立体几何选填题

1、立体几何选填题一、选择题1. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（左视图A.3 兀 B . 4 兀C . 2兀 +4 D . 3兀 +42.设a，P是两个不同的平面,I , m是两条不同的直线，且lua , mu P （A.若丨丄P，则a丄P.若a丄P，则丨丄mC.若 I/P，则 a/P.若 a /P，贝y |/m3.如下图，网格纸上小正方形的边长为1，得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（粗线画出的是一正方体被截去一部分后所）A.54B.162 C.54+183D.162+18/34.设直线m,n是两条不同的直线,a, P是两个不同的平面， 则a /P的一个充分条件是（ ）A

2、 m/a,n/P,m丄 nB.m/a,n 丄 P, m/nC m 丄 a,n /P, m 丄nD.m 丄 a ,n 丄 P, m/ /n5.已知a, P是两个不同的平面，A.B.C.D.若 若 若 若a 丄 P，aP mua， m丄a， m/a，m, n为两条不重合的直线,=n， m丄n，贝U m丄an U P， m / / n，则 a / / Pn丄P， m丄n，则a丄Pn/P， m/n，则 a/ P则下列命题中正确的为（）试卷第8页，总6页6 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（43P和两条不重合的直线A.-38 .已知两个不同的平面的是（）A.若 m / / n，m 丄 a，

3、则 n 丄 aBC.若 m 丄a， m/n， nu P，则 a 丄Pm，n，则下列四个命题中不正确9.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（.若m丄a，m丄P，则a/pD.若 m/a，an P = n，贝U m/n2的正三角形，侧视图是）俯觇ffl1.若丨/ /m ,，则丨/m.5 D . 1010 .已知直线 mu平面P，直线丨平面a，则下列结论中错误的是（A.若丨丄P ,贝U m/ /aC.若a/P，则丨丄m11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（3312 .下列命题正确的是（A.B.C.D.）两两相交的三条直线

4、可确定一个平面两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线13 .某椎体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（J14A. 733 B而 C . 441 D .屁15 .已知在三棱锥PAB丄平面P- ABC 中，PA = PB=PC =1，AB =72， AB 丄 BC，平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（.3兀C .晅兀D . 2兀316 .在空间中，有如下命题： 互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线;若平面a / /平面P，则平面a内任意

5、一条直线 m/平面P ；若平面a与平面P的交线为m，平面a内的直线n丄直线m，则直线n丄平面P ；若平面a内的三点A， B，C到平面P的距离相等，则a /P）个 A . 0 B . 1 C . 2 D . 3其中正确命题的个数为（17 .把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面 ABD丄平面CBD，形 成三棱锥C-ABD的正视图与府视图如右图所示，则侧视图的面积为（）A.-2）P有且只有一个平面与aa，b都平行;丄b ；18 .下列命题中正确的个数是（ 过异面直线a，b外一点 异面直线a，b在平面内的射影相互垂直，则 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;直线a，

6、b分别在平面a，P内，且a丄b，则a丄P.A. 0 B . 1 C . 2 D . 319 .某几何体三视图如图，则该几何体体积是（A. 420 .在直三棱柱ABC -ABiG中，AC丄BC，点M是侧面ABBiA内的一点，若MC与平面ABC所成的角为30 % MC与平面ACCiA所成的角也为 30。，贝y MC与平面BCCiBi所成的角正弦值为(A. - B2二、填空题21 .将边长为2的正AABC沿BC边上的高锥B-ACD 的外接球的表面积为AD折成直二面角 B-AD-C，则三棱22 .若动圆M与圆G : (x + 4 )2+y2=2外切，且与圆C2:(X-4)2 + y 2=2内切,则动圆

7、圆心M的轨迹方程23 .设正三棱柱ABC-ABC中，AA=2 , AB = 2j5，则该正三棱柱外接球的表面积是24 .若过定点M (1,0 )且斜率为k的直线与圆C ：x2 +4x + y 2-5 = 0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是25 .已知点p( X y是直线kx+=0 k 0上一动点，PA、PB是圆C:x2 +y2-2y=0的两条切线，A B是切点，若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为26 .如图是某几何体的三视图，正视图和侧视图为直角三角形，俯视图是等边三角形, 则该几何体外接球的表面积为 .27 .已知边长为 2j3的菱形 ABCD中，NBAD =60，沿对角线

