第一章解三角形

1、、选择题第一章解三角形1.已知A, B两地的距离为10 km, B,C两地的距离为20 km，现测得/ ABC = 120 则A，C两地的距离为（A. 10 km10 J3 kmC. 10 J5 km10J7 km2 .在 ABC中，若，则 ABC是（aAcos2bBcos2cCcos2A .等腰三角形B .等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3三角形三边长为a, b,C,且满足关系式(a +b+ c)( a + b c) = 3ab,则c边的对角等于（A. 1545C. 601204.在 ABC中，三个内角/ A, / B, / C所对的边分别为 a, b, c,且 矗:2, 贝U s

2、in A : sin B : sin C=(C. 1 : 2:/55.如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则A. A1B1C1和 A2B2C2都是锐角三角形B.A A1B1C1和 A2B2C2都是钝角三角形C.A A1B1C1是钝角三角形， A2B2C2是锐角三角形D.A A1B1C1是锐角三角形， A2B2C2是钝角三角形6.在 ABC 中，a = 2託,b= 22 , / B= 45 则/ A 为(A. 30。或 150B . 60C. 60或 120D . 30关于x的方程(1 + x2)sin A+ 2xsin B+ (1 x2) sin C=

3、0有两个不等的实根，贝y A为（）.A .锐角B .直角&在 ABC中，AB = 3, BC= *13 ,A. 3血2B . 3腑29.在 ABC 中，a + b c = c2 sa + b cA .等边三角形C.直角三角形7.在 ABC 中,AC= 4,则边AC上的高为C. ?2in A sin B= 2，则 ABC4C.钝角D .不存在)、 1=1 /定是(B 等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形10.根据下列条件解三角形：/ B= 30 a= 14, b= 7;/ B = 60 a = 10, b = 9.那么，下面判断正确的是（A .只有一解，也只有一解.B .有两解，也有两解.C.有

4、两解，只有一解.D.只有一解，有两解.二、填空题11.在 ABC中，a, b分别是/ A和/ B所对的边，若 a=压,b = 1，/ B = 30 则 / A的值是则此三角形是三角形.2 A12.在 ABC 中，已知 sin Bsin C= cos ,213.已知 a, b, c 是 ABC 中/ A, / B,/C的对边，S是 ABC的面积.若a = 4,b = 5, S= 5力，求c的长度14.AABC 中，a+ b = 10,而cos C是方程2x2 3x 2 = 0的一个根，求 ABC周长的最小值15.在 ABC 中，/ A，/=2 : 5 : 6.若 ABC的面积为B, / C的对边

5、分别为 a, b, c,且满足 sin A : sin B : sin C 輕39，则 ABC的周长为 .416.在 ABC中，/ A最大，/ C最小，且/ A = 2/ C, a+ c= 2b,求此三角形三边之比为三、解答题17.在 ABC中，已知/ A = 30 a, b分别为/ A, / B的对边，且 a= 4= b,解3此三角形.C对于山坡的18.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端斜度为15向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45建筑物的高 CD为50米.求此山对于地平面的倾斜角9.19.在 ABC 中，/ A, / B, / C 的对边分别为 a,

6、 b, c,若 bcos C= (2a c) cos B, (I )求/ B的大小;(n )若 b =77 , a+ c = 4,求 ABC 的面积.2 2 .sin C20在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,求证：a b = Sin( AB)参考合案、选择题1. D解析：AC2 = AB2 + BC2 2AB BCcos/ ABC=102 + 202 2X 10X 20cos 120=700.AC= 107 .2. B解析：由aAcos 2bBcos2及正弦定理，得C cos 2sin A sin B的正弦公式得.A sin 2.B sin 23. C解析：由AcOs2

