试题资料[试题资料]【分享】几道规律变速问题的奥数题(行程问题)及有趣的往返接多人的行程问题

1、试题资料【分享】几道规律变速问题的奥数题（行程问题）及有趣的往返接多 人的行程问题1、甲、乙两人在一个360米的环形跑道上跑步，他们以同样的速度在某处相背出发。乙始终匀速跑步，甲每跑72米，速度翻倍，直至甲乙相遇;第一次相遇后，甲此时的速度开始减半，同时每跑72米速度再减半，直至甲乙再次相遇；第二次相遇时，甲此时的速度翻倍，同时每跑72米速度再翻倍。当他们第三次相遇时，甲共跑了多少米？（原题改编自2013年亚太杯赛4年级） 解：这是一道环形跑道+多次相遇+变速问题。第一次相遇过程:开始：V甲=乙甲行程：72米乙行程：72米甲速度翻倍：V甲=2V乙甲行程：72米乙行程：36米甲速再翻倍：V甲=4

2、V乙甲行程：72米乙行程：18米此时总行程342米，离相遇18米，甲速再翻倍,V甲=8V乙 甲行程:16米乙行程：2米两人第一次相遇：甲行程 72*3+16=232米，乙行程72+36+18+2=128米。第二次相遇过程:甲速度减半：V甲=4V乙甲行程:72米乙行程:18米甲速度再减半：V甲=2V乙甲行程:72米乙行程:36米甲速度再减半：V甲=V乙甲行程:72米乙行程:72米此时总行程342米，离相遇18米，甲速度再减半，2V甲=V乙 甲行程:6 米，乙行程： 12 米 两人第二次相遇：甲行程 72*3+6=222 米，乙跑了 72+36+18+12=138米。第三次相遇过程：（重复第一次的

3、过程）开始：V甲=乙甲行程： 72 米乙行程： 72 米甲速度翻倍：V甲=2V乙甲行程： 72 米乙行程： 36 米甲速再翻倍：V甲=4V乙甲行程： 72 米乙行程： 18 米此时总行程 342米，离相遇18米，甲速再翻倍，V甲=8V乙 甲行程:16 米 乙行程： 2 米两人第三次相遇：甲行程72*3+16=232米，乙行程 72+36+18+2=128米。三次相遇，甲的总行程为：232+222+232=686米。答：当他们第三次相遇时，甲共跑了 686 米。2：丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在 400 米跑道上进行比赛，丁丁的玩 具甲虫每分钟跑 30 米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑 20 米，但乐

4、乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的10% 倒退 1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的 20%倒退 1 分钟，以此 类推，按第N次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的 N*10%倒退1分钟,然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按 多少次次遥控器？（原题出自： 2009 年第七届“走进美妙的数学花园” 初赛六年级） 解： 1、从总体入手，做体时间分析：乐乐的玩具甲虫跑完全程需要 400/20=20 分钟，丁丁的玩具甲虫跑完全程需要 400/30=40/3 分钟，乐乐 要 想取胜， 就必须 使丁丁的 玩具甲 虫因倒退 所耽误 的总时间 超过20

5、-40/3=20/3 分钟。2、抓重点，找到遥控器操作消耗时间规律：乐乐第一次按遥控器后，丁丁耽误的时间为倒退的 1 分钟及跑完这 1 分钟倒退路程所花费的时间， 为 1+10%X1=1.1 分钟；乐乐第二次按遥控器后，丁丁耽误的时间为1+20%X1=1.2分钟；乐乐第 n次按遥控器后，丁丁耽误的时间为 1+n X10%X1=1+0.1分钟。3、 解决 问 题 ：所 以 相 当 于要 使 1.1+1.2+1.3+20/3 ， 由 于1.1+1.2+1.3+1.4+1.5=6.520/3 ，所以乐乐要想取胜，至少要按 6次遥控器思考题：唐老鸭和米老鼠进行 5000 米赛跑米老鼠的速度是每分钟 1

