最新弹性力学与有限元分析试题答案DOC

1、最新弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、 填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力-1-2和切应力。应力及其分量的量纲是L MT 。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7 、已知一点处的应力分量x100 MPa ，y50

2、 MPa ，xy10 50MPa，则主应力1 150MPa， 2 0MPa， 1 35 16 。8、已知一点处的应力分量，x200 MPa， y0 MPa， xy400 MPa，则主应力1512MPa，2-312 MPa，1-37 57。9、已知一点处的应力分量，x2000MPa，y1000 MPa， xy400 MPa，则主应力1 1052 MPa， 2 -2052 MPa， 1 -82 32。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关

3、系式。 分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还

4、应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续， 就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。119、在有限单元法中，单元的形函数Ni 在 i 结点 Ni =1；在其他结点 Ni =0 及 Ni =1。20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法： 一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。二、判断题 （请在正确命题后的括号内打“” ，在错误命题后的括号内打“” ）1、连续性假定是指

5、整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（）2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（）3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。（）4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。（）5、如果某一问题中，zzxzy0 ，只存在平面应力分量x ， y ， xy ，且它们不沿 z方向变化，仅为 x， y 的函数，此问题是平面应力问题。 （）6、如果某一问题中，zzxzy0，只存在平面应变分量x ， y ， xy ，且它们不沿 z方向变化，仅为x， y 的函数，此问题是平面应变问题。 （）7、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为

6、平衡微分方程。（）8、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。（）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（）11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。（）12、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。（）13、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。（）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（ ）三、简答题1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，

7、也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确， 并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。2、简述弹性力学的研究方法。2答：在弹性体区域内部， 考虑静力学、几何学和物理学三方面条件， 分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立

8、平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？答：弹性力学中正应力用 表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用 表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方

9、向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有x ，y ，xy 。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u 和 v5、简述圣维南原理。如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相

10、同，对于同一点的主矩也相同） ，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力， 从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。7、以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量。（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。（3）应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。（4）应用物

11、理方程，由单元的应变求出单元的应力。（5）应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。（6）应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。（7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。8、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？3答：为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件： （1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变； （3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。9、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是本

12、单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移。10、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？答：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的， 即所谓变量应变； 另一部分是与位置坐标无关的， 是各点相同的，即所谓常量应变。而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为

13、应变的主要部分。因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。11、在平面三结点三角形单元中，能否选取如下的位移模式并说明理由：（1） u(xy12x 2y ，v( x, y) 45 x6 y2, )3（2） u(x, y)1 x22 xy3 y 2 ， v(x, y)4 x 25 xy 6 y2答：（1）不能采用。因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项；对坐标 x，y不对等；在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。（2）不能采用。因为，位移模式没有反映刚体位移和常量应变项；在单元边界上的连续性条件也不满足。四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量

14、存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1）xAxBy ， yCx Dy ，xyEx Fy ；（2）x(2y2 ) ，y B( x22)，xy Cxy；A xy其中， A，B，C， D， E，F 为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（ 1）在区域内的平衡微分方程xyx0xy22；（2）在区域内的相容方程0；（ ）在边界上的应力xyx2y23yxy0yx4边界条件lxm yx smyl xy sffxys；（4）对于多连体的位移单值条件。s（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。（2）

15、为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量 x Qxy2 C1 x3 ，y23 C2 xy2 ， xy C2 y3 C3 x 2 y ，体力不计， Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程xyx0xyyxy0yx得2222Qy3C1x3C 2 yC 3 x0即223C1 C 3 xQ 3C 2 y0由 x， y 的任意性，得3C1 C 3 0Q 3C 2 03C 2 2C3 0由此解得，QQQ， C23 ， C 3 2C1 63

16、、已知应力分量 xq ， yq ， xy0 ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量x q ，y q ， xy 0 ，代入平衡微分方程xyx0xXyyxy Y0yx5可知，已知应力分量xq ，yq ， xy0 一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：222y 2 (y )x2 (x ) 2(1 )xyxyx y将已知应力分量xq，yq ， xy0 代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：2222xy2 (y )2 (yxxyx )x y111将已知应力分量xq，yq ， xy0 代入上式，可知满足相容方

17、程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。（1） xAxy ，yBy3 ， xy C Dy 2 ；（2） xAy2 ，yBx2 y ， xyCxy ；（3） x0 ， y0 ， xy Cxy ；其中， A，B，C， D 为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即222xyxyy 2x 2x y将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2） 2A 2By C （1 分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（3）0=C；这组应力分量若存在， 则须满足： C=0，则x0 ， y0， xy 0（1 分）。5、证

18、明应力函数by2 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b 0 ）。h/2Oxh/2l/2l/2y6解：将应力函数by2代入相容方程444x42x2y2y40可知，所给应力函数by2 能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为222x2 2b ，yx20 ， xy0yx y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边， yh ， l0 ， m1， f x(xy )yh0 ， f y(y )h0 ；22y2下边， yh ， l0 ， m 1， f x (xy )h0 ， f y ( y )h0 ；2y2

19、y2左边， xl ， l1， m0 ， f x(x )l2b ， f y( xy )l 0 ；2x2x2右边， xl ， l1， m 0， f x (x )l2b ， f y ( xy )l0 。2x22x可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数by 2 能解决矩形板在 x 方向受均布拉力（ b0）和均布压力（ b0）的问题。6、证明应力函数axy 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a 0 ）。h/2Oxh/2l/2l/2y解：将应力函数axy 代入相容方程444x42x 2 y 2y 4 07可知，所给应力函

