AHP(层次分析法)示例说明

1、AHP(层次分析法)示例说明(The An algtic Hierarachy Process-AHP).AHP预备知识为了更好地理解 AHP，需要准备一些矩阵方面的知识，以下知识都可以从线性代数中找到。1.1特征根与特征向量设A = （aj m逑为n阶方阵，若存在常数 k和非零n维向量g = ,g2,gn），使得Ag = 7-g（1）则称，是矩阵A的特征根（或特征值），非零向量g是矩阵A关于特征根的特征向量。1.2特征根的求法由（1）得A g 0 = A -，E g = 0，这是一个n元一次线性齐次方程组，该方程组如果 有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即称（2）式为矩阵A的特征

2、方程，它是一个一元 有n个根。n次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只1.3重量模型设U1,U2,Un为n个物体，重量分别是知两两之间重量比的比值：g1,g2/ ,gn。但是，我们并不知道物体的重量，只aj 二g-g设准则C为比较重量，问题是：已知aj（i, j 0。（对 于正互反矩阵最大特征根随扰动的变大而变大的证明没有找到，忘补充）max nC.I.=令n -1显然，我们希望C.I.尽量小；但是，C.I .小到什么程度，才能使max与n对应的特征向量“归 一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍是一个非常非常困难的问题，可以说，人们难以正面回 答这个问题。为此，AHP发明者Saaty给出

3、了平均一致性检验值 R。我们重复1000次，对随机判 断矩阵A的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致性检验指标如下：阶数1R.I.02345678910111213141500.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59令C.I . C.R.:R.I.当C.R. ： 0.1时，认为判断矩阵 A的一致性是可以被接受的。亦即当C.R. ： 0.1即C.I. ： 0.1R.I.时，就是说，当给定的判断矩阵 A=(ajj)的一致性指标 C.I.不超过平均随机一致性指标 R.I.的0.1 倍时，认为判断矩阵 A =(aj)的一致

4、性是可以被接受的。言外之意：此时的 A的max对应的特征向量“归一化”后，能给出n个物体U1,U2 / ,un按重量大小的真实排序。明显看出这个回答不是正面的，也有些令人难以置信。但是，这已是目前为止最好的回答了，这也是AHP理论上不够严谨的问题。不过，从应用角度讲，当CR.0.1时，AHP不再适用，这时，只能回头考虑，变更递阶层次结构，或对判断矩阵A重新赋值。.AHP基本步骤用AHP解决问题，有四个步骤：1. 建立问题的递阶层次结构；2. 构造两两比较判断矩阵；3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重；4. 计算各层元素组合权重，并进行一致性检验。下面通过一个应用实例说明AHP的每个步骤的实施

5、。例：某闹市区一商场附近交通拥挤。目标G:改善该街区交通环境。有三种方案可供选择：A1 :修天桥或修高架桥；A2 :修地道；A3 :商场搬迁。选择方案的准则有 5个：c1 :通车能力；c2 :方便市民；c3 :改造费用；c4 :安全性；c5 : 市容美观。决策步骤：A.建立问题的递阶层次结构：1.目标层最咼层：目标层G:改变交通环境2.准则层“：通车能力c2 :方便市民C3 :改造费用c4 :安全性C5 ：市容美观3.方案层方案A方案A2方案A3递阶层次结构中，每一层的每一个元素均是下一层中每个元素的准则。B.构造两两比较判断矩阵构造判断矩阵 A = (aj )n n,在单准则下分别构造，即在

6、G下对c, C2 C3 C4 C5，构造判断矩阵；分别在C, C2 C3 C4 C5下对A A2 A3构造判断矩阵。在单一准则下，如何具体构造两两比较判断矩阵A=(ajj)呢？即如何具体确定比值aij呢？在AHP中比较常用的是一一1-9比例标度法。关于1-9比例标度法的说明：n个元素Ui,U2,，Un，两两比较其重要性共要比较 n(n 一1)次。第i个元素Ui与第j个元素Uj2重要性之比为aj。通过使用标度比重，确定 aj , 下是标度值：aij = 1 表示ui与u j重量相同，或重要性相同；aj =3 表示Ui比u j稍重；aij =5 表示ui比Uj明显重；aij =7 表示Ui比u j