7、Bcos_2sinC，由2倍角C cos2碍/ A/ B/ C.(a+ b+ c)( a+ b c) = 3ab,得 a2 + b2 c2 ab.C a2 + b2 -c2-cos C 2ab故 C= 604. D解析：由正弦定理可得a : b : c sin A : sin B : sin C 1 ： J3 : 2.5. D解析： AiBiCi的三个内角的余弦值均大于 0,则 AiBiCi是锐角三角形.A2-厂sin A2 cos A siM Ai)若 A2b2C2不是钝角三角形，由sin B2 cos B1 sin( B1)，得b2 B1 ,2ensin C2 cosC sin(d)21

8、2C2亍C1那么，A2+B2+ C2 3n (A1 + B1 + C1)丄，与 A2 + B2+ C2 n矛盾.2 2所以 A2B2C2是钝角三角形.6. C解析：由sin A丄，得 sin A= asinB sin B-2J3x2L_2_2/2而 b 0.由正弦定理si nA，代入不等式中得b2 a2+ c2 0,sin B sinC再由余弦定理，有2ac cos A= b2 + c2 a2 0. 0/ A 0)，由余弦定理可得aa2 + b2- c2cos B=2 2 24k + 36k -25k2ab22k)( 6 k)sin B= J1 cos2 B =型1由面积公式Saabc= -

9、ac sin B,得21 (2k) (6k) 晋3739 k = 1,A ABC的周长为2k + 5k + 6k = 13k = 13.由正弦定理得2=泄c sin C2+ . 2 由余弦定理 cos C =-c2=(a + c)( a c)+ b22ab2ab/ a + c= 2b,cos C =a+ c2b： a c)+ b2a+ c沪2ab2aa2c2 a-c)+ 宁22a整理得 2a2 5ac + 3c2 = 0.解得a= c或a = 3 c.2/ A = 2/C, a= c不成立,3a= c23 -C +C22a : b : c= - c : -c24:c= 6 :故此三角形三边之比

10、为6 : 5 : 4.三、解答题17. b= 43 , c = 8,/C= 90 ,B = 60。或 b = 43 , c= 4, / C = 30, / B = 120解：由正弦定理知a-sin Asin B43= sin B = , b = 43 . sin 30。si nB2根据正弦定理有卫0BCB(第18题)根据正弦定理有-4sin(90 )sin 30/ B= 60或/ B= 120= / C= 90或/ C = 30 c= 8 或 c= 4.18分析：设山对于地平面的倾斜角/EAD =8,这样可在 ABC中利用正弦定理求出BC;再在 BCD中，利用正弦定理得到关于 0的三角函数等式

11、，进而解出 9 角解：在 ABC 中，/ BAC = 15 AB= 100 米,/ ACB= 45 15= 30sin 30 sin15 BC = 100si n15sin 30又在 BCD 中，/ CD = 50 , BC= 100sin15 , / CBD = 45 / CDB = 90 +&, si n30*100si n15解得 cos 0=73 1 ,42.94山对于地平面的倾斜角约为42.9419. 解：(I )由已知及正弦定理可得 sin Bcos C= 2sin Acos B cos Bsin C,/ 2sin Acos B = sin Bcos C+ cos Bsin C=

12、sin( B + C).又在三角形 ABC中，sin (B + C) = sin A丰0,1 n 2sin Acos B = sin A，即 cos B= , B =2 32 2 2 2 2(n ) b = 7= a + c 2accos B, 7= a + c ac,2 2 2 1又(a+ c) = 16 = a + c + 2ac, ac= 3, Sxabc= acsin B,即 Saabc= - 3 旦=迈220. 分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理.解：由余弦定理 a2= b2+ c2 2bccos A; b2= a2+ c2 2accos B 得a2 b2= b2 a2 2bccos A + 2accos B, 2(a2 b2) = 2bccos A+ 2accos B,2 2c2a b = bcosA + acosB由正弦定理得a= 2R sin A, b= 2R sin B, c= 2R sin C,2 2a b b cos A+ a cos Bc2sin Acos