第7章第5节简单几何体的面积与体积

1、20092013年高考真题备选题库第7章立体几何第5节简单几何体的面积与体积考点柱、锥、台、球的表面积与体积1 . （ 2013辽宁，5分）已知直三棱柱 ABC-AiBiCi的6个顶点都在球 0的球面上，若 AB=3, AC = 4, AB丄AC, AA1= 12,则球 O 的半径为（）13C,4解析：本题主要考查多面体、球等基本概念以及如何根据组合体中的位置关系进行准确计算，意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力以及转化思想.如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM = 1C= 5，OM = 2aA1 = 6,所以球 0的半径R=OA = yj 2 2+ 62 = 3.

2、答案：C2. （2013天津，5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 正方体的棱长为解析：本题主要考查球的体积、正方体与其外接球的关系，意在考查考生的空间想象能9 n 49 n力设正方体的棱长为X,其外接球的半径为R,则由球的体积为于，得-nR3 =罗，解得R=2.由 2R=V3x，得 x= 21=0.答案：33. （ 2013新课标全国I, 5分）已知H是球0的直径AB上一点，AH : HB = 1 : 2, AB 丄平面a H为垂足，a截球0所得截面的面积为 n则球0的表面积为 .解析：本题主要考查球及其组合体的基本知识.如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R,因为AH

3、 :HB = 1 ：2,所以OH = 3R.由勾股定理，有R2= r2+ OH2,又由题意得 nr2= n199 n则r = 1,故R2= 1+ 3R 2，即R2= 8.由球的表面积公式，得 S= 4底=.答案：字4. （ 2013江苏，5分）如图，在三棱柱 AiBiCi-ABC中，D , E, F分别是 AB, AC, AAi 的中点，设三棱锥F-ADE的体积为Vi,三棱柱AiBiCi-ABC的体积为V2,贝Vi : V2=.解析：本题考查多面体的体积，意在考查学生的化归能力及运算能力.设三棱柱AiBiCi-ABC的高为h，底面三角形 ABC的面积为S,小1111则V1= 了申尹=刃Sh=2

4、4V2,即卩 Vi V2= 1 24.答案：1 : 245. （ 2013新课标全国I ,12分）如图，三棱柱 ABC-AiBiCi中,CA= CB, AB = AAi, / BAAi= 60(1)证明：ABl AiC;若AB = CB= 2, AiC = 6,求三棱柱 ABC-AiBiCi的体积.解：本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力.（1）证明：取 AB的中点0,连接 0C, OAi, AiB.因为CA= CB,所以 OCIAB.由于AAB = AAi，/BAAi= 60故AAiB为等边三角形，所以OAilAB.因为OC n 0Ai = O,所以

5、AB 丄平面OAiC.又 AiC?平面 OAiC，故 ABlAiC.(2)由题设知 ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以 OC= OA1 = 3.又 A1C =伍贝U A1C2= OC2 + OA1,故 OA11OC.因为OC n AB= O,所以OA1丄平面ABC, OA1为三棱柱 ABC-A1B1C1的高.又AABC 的面积 Ssbc=/3，故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V= SabcX OA1 = 3.6. (2013安徽,12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为 2 的菱形，/ BAD = 60 已知 PB = PD = 2, PA = 6.若E为PA

6、的中点，求三棱锥 P-BCE的体积.(1)证明：PC丄BD;解：本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，三棱锥体积等基础知识和(1)证明：连接 AC,交BD于0点，连接PO.H基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.因为底面ABCD是菱形，所以 ACIBD, BO = DO.由 PB=PD 知，PO JBD.再由 POn AC= O 知，BD 丄面APC,又 .APC?平面 PAC,因此 BDIRC.因为 E 是 FA 的中点，所以 Vp-bce= Vc-peb= Vc-fab = Vb-apc.由 PB=PD = AB= AD = 2 知，ABD也ZPBD.因为 /

7、BAD = 60所以 PO= AO=V3, AC= 273, BO= 1.又 PA=V6, PO2+ AO2= PA2,即卩 POIAC,故AP c= PO AC = 3.1 1 1 1 由（1）知，BO丄平面APC,因此 Vp-bce= Vb-apc= BOpc = _.7. (2013福建,12分)如图，在四棱锥 P-ABCD中，PD丄平面 ABCD , AB / DC , AB丄AD,BC= 5, DC = 3, AD = 4,/ PAD = 60 .Luur(1)当正视方向与向量 AD的方向相同时，画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸, 并写出演算过程);若M为PA的中点，求证

8、：DM /平面PBC;求三棱锥D-PBC的体积.解：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化 思想.法一：在梯形ABCD中，过点C作CE山B，垂足为E.由已知得，四边形 ADCE为矩形，AE = CD = 3,从而AB = 6.在RtBEC中，由BC= 5, CE = 4,依勾股定理得 BE= 3,又由PD丄平面ABCD得，PD _1AD ,从而在 Rt仲DA中，由AD = 4,/PAD = 60正视图如图所示:证明：取在FAB中,MN AB,PB中点N，连接MN , CN.M是PA