8、 BD折成二面角A-BD-C为120的四面体 ABCD，则四面体的外接球的表面积28 已知三棱锥 A BCD 中，A B= C aJT 3 BC = AD = J41，AC =BD，则三棱锥 A-BCD的外接球的表面积为29.如图，在棱长均相等的正四棱锥 P-ABCD最终，0为底面正方形的重心，M,N分别为侧棱PA,PB的中点，有下列结论:P C /平面OMN ；平面P CD/平面OMN :0M丄PA ；直线PD与直线MN所成角的大小为90其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）30 已知 MBC的三个顶点在以 0为球心的球面上，且 AB =2j2, BC =1, AC =3，三棱锥O

9、- ABC的体积为逅，则球O的表面积为631 .已知某几何体的三视图（单位：cm）如下图所示，则该几何体的体积是俯视图232 若点P在圆C1 :（ X 一4）+ (y-2)2=9 上，点 Q 在圆 C2:(x+2)2+(y+1)2=4 上,PQ的最小值是33 .所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥 S-ABC中，M是SC的中点，且 AM丄SB，底面边长AB =2丿2，则其外接球的表面积为D是侧面34 已知在三棱柱 ABC-ABjG中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，且点BBiGC的中心，则AD与平面BBICIC 所成角的大小是35如图，在直三棱

10、柱 ABC-ABiG 中，AB =1,AC =2,BC = J3 , D、E 分别是 AG和BB1的中点，则直线DE与平面BQGC所成的角为36 .平面a3，丫两两垂直且交于一点 O,若空间有一点 P到这三个平面的距离分别是 3、4、12则点P到点O的距离为立体几何选填题参考答案试题分析：由三视图可知该几何体为半个圆柱，底面圆的半径为1，高为2,所以表2.3.面积为 S=Jrx1 +2 x2+兀 X 1X 2 = 3兀+4试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得丨丄P丨U a可得a丄P考点：空间线面平行垂直的判定与性质试题分析：由三视图可知该几何体为

11、正方体去掉一个顶点后的几何图形,表面积由三个正方形，三个等腰直角三角形及一个边长为6J2的正三角形构成,所以面积为答案第18页，总9页162 +18考点：三视图及几何体表面积4.试题分析:由m丄Ot,n丄P可知向量m,n分别为连个平面的法向量,所以由向量的知识可知当m,n平行时可得到a /P考点：空间线面平行垂直的判定与性质5.A中m,a可能平行，相交或直线在平面内；B中两平面可能平行可能相D中两平面可能平行可能相交试题分析：交；C中由面面垂直的判定可知结论正确；考点：空间线面垂直平行的判定与性质试题分析：由三视图可知该几何体是一四棱锥，底面是长和宽分别为 高为1，则其体积为v= 二里，故选C

12、.33【方法点晴】本题主要考查三视图，属于较易题型应注意把握三个视图的位置和尺寸：主 视图在图纸的左上方，左视图在主视图的右方，俯视图在主视图的下方；主视图与俯视 图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称.6.4和1的矩形,& D 试题分析：对于A, / m丄a , 直线m与平面a所成角为90, / m Pn ,二n与平面a所成角，等于 m与平面a所成角， n与平面a所成的角也是 90，即“ n丄Ct ”成立，故A正确；对于B,若m丄a，m丄P，则经过m作平面丫，设Yca=a，Yep =

13、b，v a，P，在平面 丫 内，m 丄 a且 m丄 b，可得a、b是平行直线， ad P，bu P，aPb， aPP，经过m再作平面日，设=c，9c P =d，用同样的方法可以证出 cPP， a、c是平面a内的相交直线，. a Pp，故B正确；对于C,v m丄a，m Pn， n丄a，又nu P， a丄P，故C正确；对于D, mPa，a c P =n，当直线m在平面P内时，mPn成立，但题设中没有 mu P这一条，故 D不正确，故选 D.考点：平面的基本性质及推论 【方法点睛】本题以命题判断真假为例，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定定理和 性质定理，以及平面与平面的平行、垂直的判定定理等知