6、25米，唐老鸭的速度是每分钟 100 米唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减 速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入“麻痹”状态 1 分钟， 1 分钟后 米老鼠就会恢复正常，遥控器需要 1 分钟恢复能量才能再使用米老鼠 对“麻痹”状态也在逐渐适应，第 1 次进入“麻痹”状态时，米老鼠会 完全停止，米老鼠第2次进入“麻痹”状态时，就会有原速度 的速度, 而第3次就有原速度 的速度，第20次进入“麻痹”状态时已有原 速度95%勺速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制 了。唐老鸭与米老鼠同时出发，如果唐老鸭要保证不败，它最晚要在米 老鼠跑了多少米的时候第一次使用遥控器 ?(成都实验外国语学校2

7、009年奖学金考试题)(答案：2375)有趣的往返接多人的行程问题(算术方法解答)兄弟四人要去离家10千米的县电影院观看一场9： 00的电影，原来约定朋友开车来接，8： 20时，朋友突然打来电话，说车在路上坏了，无法接人。家里只有一辆摩托车，每次只能带一人(包括骑车人2人)，于是老大立即发动摩托带上人就上路。如果不考虑上、下车及摩托车调头的时 间，那么兄弟四人是否有按时观看这场电影。漏了一行： 已知步行速度每小时 5千米，摩托车每小时 55千米。解答方法后点公布，大家来做呀，接送N人时，如何做？。有点意思。第一问 应该不行 需要47又3/11分钟 到的时候应该 9点多了第二问 如果是n人 用的

8、时间应该是 2-124/ (11n+55 )小时如果是 n 人，那么每个人走的路程是 a=2*L*( n-2)/(2 n-3+x)。总用时间的推导公式， t=x*(2n-3)+1*L/x*v*(2n-3+x)。其中x是速度比，也就是摩托车 /步行的值，此题是 55/5=11。v 是步行的速度，此题是5。L是两地的路程，此题是10。如果n是4的话，代入公式得 t=7/11 ,如果是n人，那么每个人走的路程是a=2*L*(n-2)/(2n-3+x)。总用时间的推导公式，t=x*(2n-3)+1*L/x*v*(2n-3+X)。其中x是速度比，也就是摩托车/步行的值，此题是55/5=11。v是步行的速

9、度，此题是5。L是两地的路程，此题是10O如果n是4的话，代入公式得t=7/11，约为38.2分钟，小于40分钟，因此我对你的结论尚未弄清，但我喜欢类似这种“借题发挥、推到一般”的做法! 引用hyrule (0楼)如果是n人 用的时间应该是2-124/ (1第一问 应该不行 需要47又3/11分钟 到的时候应该9点多了 第二问1n+55 )小时10*6/(6+1)55 + 10*1/(6+1)召全程共9份 其中3份步行10x1/35=2/3小时6份坐车10 K 2/弭5 5=4/3 3小时首先要弄清：属于 一车接几人”的问题?但无论一车接几人，所有被接的人，步行与坐车的时间或路程分别相等，才能

10、保证同时到达且用 时最短。事实上，要证明这一点，非常容易(略)。容易看出，先坐车的人，后步行；后坐车的人，先步行，但 如果将步行路程看成 1份。可得坐车路程为：(k+1)吃份, 用本题中的数据，则为：车速是步行速度的55+5 = 11倍,2人步行路程必相等。(k为车与步行的速度的倍数)， 可求得：坐车路程为 6份，想想为什么？所以，所用时间是：(坐车时间 +步行时间)如果将返回接第二人相遇时，步行路程看成1份，那么步行的人，每人将走 2份（自己证明：为什么每份是一样长）。（11+1）吃=6份，步行2份。根据车与步行速度比，可以得到：每人坐车路程为： 所以，所用时间是：（坐车时间 +步行时间）1

