破解椭圆中最值问题的常见策略

1、破解椭圆中最值问题的常见策略有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以 解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且 常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形 结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、 各种平面几何中最值的思想来解决。第一类：求离心率的最值问题2 2例1：若A,B为椭圆 笃+ I=1(a：b0)的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使 NAQB=12O0， a2 b2求此椭圆离心率的最小值。分析：建立a,b,c之

2、间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思 想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭 圆中X, y的取值进行求解离心率的最值。解：不妨设 A(a,O), B(tO),Q(x, y)，yX -ay yy利用到角公式及 AQB =120得： a1 +X +a X-a22 a 2 -ay，消去 X，b2又点A在椭圆上，故X2则 4a2(a2 -c2) 3c4，=ta n12O02ab22ab2化简得亦又2即话兰b逅匕 0解得故椭圆离心率的最小值为些。(或 2ab J3c2 = J3(a2-b2)，得：0- 3/6故bA0)两个焦点为

3、Fi, F2，如果曲线C上存在一点Q,使FiQ丄F2Q，2例2：已知椭圆C :笃a求椭圆离心率的最小值。分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：2aSind +cosa2c = PF1 _ PF2 _ PF1 +PF2 sin 900 si n si nPsi na+cosP故e5sin（；+450）鼻琴，故椭圆离心率的最小值为字。点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗 花明又一村。第二类：求点点（点线）的最值问题破解策略之三：建立相关函数并

4、求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法）2 2例3： （ 05年上海）点A、B分别是椭圆3620=1长轴的左、右端点，点 F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方,PA 丄 PF。（1）求点P的坐标；（2 ）设M是椭圆长轴AB上(2)直线AP的方程是x 一 y +6=0。 设点M（ m ,0）,则M到直线AP的距离是m +6。2于是m +6=m +6 ,又65 w 6解得m=2。设椭圆上的点（x , y倒点m的距离d的一点，M到直线AP的距离等于I MB I，求椭圆上的点到点 M的距离d的最小值。分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次

5、函数的最值问题进行求解。(1 )略解：d2 =( x-2f +y2= xVx +4 熾-空十伏9 - 2) , F5由于一 6m 0)上移动，求ab的最短距离。解：设F为椭圆的右焦点，如图作AA丄 l 于 A,AB的中点M到椭圆右准线BB丄l于B, MM丄l于M，则|MM / |=AA/ + BB/AFBF=丄(AF2eAB+ BF )2ed2e当且仅当AB过焦点F时等号成立。故 M到椭圆右准线的最短距离为do2e2b2点评： 旦 是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值,aAB过焦点的充要条件。通过定义转化避免各种烦琐的运算过程。第三类：求角的最值问题例5： （ 05年浙江）如图，已知椭圆的中

6、心在坐标原点，焦点 左准线I与x轴的交点为 M , IMA1I : |A1F1|= 2 : 1 o（I ）求椭圆的方程；（n ）若直线11： x= m（|m| 1）, P为l1上的动点，使/ FjPF?最大的点P记 为Q,求点Q的坐标併用m表示）。分析：本题考查解析几何中角的最值问题常采用到角（夹角）公式或三角形中的正弦（余弦）定理，结合 本题的实际，考虑用夹角公式较为妥当。2 2解：（I）（过程略）Z+ Z=143（II）设 P（m,y0）,| m 1 当 y。=0 时，NF1PF2,兀cNPRM 2F1， F2在x轴上，长轴 A1A2的长为4,M A1O F2A2 x当 y。H0时,0 v

7、NFjPF2二只需求tanNFiPF2的最大值即可。直线PR的斜率K-y0-m +1ta nNRP F2H-K24+2KEm -y。2jm2-1”|y0|Jm2-1直线PF2的斜率2|yo|吒2 , 2 K2 = yo ,利用夹角公式得: m -12|y0|当且仅当Jm2 -1 =| yo I时，NF1PF2最大，最大值为arctan .o寸 m2 1点评：对于此类最值问题关键是如何将角的最值问题转化成解析几何中的相关知识最值问题, 一般可用到角（夹角）公式、余弦定理、向量夹角进行转化为求分式函数的值域问题。第四类：求（三角形、四边形等）面积的最值问题2例6： （05年全国II） P、Q、M、

8、N四点都在椭圆X2中工=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦+点.已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF MF =0 .求四边形PMQN的面积的最小值 和最大值.分析：本题是向量与解析几何的结合，主要是如何选择一个适当的面积计算公式达到简化运算 过程，并结合分类讨论与求最值的思想。解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0,1），且PQ丄MN ,直线PQ、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0,1），故PQ的方程为y=kx+1将此式代入椭圆方程得（2+ k2） X2 +2 kx - 1=0设P、Q两点的坐标分别为（为,y1）, （x2, y2），贝

9、U-k -如2 +2-k + J2k2 +22 +k22+k2x1 =-1,X2 =2 2从而1P Qf旳+-亠82 +k2亦即|PQU21 k）（1）当k工0时，MN的斜率为一-八k2姻1十仆一1）2）同上可得：| MN |=k一1 2 2+（ ）k1 4（1+k2）（1+A） 4（2+k2+占）故所求四边形的面积 S-1 PQ|MN |= =k2 （2+k2）（2+） 5 + 2宀右令 u =k2 +2得 S = 4（2 +U）=2（1 一）k25+2u5+2u兰兰S2 当k = i时u=2, s=且S是以u为自变量的增函数。 k9当 k=0 时，MN为椭圆长轴，IMh=2J2, IPQ=

10、J2o S=11 PQMh=22综合知四边形 PMQ的最大值为2,最小值为16。9点评：对于此类最值问题关键是选择一个适当或合理的面积公式转化成常见函数一一反比例函 数形式的最值问题。第五类：求线段之和（或积）的最值问题破解策略之五：利用垂线段小于等于折线段之和。2 2X y例7:若椭圆一4+二 =1内有一点P （1,1）, F为右焦点，椭圆上的点 M使得IMP I +2|MF|的3值最小，则点M的坐标为C（W）D.（谆2/6B . （一,1）31利用垂线段最短的提示：联系到e = 3将2|MF |用第一定义转化成点到相应准线的距离问题，思想容易得到正确答案。选 B。思考：将题中的 2去掉会怎

11、样呢？ 破解策略之六：利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边2 2例8：如图，在直线丨：X - y +9 =0上任意取一点 M，经过M点且以椭圆 +丄=1的焦点作123椭圆，问当M在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少?分析：要使所作椭圆的长轴最短,当然想到椭圆的定义。基本的解题思路如下：长轴最短点一直线T寻求对称T对称变换。在一系列的变化过程中巧妙的运用对称，使我们找到一种简明的解题方法。通过此对称性主要利用|NFi |+| 肝2 罔 F2Fi/ |Fi解：椭圆的两焦点分别为Fj （- 3, 0）、F2 （3,0 ）,作Fi关于直线I的对称点Fi，则直线FiFi的方程为x + y = 由方程组x+y=， 得p的坐标（6, 3）,IX - y = -9解方程组x+ 2y=3IX y = -9由中点坐标公式得的Fi坐标（一9,6 ）,所以直线F2F1的方程x+2y=3。得 M 点坐标（一5,4 ）。由于 F1 F2 =