14、识点，属于基础题；根据直 线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义，得到A项正确；根据直线与平面垂直的定义，结合平面与平面平行的判定定理，得到B项正确；根据直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理，得到C项正确；根据直线与平面平行的性质定理的大前提，可得 D项是错误的.由此可得正确答案 9. C 试题分析：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由侧视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2，故其主视图为直角边长为 2的等腰直角三角形，且中间有一虚线，故选 C.考点：三视图10. D试题分析：A项，由丨丄P ,可知a/P,又 muam / /a ,故 A 正确;I /

15、 / m,丨丄a m 丄a ,又 mu丄P ,故B正确；C项，Ta/P,|丄丨丄P ,又mu 丨丄m ,故C正确;D项,因为a丄P,可知丨与m平行，相交,异面,所以D错误.综上可知应选D.考点：线面垂直，面面垂直的性质定理和判定定理11. B试题分析：正方体挖去一个四棱锥，体积为:11A2x2x2- x2x 2x2 =故选 B.33考点：三视图求体积【方法点睛】三视图问题的常见类型及解题策略：（1）由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示.（2）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视 图，还原、推测

16、直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作 为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.（3）由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原 理，结合空间想象将三视图还原为实物图.12. C 试题分析：A.三线交于一点时不一定在一个平面，故A不正确；B.正四棱锥中，侧面和底面所成角相等但不平行，故B不正确；C.直线和平面的位置关系只能是在面内或面外，因为直线经过平面外一点，故不在面内，必在面外，在面外包括平行和 相交，故C正确；D.可以交于一点，则共面，故 D不正确考点：直线和平面的位置关系；平面和平面的位置关系.13【答

17、案】C图所示）试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如,其中底面ABCD边长为4 ,侧面PAD丄平面ABCD，点P在底面的射所 以 P _E, aD=1 D,E=4 a, =E 所以 PEPA = JPE2+AE2 =5, PB= JPE2 +BE2= 741, PC = Jpe2 +ce2 =733,PD =JpE2 +DE2 =717,底面边长为 4 ,所以最长的棱长为741，故选C.考点：简单几何体的三视图.15. B 试题分析：由题意得，AC为截面圆的直径，且AC=J3，设球心到平面 ABC的距离为d，设球的半径为 R，因为PA=PB=PC =1 , AB=J2

18、，所以 PA 丄 PB,因为平面PAB丄平面ABC ,所以点P到平面ABC的距离为亚2由勾股定理可得 R2将）2+dT）2+孕d）2，解得= 0,R#，所以球的表面积为S = 4兀R23=4兀x-=3兀，故选B.考点：球的组合体及球的表面积的计算.416. B试题分析：互相平行的两条直线在同一个平面内的射影是互相平行的两条直线或是同一条直线，或是两个点,故不正确；若平面a P平面P，由面面平行的性质可得平面a内任意一条直线mP平面P，故正确；若平面 a与平面P的交线为平面a内的直线n丄直线只有当平面a丄平面P时，才有直线n丄平面P，故不正确；若平面 a内的三点A, B,C到平面P的距离相等，则

19、a与P相交或平行,故不正确，故选 B.考点：1、线面关系的判定与性质；【方法点晴】本题主要考查线面关系的判定与性质、面面关系的判定与性质，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.2、面面关系的判定与性质17. D试题分析：取 BD的中点E，连接CE,AE，因为平面 ABD丄平面CBD，所以CE丄AE，所以也CEA是三棱锥的侧视图，因为BD = J2，所以CE = AE所以A CEA的面积为S= 2 2

20、 2=1，故选B.4考点：空间几何体的三视图.【方法点晴】 本题主要考查了空间几何体的三视图及其应用，其中解答中涉及到几何体的三视图的应用，几何体的侧面积公式，以及线面位置关系的判定与应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题 的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中牢记几何体的三视图的规则， 得出原几何体的形状是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.18. A试题分析：此命题不正确，当过点 时，P与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线平行 此时找不到一个过 P的平面与两条异面直线都平行，不正确；本命题用图形说明,直,如图，三棱锥 P-ABC中，侧棱PB垂直于底面，PA, PC