9、中点,MN = 1AB = 3./又CD AB , CD = 3,AMN CD , MN = CD ,四边形MNCD为平行四边形,DM CN.DM ?平面 PBC, CN?平面 PBC ,DM /平面PBC.1(3) Vd-pbc= Vp-dbc = 3S/DBC PD ,又 SzDBc = 6, PD = 4f5,所以 Vd-pbc= 8/3.证明：取AB的中点E,连接ME , DE.法二：(1)同法一.在梯形 ABCD 中，BE /CD，且 BE = CD ,四边形BCDE为平行四边形,DE /Be.DE?平面 PBC, BC?平面 PBC,DE /平面PBC. 在ZPAB 中，ME /P

10、B,ME?平面 PBC, PB?平面 PBC,.ME /平面PBC.DE n ME = E,平面DME /平面PBC.DM?平面 DME ,DM /平面PBC.同法一.& (2013湖北,13分)如图，某地质队自水平地面A, B,向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿,C三处垂直向地下钻探，自A点从而得到在A处正下方的矿层厚度为AiA2 = di.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为BiB2 = d2 ,CiC2= d3,且 did2d3.过AB, AC的中点M , N且与直线 AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2 所得的截面 DEFG为该多面体的一个中截面，

11、其面积记为S 中.(1)证明：中截面 DEFG是梯形;(2)在 ABC中，记BC = a, BC边上的高为h,面积为方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时，可用近似公式 V估=S中h来估算已知S在估测三角形 ABC区域内正下V = 3(d1 + d2 + d3)S,试判断V估与V的大小关系，并加以证明.解：本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.证明：依题意 AiA2丄平面ABC, B1B2丄平面ABC, C1C2丄平面ABC,所以 AiA2/B1B2 /C1C2.又 AiA2= di,BiB2= d2, CiC2=

12、 d3,且 did2d3.因此四边形 A1A2B2B1,A1A2C2C1均是梯形.由 AA2 /平面MEFN , AA2?平面 AA2B2B，且平面 AA2B2BQ 平面 MEFN = ME，可得 AA2/ME，即 A1A2/DE.同理可证 A1A2/FG，所以 DE /FG.又M , N分别为AB, AC的中点,则 D , E, F, G 分别为 A1B1, A2B2, A2C2, A1C1 的中点,即DE、FG分别为梯形 A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线.因此 DE = 1(A1A2 + B1B2)= 2(d1 + d2),FG = (A1A2 + C1 C2)= 1(d1 +

13、d3),而d1d2d3，故DEFG，所以中截面DEFG是梯形.V估V.证明如下:由A1A2丄平面ABC, MN?平面 ABC,可得 A1A2IMN.而EM /A1A2,所以EM JMN，同理可得FN JMN.11由MN是ABC的中位线，可得 MN =尹C=尹，即为梯形 DEFG的高,因此 S 中=S梯形 DEFG =1 d1+ d2 + d1 + d3 = a(2d1 + d2+ d3),22220即 V 估=S 中= ah(2d1 + d2 + d3).又 S= fah,所以 V= (d1 + d2+ d3)S=乎 + d2+ d3).十口、，、， ahahahV 估 V.于是 V V 估=

14、(d1 + d2+ d3)-8(2d1 + d2+ d3)= 24(d2-ch) + (d3 d1).由 d1d20, d3- d10，故9. （2012新课标全国，5分）平面a截球 的距离为眾，则此球的体积为（）A.爲nC. WonO的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a解析：设球的半径为R,由球的截面性质得R=U12=/3，所以球的体积V=4nR3答案：B10. （2012山东，4分）如图，正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为1 ,ClE为线段BiC上的一点，则三棱锥 A DED1的体积为解析：三棱锥A DEDi的体积等于三棱锥 E DDiA的体积，即 VAfi1 1 111. （2

15、012辽宁，5分）已知点P, A, B, C, D是球0表面上的点,PA丄平面ABCD ,-DED1=VE- DD1A= 3X 2 X1X1X1 = 6.四边形ABCD是边长为2的正方形.若FA= 2乂6,则厶OAB的面积为则(2R)2解析：把球0的内接四棱锥还原为长方体， 则球0的直径为长方体的体对角线, =(273)2 + (2Q3)2 + (2*6)2，可得 R2= 12.OAB 中，设 AB 边上的高为 h,贝U h2= R2 h/3)2 =9，则 h = 3,所以 S/OAB =寸 2/3X 3= 3/3.答案：3312. （2011新课标全国，5分）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥

16、的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的2，则这两个圆锥中，体积较小者的16稣所以O1O2 =ri2 ,设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为hi、h2,riri21h2ri3ri + 2高与体积较大者的高的比值为3解析：设球心为Oi，半径为门，圆锥底面圆圆心为 02，半径为2,则有一X 4曲2= nr2,即2 =13. （2012新课标全国，12分）如图，三棱柱 ABC AiBiCi 中,1侧棱垂直底面，/ ACB = 90 AC = BC= AAi , D是棱AAi的中点.（1）证明：平面 BDCi丄平面BDC;（2）平面BDCi分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.c,解: (1)证明：由题设知 BCICCi,