(精校版)湖南省理数卷文档版(无答案)-2015年普通高等学校招生统一考试

1、.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知（为虚数单位），则复数=（ ）A. B. C. D.2.设A,B是两个集合，则”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的( )A. B. C. D.4.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.25.设函数，则是（ ）A.奇函

2、数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数C.偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数6.已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）A. B. C.6 D-67.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386 B.2718 C.3413 D.4772附：若，则 8.已知点A,B,C在圆上运动，且.若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.99.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）A. B. C. D.10.某工件的三视图如

3、图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. .12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是 .13.设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 .14.设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .15.已知函数，若

4、存在实数，使函数有两个零点，则a的取值范围是 .三、解答题16.（本小题满分12分）本小题设有，三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。如果全做，则按所做的前两题计分。（本题满分6分）选修4-1，几何证明选讲如图，在圆中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）；（2）（本题满分6分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为A，B，求

5、的值.（本题满分6分）选修4-5：不等式选讲设，且.（1）；（2）与不可能同时成立.17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B为钝角(1)证明：（2）求的取值范围18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.19.如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正

6、方形，且底面ABCD，点P、Q分别在棱、BC上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若PQ/平面，二面角P-QD-A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.20.已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.（1）求的方程；（2）过点F的直线与相交于A、B两点，与相交于C、D两点，且与同向（）若，求直线的斜率（）设在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线绕点F旋转时，总是钝角三角形21.已知，函数. 记为的从小到大的第n个极值点,证明：（1）数列是等比数列（2）若，则对一切，恒成立. 答案一、选择题1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D 10.A二、填空题

7、11.0 12.4 13. 14. 15. 三、解答题16. .解：（1）如图a所示， 因为M，N分别是弦AB,CD的中点，所以OMAB,ONCD,即OME=， ENO=，OME+ENO =，又四边形的内角和等于，故MEN+NOM=；（2）由（I）知，O,M,E,N四点共圆，故由割线定理即得.解：（1）等价于，将，带入，即得曲线C的直角坐标方程为，(2).将 代入，得，设这个方程的两个实数根分别为,则由参数的几何意义即知，.证明：由，得.（1）由基本不等式及，有，即；（2）假设与同时成立，则由及得，同理，从而，这与矛盾，故与不可能同时成立.17.解：（I）由a=btanA及正弦定理，得,所以s

8、inB=cosA，即sinB=sin（+A）.又B为钝角，因此+A（，），故B=+A，即B-A=；（）由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+)=-2A0，所以A，于是sinA+sinC=sinA+sin（-2A）= sinA+cos2A=-2A+sinA+1 =-2（sinA-）+，因为0A,所以0sinA,因此-2由此可知sinA+sinC的取值范围是（，.18. 解：（）记事件=从甲箱中摸出的1个球是红球，=从乙箱中摸出的1个球是红球 =顾客抽奖1次获一等奖=顾客抽奖1次获二等奖，C=顾客抽奖1次能获奖.由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且=，=+，C=+.因P（）=，P()=，所以P

9、（）=P()=P()P()=，P（）=P（+）=P（）+P（）=P（）(1- P()+(1- P（）)P() =(1-)+(1-)=，故所求概率为P(C)= P(+)=P（）+ P（）=+=.（）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以XB（3，）.于是 P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=故X的分布列为X0123PX的数学期望为 E（X）=3=.19. 解法1：由题设知，两两垂直。以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为,D(0，6，0),(0，3，6),Q(6，m，0)，其中m=B

10、Q,（1）若P是的中点，则P（0,，3），=(3,0 ,6)，于是=18-18=0，所以，即；（2）由题设知，=(6，m-6,0),=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量.设=（x，y，z）是平面PQD的一个法向量，则，即，取y=6，得=（6-m，6,3）.又平面AQD的一个法向量是=（0，0，1），所以 cos=而二面角P-QD-A的余弦值为，因此.解得m=4，或m=8(舍去)，此时Q（6,4,0）设而,由此得点,所以因为PQ/平面,且平面的一个法向量是，所以，即3-2=0，亦即，从而P（0,4,4），于是，将四面体ADPQ视为ADQ为底面的三菱锥P-ADQ,则其高=4,故四面体A

11、DPQ的体积.解法二 （）如图c，取的中点R，连结PR,BR,因为，是梯形的两腰，P是的中点，所以PR/AD，于是由AD/BC知，PR/BC,所以P,R,B,C四点共面.由题设知，BCAB,BC,所以BC平面,因此BC因为tan=tan,所以tan=tan，因此=，于是BR，再由即知平面PRBC，又PQ平面PRBC，故PQ.（）如图d，过点P作PM/交AD于点M，则PM/平面.因为平面ABCD，所以OM平面ABCD,过点M作MNQD于点N，连结PN，则PNQD，为二面角P-QD-A的平面角，所以cos=，即=,从而. 连结MQ，由PQ/平面，所以MQ/AB，又ABCD是正方形，所以ABQM为矩

12、形，故MQ=AB=6.设MD=t，则 MN=.过点作交AD于点E，则为矩形，所以=6，AE=3，因此ED=AD-AE=3，于是,所以PM=2MD=2t，再由得=，解得t=2，因此PM=4.故四面体ADPQ的体积 .20、解：（1）由:知其焦点F的坐标为（0,1），因为F也是椭圆的一焦点，所以 又与的公共弦的长为2，与都关于y轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为（），所以 ，联立，得=9，=8，故的方程为 ；（2）如图，设A（）B（）C（）D（）.（i）因与同向，且|AC|=|BD|,所以=，从而=，即=，于是-4= -4设直线的斜率为k，则的方程为y=kx+1.由得.而，是这个方程的

13、两根.所以=4k，=-4 ，由得（9+8）+16kx-64=0.而，是这个方程的两根.所以 =-，=-，将带入 ，得16（+1）=+,即16（+1）=，所以=，解得k=，即直线l的斜率为.（ii）由得=，所以在点A处的切线方程为y-=（x-），即 y=-.令y=0得x=，即M（,0）,所以=(,-1).而=().于是=-=+10，因此是锐角，从而是钝角.故直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形.21. 解：（1）其中tan=，0.令=0，由x得x+=mx, 即x=-，m.对kN，若2kx+(2k+1) ,即2k-x0；若（2k+1）x+(2k+2) ,即（2k+1）-x(2k+2) -，则0.因此，在区间（m-1），m-）与（m-，m）上，的符号总相反.于是当x= m-(m)时，取得极值，所以