21、两线在底面上的投影垂D为棱PB上一点，而异面直线 PA,DC两线不垂直，不正确；四边相等的四边形也可以是空间四边形， 不正确；直线a , b分别在平面a ,P内,不一定垂直，不正确.故选A.考点：空间中直线与直线之间的位置关系.【方法点睛】通过列举反例说明命题不正确本题考查命题真假的判断， 考查了空间中直线与直线之间的位置关系，线面位置关系，两异面直线的 关系，面面位置关系等，正确解答本题，关键是要有着较好的空间立体感 知能力，能对命题所涉及的问题找到恰当的模型做载体进行判断.本题是 训练空间感知能力的一道好题，属于中档题.19. B几何体为试题分析AB=2x/2, AC =2, DO=72,

22、AB 丄 AC,DO 丄面ABCxdDjBc KS必BC二丄天血天2%2血 =33323,选 B.考点：三视图【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1) 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直 接利用公式进行求解.(2) 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分 割法、补形法等方法进行求解.若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.2O. B试题分析：以MC为对角线作长方体，设MC与平面BCCiBi所成近22424si not =的角为 a，则 sin a+sin 30 +sin 30 =1，故2

23、.选 b.是D21. 5兀试题分析：外接球半径 2R= R =75 2 一考点：外接球.2 222.-=1(x X J2)214|MC2 Fr -72 ,试题分析：设动圆M的半径为r,则由已知I MCi F r + J2 ,/.|MCi I -| MC2 2/2 .又 Ci(4,0),C2(4,0),IC1C2 1 = 8 2J2.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以Ci（4,0）,C2（4,0）为焦点的双曲线的右支.打a = J2, C = 4，二b2=c2 - a2 =14.二点M的轨迹方程是X22y =1(x 血).14考点：【思路点睛】 本题考查的是求轨迹方程， 求有关的轨迹问题时， 根据

24、题设条件的不同常采用 以下方法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.定义法：根据圆、直线， 椭圆，双曲线，抛物线等定义列方程. 几何法：利用圆的几何性质列方程. 代入法: 找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.23. 20兀试题分析：因为该三棱柱为正三棱柱，所以底面为正三角形，底面三角形外接圆的直径为定义法求轨迹方程2r -AL二2 =4，即r =2，所以该三棱柱外接球的半径 sin 60。73零 =J22 +12 = J5，所以该三棱柱外接球的表面积为S=4；iR2=20 .考点：1.正三棱柱的性质；2.球的切接问题.【名师点睛】本题考查正三棱柱的性质与球的切接问题，属中档

25、题；球与旋转体的组合，通 常通过作出它的轴截面解题； 球与多面体的组合， 通常通过多面体的一条侧棱和球心或 “切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.24.（O,幕）试题分析：圆心（ -2,0 ），半径为3，画出图象如下图所示，由图可知，斜率的取值范围为（O，kMA ）,得 A(O,QkMA=45， 所以k巳O,需）.考点：直线与圆的位置关系 .【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查 数形结合的数学思想方法.首先求出圆心和半径，画出圆令x=O代入圆的方程，求4/的图像，根据题意，直线和圆交于第一象限，也就是斜率的取值范围在(O,kMA )直线.A是圆与y轴的交点，故令x

26、=O代入圆后，可求得纵坐标，由于交点在第一象限，所以坐标取正数，由此求得实数 k的取值范围.25. 2【解析】试题分析：圆 C： X2 +y2 -2y =0的圆心（0, 1）,半径是r=1 ,由圆的性质知：S四边形pacb=2S PBC四边形PACB的最小面积是2，1PBC的最小值 S=1=-rd （d是切线长） d最小值=22圆心到直线的距离就是 PC的最小值， j12+22_5J1 +k2考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式19兀26 .3R2 =（1 _d）2 +（2天X2）2 =d23211219R2 = +=一，所以球的面积 S4912考点：三视图的识读及球的表面积公式的运用

