第一章1.3-1.3.2球的体积和表面积

1、第一章空间几何体1.3 空间几体的表面积与体积1.3.2球的体积和表面积高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1.若一个球的体积扩大到原来的 27倍，则它的表面积扩大到原来的（）R 解析：由 V = 27 V，得 R= 3R, -R-= 3则球的表面积比S : S=答案：C2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为 R的圆柱，则圆 柱的高为（）B. 2RC. 3RD. 4R解析：设圆柱的高为h,贝J nR2h= 3X fnR3,所以h = 4R.答案：D3. 如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 9n+ 42俯视图B. 36 n +18C9n+ 12D9n+ 18解析：由三

2、视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体, 其体积 V = 4 n|j3 + 3X 3X 2= |n+ 18.答案：D4. 设长方体的长、宽、高分别为 2a, a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. 3n2B. 6na2D. 24 na2C. 12 7a2解析：设该球的半径为R,所以(2R)2 = (2a)2 + a2 + a2= 6a2, 即 4R2=6a2.所以球的表面积为S= 4 dR2= 6 Tia2.答案：B5. （2015课标全国I卷）圆柱被一个平面截去一部分后与半球 （半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 1

3、6+ 20 n,则r =（）2r止视图俯视图B. 2解析：由题设与三视图可知，该几何体是由半个圆柱和半球组合 而成.其表面积 S 表=nr2+ 2 n2 + 4r2 + 2 nr2= 20 n+ 16解之得r = 2.答案：B二、填空题6. 将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm,则钢球的半径是解析：圆柱形玻璃容器中水面升高 4cm，则钢球的体积为V = n4X 32X 4= 36 n,即有 3 nR3 = 36 n,所以 R= 3.答案：3 cm7.两个球的表面积之差为48 n,它们的大圆周长之和为12 n,则这两个球的半径之差为.解析：由题意设两球半径分别为 R

4、、r(R r),f4 n R2 一 4 n r2 = 48 nfR2 r2= 12则：1即,l2 n R+ 2 n r = 12 n lR+ r = 6.所以R r = 2.答案：28 .已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为oo21解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为1的球，下 方是长方体，其底面是边长为2的正方形，侧棱长为4,故其体积V44 n=3X nX 13 + 2X 2X 4= 16+ 亍4 n答案：16+三、解答题9.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端 均为半球形，若图中r= 1,1= 3,试求该组合体的表面积和体积.hi解：组合体的表面积 S

5、= 4n2+ 2 url = 4 nX 12 + 2 nX 1 X 3= 10 n因为圆柱的体积 V圆柱=n2|= nX 12X 3 = 3 n,44又两个半球的体积2V半球=3 n3 = 3 n,413因此组合体的体积 V= 3n+ 4兀=n10. 一个正六棱柱的顶点都在同一球面上， 且该六棱柱的体积为99,底面周长为3,求这个球的体积.解：由题意可知，外接球的球心为六棱柱的中心， 直径为六棱柱1的体对角线，设六棱柱的底面边长为X,则6x= 3, x=-9设六棱柱的高为h又V=8,9所以8= ex 4钱 gfh,则 h = ,则球的直径为2R=/(/3r2+l = 2, R= 1,故该球的体

6、积B级能力提升1用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为n,则球的体积为（）8/2 n B. 38nA.8?32 nD.P解析：截面面积为n,则该小圆的半径为1,设球的半径为R,则 R2 = 12 +12= 2,所以 R=/2, v= 3 nR3= 8育冗答案：B2.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体， 且该正方体 的棱长为2,设该球的直径为2R,则2R=p22 + E + 22 = 2/3.所以该 几何体的表面积为 4nR2= 4n73）2= 12 n答案：12n3.体积相等的正方体、球、等边圆柱 （轴截面为正方形的圆柱） 的表面积分别是Si, S2, S3，试比较它们的大小.解：设正方体的棱长为a,球的半径为R,等边圆柱的底面半径 为r,贝J Sq = 6a2, S2= 4 dR2, S3=6 nr2.由题意知，4 dR3= a3= Ttr2 2r,3 m 3所以 R=/?，r