2013年数学(理)热点专题专练：专题4 三角函数、解三角形、平面向量

1、.专题4三角函数、解三角形、平面向量测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1函数f(x)lgsin的一个增区间为()A.B.C. D.解析由sin0，得sin0，2k2x22k，kZ；又f(x)lgsin的增区间即sin在定义域内的增区间，即sin在定义域内的减区间，故2k2x2k，kZ.化简得kxk，kZ，当k0时，x0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为()A(，0) B(，0)C. D(0,0)解析f(x)2sin(a0)，T1，a2，f(x)2sin，由2xk，kZ，得x，kZ，当k1时，x，故是其一个对称中

2、心，故选C.答案C3已知函数f(x)asinxacosx(a0)的定义域为0，最大值为4，则a的值为()A B2C D4解析f(x)asinxacosxasin，当x0，时，x，sin，由于a0，0,0b，AB，B45.故选C.答案C6在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析cos2，1，化简得a2b2c2，故ABC是直角三角形故选B.答案B7在ABC中，若角A，B，C成公差大于0的等差数列，则cos2Acos2C的最大值为()A. B.C2 D不存在解析角A，B，C成等差数列，AC2B，

3、又ABC180，B60，AC120.cos2Acos2C1(cos2Acos2C)1cos(2402C)cos2C1cos(2C60)60C120，1802C60300，1cos(2C60)，即cos2Acos2C的最大值不存在，故选D.答案D8关于x的方程cos2xsin2x2k在内有两个不同的实数解，则k的取值范围是()A. B.C. D.解析由cos2xsin2x2k，得k(cos2xsin2x)sin，当x时，2x，sin.数形结合可知，当k0则a，b同向，故错误答案C10(2012湖南)在ABC中，AB2，AC3，1，则BC()A. B.C2 D.解析在ABC中，设ABc，ACb，B

4、Ca，则c2，b3，|cos(180B)accosB1，得acosB.由余弦定理得：acosBa，解得aBC.答案A11(2012辽宁)已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()Aab BabC|a|b| Dabab解析因为|ab|ab|，由向量的加法和减法法则可知以a，b为邻边的平行四边形对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以ab.也可直接等式两边平方化简得ab0，从而ab.答案B12.(2012广东)对任意两个非零的平面向量和，定义 .若平面向量a，b满足|a|b|0，a与b的夹角，且ab和ba都在集合|nZ中，则ab()A. B1C. D.解析解法一：bacos

5、，因，cos，又|a|b|0，所以b a1，又b a|nZ，故b a，cos，a bcos2cos2，又因cos，所以a b(1,2)，又a b|nZ，所以a b.解法二(特殊值法)：取|a|，|b|1，则ab，ba，都在|nZ中答案C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上13.如图，ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，则AD的长度等于_解析在ABC中，cosC，C30，由，ADsinC.答案14已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_解析设三边长为a，a4，a8，则120角所对边长为a8，由余弦

6、定理得(a8)2a2(a4)22a(a4)cos120，化简得a22a240，解得a6或a4(舍去)三角形面积Sa(a4)sin12015.答案1515(2011课标)在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_解析由正弦定理，2，得AB2sinC，BC2sinA，则AB2BC2sinC4sinA2sin(18060A)4sinAcosA5sinA2sin(A)，其中tan(为锐角)，故当A时，AB2BC取最大值2.答案216(2011上海)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为_千米解析如图，C180756045.由正弦定理，.得AC

7、.答案三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cosB，b2，求ABC的面积S.解(1)由正弦定理，设k，则.所以即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，化简可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以sinC2sinA.因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理b2a2c22accosB及cosB，b2，得4a24a24a2解得a1，从而c2又因为cosB，且0B，所以sinB.因此SacsinB12.18(本小题满分12分)(201

8、2辽宁)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值解(1)由已知2BAC，ABC180，解得B60，所以cosB.(2)解法一：由已知b2ac，及cosB，根据正弦定理得sin2BsinAsinC，所以sinAsinC1cos2B.解法二：由已知b2ac，及cosB，根据余弦定理得cosB，解得ac，所以ACB60，故sinAsinC.19(本小题满分12分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.(1)若sin2cosA，求A的值；(2)cosA，b3c，求sinC的值解(1)由题设

9、知sinAcoscosAsin2cosA，从而sinAcosA，所以cosA0，tanA.因为0A，所以A.(2)由cosA，b3c及a2b2c22bccosA，得a2b2c2.故ABC是直角三角形，且B.所以sinCcosA.20(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinAsinCpsinB(pR)，且acb2.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围解(1)由题设并利用正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accosB(ac)22ac2accosBp2b2b2b2cosB，即p2cosB.因为0cosB0，所以p0，得，即C，由sinC，得cosC，由a2b24(ab)8，得(a2)2(b2)20，得a2，b2，由余弦定理得c2a2b22abcosC82，所以c1.22(本小题满分14分)(2012黑龙江省哈六中一模)攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图(1)在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所示位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援为了方便测量和计算，现如图(2)A，C分别为两名攀岩者所在位置，B为山的拐角处，且斜坡AB的坡角为，D为山脚，某人在E处测得A，B，C的仰角分别