7、强烈重；aj = 9 表示Ui比u j极端重；数2、4、6、8则为上述判断的中值。两两比较两个元素的重要性，总是在某种准则(准则层比较是以总目标 G为准则，方案层比较，分别以准则层中各元素为准则)下进行的。至于为什么取1-9比例标度，而不取别的，是因为人们直觉最多只能判断出 9个等级的差异，再细的差异，人的直觉是分辨不出来的，而两两比较判断矩 阵是领域专家靠感觉去分辨和构造的。从理论上讲，用1-15比例标度也未尝不可，只是人的直觉分辨不出。对n个物体，两两比较其重要性得判断矩阵A = (aij )n n ,显然aij满足：C1aij 0 , aij, aii =1aji11,这样的n阶矩阵可表

8、示共计n(n -1)个判断，所以A是正的互反矩阵，且对角线上元素为2为上三角或下三角矩阵。但 A的元素aij通常不具有传递性，即aja jkaik这是由事物的复杂性和人的认识的局限性造成的。如果式:aja jk - aik成立，则称 A是一致性矩阵。从判断矩阵 A出发到导出元素在某种准则C下按重要性大小的排序，矩阵A的一致性起着至关重要的作用。按着1 - 9比例标度的上述说明，具体构造应用举例的六个准则下的两两比较判断矩阵分别为：G通车便C1方用C2费全C3安容C4市C5通车C1方便13535C2费用1/31313C3安全1/51/311/33C4市容1/31313C51/51/31/31/3

9、1通车能力Ci天桥Ai地道A1A2A3便方C2A1A2A天115桥A1135115地1/312A2搬迁A3151 1/5道A2搬迁A3/51/2费用C3天桥A1地道A搬迁A3147/4114/71/411安全C4A1天桥A11/2道地2A迁搬A3311A2A311/31111市容C5天桥A1地道A2搬迁C.由判断矩阵计算被比较元素相对权重 对给出的共6个正互反矩阵，分别求(1)max1 11/2/3（2）与ax对应的特征向量并归一化得排序相对权重向量（3）每个矩阵求 ax后，都要进行一致性检验。例如以C1作准则的判断矩阵为:因阶数低，可直接求出最大特征根。由于来验证这一点:J/51/51 -九

10、151151 九511 -九511 -X5十（扎）1/51-入1/51/51 -入1/51/51致的，知115200(-)(-2)| A -，Emax =3,其它的特征根均为=(_.)2 =(_，)2(2_ )=3max2=3=0=0= 再例如以准则c2的判断矩阵为:0。下面显然A不满足一致性,因为 a120231/31/51/21/31/51/2|A1 -丸351351/31 -九2=1/31 -九21/51/21 一入1/51/21 一入- E |二351/3-1/10-)2 301/22 1 2 =( ) (2 - )30321-3 030max=3，而是max3。这时，通常用由于A出现

11、一个小的扰动而不满足一致性，此时不能再有迭代算法（乘幕法）求解出 max与对应的特征向量，关于 乘幕法可baidu 一下。D.计算各层元素组合权重，并进行一致性检验（1）设准则层元素 C相对于总目标 G的排序权重向量为：1111 Ta =佝卍2,，am）（本例中 叶5）（2）方案层各方案A对准则层各元素j的排序向量为：b2 二应,比）（j =1,2, ,m）（本例中 n=3, m=5令 B2 =（b2,b；,，b；） （ m=5）则方案层的n（ n=3）个方案相对于总目标的组合权重向量为a2二B21：最后得到的*,*,* T就是方案A B、C在总目标G下的排序向量。（3）对于递阶层次组合判断的

12、一致性检验我们要逐层计算 C.I .，设得到准则层针对目标层的计算结果为：C.“，R.I.1，C.Rr方案层针对目标层的相应指标为：C.1.2 二 C.I.2,C丄2,c.m a1R.I .2 二 R；，R .1.2,R； a1C |本例中n=5,则C.R.2二C.Rr2 （为什么使用加法）R.1.2上面c.2和r.i.2分别是方案层针对准则层的第i个准则下判断矩阵的一致性指标和平均随机一致性指标。当C.R.2 : 0.1时，认为递阶层次在 2层水平上整个判断有满意的一致性。附录：关于（n是方阵A=（aj）的最大特征根，其余 n-1个特征根全为零，而 g是A的与最大特征根 n 对应的特征向量）的证明：证明1:对于一致性正互反举证： + 側皿弘一W叫W-A很容易看出，每行成比例，因此矩阵的秩=1，非零特征根有1个。并且刀 i =刀彷，因此n =E= 证明2:设两两比较相对重量的精确测度为:则特征方程| A - E |二 证明：WiW1W2W1aw-wnw2-W.Wi_WiI W2 fn=|A-吃|=W1W2