈 y an2n 12n解法 1: an 12an 1又 ai12an 1是首项为2公比为2的等比数列an 12 2n 12n, an 2n 1,所以选 C解法2归纳总结：若数列an满足an 1 pan q(p1,q为常数)，则令an 1p(an)来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。

2、例 2:数列 an 中，a11,a23, an 2 3an 1 2an，则 an解：an 2 an 12(an 1 an)a2 a1 2 an an 1为首项为2公比也为2的等比数列。an an 12n1，(n1)n1时显然n=1时满足上式例3:小结：先构造an1 an等比数列，再用叠加法，等比数列求和求出通项公式,已知数列an中a15, a22, an2an1 3an2,(n3)求这个数列的通项公式。解:an2an 1 3an 2又aia27,an an1形成首项为7,公比为3的等比数列,则anan 17 3n 2又an3an 1(an 13an 2 )，a2 3a113， an3an1形成

3、了一个首项为一13,公比为一1的等比数列则 an 3an1(13) ( 1)n 24an 7 3n1 13 ( 1)n 1小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数 列的通项公式。例4:设数列an的前项和为Sn，若2an2nSn成立，(1)求证：ann2n1是等比数列。(2)求这个数列的通项公式证明：(1)当 n 1,b a12 (b 1)a1, a12b an 12n1 (b 1) Sn 仆an1 b an 2n (b 1)an 1当b 2时,有 ran 1 2an 2又 a121 1an n 2n1为首项为1，公比为2的等比数列,小结：本题构造非常特殊,

4、 要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。例5:数列an 满足 a13, an 1 2an3 2n1，则 anA. (3n 1)2n B . (6n 3) 2n1 C .3(2n1) 2n 1 D . (3n2) 2n 1解：an 12an 3 2n1,贵 0构成了一个首项这-，公差为3的等差数列，2an 2 2n 1 (3n |)(6n 3) 2n 1 所以选 B。小结：构造等比数列，注意形 書，当n n 1时，变为 書;2 22，其前n项和为Sn,r(n N ),例6:已知函数f(x)(仮 72)2,(x 0)，又数列a

5、n中a1对所有大于1的自然数n都有Sn f(Sn i)，求数列an的通项公式。解：f(X)(丘 V2)2,Sn f(Sni) (JS； V2)2岳是首项为运，公差为运的等差数列。jST 迈(n !)72 近n, Sn 2n2。n 2 时，an Sn Sn 1 2n22(n1)2 4n 2且当n 1时，a124 12 符合条件通项公式为an 4n 2例7: (2006山东高考题)已知a12，点(an,an 1)在函数f (x) x2 x的图象上，其中n 1,2,3, 求数列an的 通项公式。解： f (X) X2 2x又(an,an l)在函数图象上lg(an 1)是首项为Ig3公比为2的等比数

6、列小结：前一个题构造出JSn为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式,1后一个题构造Ig an 1为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与 性质为纽带，架起函数与数列的桥梁，揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。例8: (2007天津高考题)已知数列an满足a1 2, amann 1 (2) 2n，( n N*)其中 0,求数列的通项公式an的通方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求项公式提供方便,一切问题可迎刃而解。解：an 1 an(2)2n

7、,(n N*,0)an 1n1 (纣1ann(2)n1,。所以an 1n 1(2)nann(2)n1,所以(2)n为等差数列，其首项为0，公差为1；例9:数列an 中,若 a12，an 1an3an1615A.19解：anan3anan 13a nan丄3an又丄9112,丄an是首项为丄公差3的等差数列。2a4 6所以选A变式题型:数列an中，ai2,an 1+3，求 an1 3an解：an 12an13anan 11 3an2an3 1丄2 2 0；51是首项为-公比为1的等比数列an小结：an 122f(an)且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系，相互渗透，最后融合到一起。总之，构造等差数列或等比