27、.【易错点晴】本题考查的是三视图与原几何体的形状的转化 问题.解答时先依据题设中提供的三视图，将其换元为立体几何中的简单几何体，再依据几何体的形状求其体积.在这道题中，从三视图所提供的图形信息中可以推知这是一个底 面为等边三角形高为 h =1的三棱锥.解答本题的难点是先 依据题设中提供的信息确定底面的形状及高分析：如图，设球的半径为2 43口1+ （XX2）2,解之得 d =-32241919花19昭=jI X=,应填答案-31233试题距及球半径的关系建立方程组求出球的半径,进而依据球心ADBCR嶠,运用球面面积公式求解.27.28兀试题分析：如图所示，N AFC =120NAFE =60A

28、F =亟咒273 =3，2AE23,EF =，设 OO j，2OB =2OF =1股定理可得32 /+4 =-+1+ -12丿VR2 =x23罷 T丁-xj， R2=7，四面体的外接球的表面积为4兀R2 =28兀，故答案为28兀.考点：（1）球内接多面体；（2）球的表面积和体积.宽、高分别是6,4,528. 77兀试题分析：因为该三棱锥的对棱两两相等，所以可构造长、的长方形，如图所示，三棱锥 A-BCD的外接球即为所构造的长方体的外接球，所三棱锥A - B C I的以所求外接球的半径 R =ftS = 4；!R2 =4兀I 2丿考点：球的表面积、体积.【方法点晴】本题主要考查了几何体的外接球以

29、及球的表面积计算，相等，将三棱锥的外接圆构造成长方体的外接圆是解决本题的关键所在, 力要求较高，难度中档；在正方体与球的组合体中常见的有三种形式： 个定点均在球面上， 的直径即为棱长；29.试题分析：如图，连接由该三棱锥的对棱两两 对空间想象能1、正方体的各球的直径即为正方体的体对角线；2、正方体的个面与球相切，3、球与正方体的各条棱相切，球的直径即为面对角线.AC，易得PC /OM，所以PC /平面OMN，结论正确PD /ON，所以平面PCD/平面OMN，结论正确.由于四棱锥的棱长均相等,.同理所2 2 2 2 2以 AB2 +BC2 = PA2 + PC2 = AC2，所以 PC 丄 PA

30、，又 PC /OM，所以 0M 丄 PA ,（.结论正确.由于M , N分别为侧棱PA, PB的中点，所以MN/AB，又四边形 ABCD为正方形，所以AB/CD , 所以直线PD与直线MN所成的角即为直线 PD与直线 CD所成的角，为NPDC，知三角形PDC为等边三角形，所以NPDC =60，故错误，故答案为考点：（1）线面平行的判定；（2）面面平行的判定；（3）线线垂直的判定.1、【方法点晴】 本题考查了线面平行的判定、 面面平行的判定以及线线垂直的判定和异面直线 所成的角等，对空间想象能力要求较高，难度较大；常见证明线线平行的方式有：利用三角形中位线得到平行；2、构造平行四边形得到平行；3

31、、利用面面平行等；在该题中证明平行利用的是中位线，垂直利用的是勾股定理； 求异面直线所成角的简单步骤“作，证，求”即:30. 12兀试题分析：在凸ABC中，AB =2血,BC =1, AC =3，由勾股定理可知斜边 AC76的中点O就是心ABC的外接球圆的圆心，因为三棱锥O-ABC的体积为，所6AA以 1x1x2j2x1xoo3 2普，所以OO胃，所以R = = ，球 O的表面积为4兀R2=12兀 考点：球的表面积的求解31. 470【解析】试题分析：该几何体是长方体上截了一个三棱锥，如图，1 1该几何体的体积 V = 10x5X10- X X 6x 5x6 = 470322.几何体的体积和表面积.考点：1.三视图;【解析】易知圆2 2C1：(x4) +(y-2) =9的圆心坐标为Ci(4,2)，半径为2 2r =3 ；圆 C2 ：(x + 2)中(y+O =4 的圆心坐标为C2(2，0，半径为R = 2 . d斗CQ2 1= J452+3 = R + r，两圆的位置关系是外离，又点P在圆C1 上，点q在圆C2 上，则d -(R +r) =375 -5pq的最小值为33. 12兀试题分析：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形 ABC的中心，/ SO丄平面ABC，AC匚平面ABC， AC丄SO，又BO丄