20、数axy 能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为222x2 0， yx2 0 ， xyayx y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边， yh ， l0 ， m1， f x(xy )ha ， f y(y )h0 ；2y2y2下边， yh ， l0 ， m 1， f x (xy ) yha ， f y (y ) yh0 ；222左边， xl ， l1， m0 ， f x(x )l0 ， f y(xy )xla ；2x22右边， xl ， l1， m 0， f x (x )l0 ， f y ( xy )la 。2x22x可见，在左右

21、两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数axy 能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。Ox 解：根据结构的特点和受力情况， 可以假定纵向纤维互不挤压，b即设x 0 。由此可知gq2y 2 0x将上式对 y 积分两次，可得如下应力函数表达式x, yf1 (x) yf 2 (x)将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得yd 4 f1 ( x) d 4 f 2 (x)ydx0dx44这是 y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y 值都应该满足它），可见它的系数

22、和自由项都应该等于零，即d 4 f 1 ( x) 0 ，d 4 f 2 ( x)0dx 4dx 48这两个方程要求f 1 ( x)Ax3Bx2 Cx I ，f2 (x) Dx 3Ex2Jx K代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得y( Ax3Bx2Cx)Dx 3Ex 2对应应力分量为2xy 202yy(6Ax2B) 6Dx2Egyx223Ax2xyx y2Bx C以上常数可以根据边界条件确定。左边， x 0 ， l1， m0，沿 y 方向无面力，所以有( xy ) x 0 C 0右边， x b ， l 1， m 0，沿 y 方向的面力为 q，所以有(xy ) x b

23、3Ab22Bbq上边， y 0 ， l 0 ， m1 ，没有水平面力，这就要求xy 在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即b( xy ) y 0 dx00将 xy 的表达式代入，并考虑到 C=0，则有b2 2Bx)dxAx3Bx20bAb3Bb20( 3Ax0bxy ) y 0 0dx 0 自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，y 在这部而(这就要求0分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即by ) y 0 dx 0 ，by ) y 0 x d x0(00将y 的表达式代入，则有b2Ex 0b3Db 22Eb 0( 6Dx 2E) dx 3Dx 20bEx20b2Db 3Eb20(6Dx

24、 2E) xdx 2Dx 30由此可得Aq2 ， B q ， C 0 ， D 0 ， E 0bb9应力分量为x 0 ,y2q y 1 3 xgy ,xyq x3x2bbbb虽然上述结果并不严格满足上端面处（ y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离 y=0 处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为f xV ， f yV，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，xy222xy 2 V ，yx 2 V ，xy，试导出相应的相容方程。x y证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x ， y ， xy应当满足

25、平衡微分方程xyxV0xyx（1 分）Vyxy0yxy还应满足相容方程22x 2y 2xy22x2y2xy1 f x f y （对于平面应力问题）x y1 f x f y （对于平面应变问题）1x y并在边界上满足应力边界条件（ 1 分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为xVyx0xyyVxy0yx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为xVyxxy根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得AAx V，yxyx同样，将第二个方程改写为10y Vxyx（1 分）y可见也一定存在某一函数B（x，y），使得y VB，Bxyxy由此

26、得ABxy因而又一定存在某一函数x, y ，使得A， Bxy代入以上各式，得应力分量222xy2V ，yx2V ， xyx y为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数x,y必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得222222x2y2y2 Vx2V1x2y2V22222222x2y2y2x22x2y2 V 1x2y2 V简写为4(1)2V将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得2222122y2 Vx2 Vy 2 Vx 2y 21x 222222212222 V2 Vx2y2y2x22y1x2yx简写为41 22V19、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密

27、度为，试用纯三次的应力函数求解。11Oxgy解：纯三次的应力函数为ax3bx2 y cxy2 dy3相应的应力分量表达式为222xyxf x 2cx 6dy ,yyf y 6ax2by gy ,xy2bx 2cy2x2x y这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。上边， y 0 ， l 0 ， m1，没有水平面力，所以有( xy ) y 0 2bx 0对上端面的任意x 值都应成立，可见b 0同时，该边界上没有竖直面力，所以有(y ) y 0 6ax 0对上端面的任意x 值都应成立，可见a 0因此，应力分量可以简化为x2cx 6dy

28、，ygy ，xy斜面， y xtan， l cossin， mcos2lxmyxyxtan0mylxyyxtan0由第一个方程，得2cx6dxtan sin 2cxtan cos4cxsin对斜面的任意 x 值都应成立，这就要求4c6d tan0由第二个方程，得2cycos ，没有面力，所以有6dxtan sin02cxtansingxtancos2cxtansingxsin012对斜面的任意 x 值都应成立，这就要求2ctang 0（ 1 分）由此解得c 1gcot （ 1 分）， d1 gcot 223从而应力分量为xgxcot2 gycot2,ygy ,xygycot设三角形悬臂梁的长为

29、l ，高为 h，则 tanh 。根据力的平衡，固定端对梁的约束l反力沿 x 方向的分量为0，沿 y 方向的分量为1glh 。因此，所求x 在这部分边界上2合成的主矢应为零，xy 应当合成为反力1 glh 。2hdyhgl cot2 gycot2dyglhcotgh2 cot 200xx l0hh1gh 2 cot1 glh0xyx ldygycotdy022可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为1 ，液体的密度为2 ，试求应力分量。O2g1gyx 解：采用半逆解法。 首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。