11、0*6/(6+2)55 + 10*2/(6+2)召=7.5 555 + 2.5 弋 =3/22+1/2 =7/11 （小时）7/11小时=38又2/11分钟，小于40分钟，故可以按时观看电影。12拓展：对于一车接 N人而言，如图3:第一个坐车的人，而中间坐车的人，很有意思：第一个坐车的人，孤独地走第一段，其他人结伴而行; 当第二个人坐车追上第一人时， 当第三个人坐车追上前二人时，步行全在后面，最后一个坐车的的人, 前后均会出现步行，前面走了步行全在前面；份，则后面小走1份，每人总份数不变。此二人结伴而行;此三人结伴而行;整个过程中，有二个步行队伍,同时到达目的地出发点的队伍人数不断减少，另一队

12、伍人数不断增加。直到最终根据速度之比，仍然可以确定：坐车的路程为6份；步行的路程为：（n 1）份；所以全程共有:6+ （ n 1）份；所以，如果要接 N人，那么所用时间为：（坐车时间 +步行时间） 10*6/6+(n 1)越5+10* (n 1) /6+(n 1)弋12问题之再变：在本题所有数据不变的情况下，作出如下更改：当时老大（大哥）单独骑车来到了电影院。原来三个弟弟准备由朋友开车来接的。到8 : 20时,三个弟弟在家打来电话，说朋友的车坏了，不能接人，请哥哥立即回家接人，哥哥接到电话后， 马上回家，三个弟弟也一同走向电影院。问：四人能否按时观看电影。弓丨用 hongqiaozou （0

13、楼）首先要弄清：属于 一车接几人”的问题？ 但无论一车接几人，所有被接的人，步行与坐车的时间或路程分别相等，才能保证同时到达且用时最短。事实上，要证明这一点，非常容易（略）。计算本题之前，先看看最简单情况，即一车接2人的问题，那么如何算？如图 1 :图片容易看出，先坐车的 学习体会本题（本类）问题的切入点是“步行与坐车的时间或路程分别相等，才能保证同时到达且用时最 短。”，这是我本帖读后的一个重要收获。我对“行程问题”不多涉足，故不擅长。或反过来说也行。这道题，我也考虑了一下，现在一对照，我知道了我的方法不对。我的方法是：把“第一个”送到电影院了，再回去接第二人，再 送到后，再回去接最后一人。

14、现在一看，当然用时多了。顺便说说，“才能保证同时到达且用时最短。”是否改为“才能保证同时到达从而用时最短。” 为好？这样，明确了“同时到达”是“用时最短”的原因，这就找到了解题的切入点。在上面问题的基础上，多车接多人，应该如何用算术方法来做呢？（注：上面虽然共 4人，实为1车接3人）多车接多人，可以分为两种情况：1、如果被接的人数是车的倍数，仍然可以转化为1车接多人。如：3车接9人，只要分成三组，每车负责接3人，这很好理解。这就与上面的问题是一回事了。2、如果被接的人数不是车的倍数，才是真正意义上的多车接多人。 如：3车接5人、3车接7人、5车接7人。未a行测数学运算解题常用六大公式之往返运动

15、问题公式往返运动问题公式=2v1v2 / （v1+v2）（ 其中v1和v2分别代表往、返的速度 )相关链接：行测数学运算公式汇总题库：数学运算综合特训通关题库 (必做 900题)【例11 (国家1999-39)有一货车分别以时速40km和60km往返于两个城市，往返这两个城市一次的平均时速为多少 ?()A. 55km B. 50km C. 48km D. 45km 答案 C解析设甲、乙两地间的距离为 S,从甲地到乙地的速度为 v1，从乙地到甲地的速度为 v2，则 往 返 平 均 速 度 为 v=2S/(t1+t2)=2S/(S/v1+S/v2)=2v1v2/(v1+v2)=2 X 40X 60

16、 / (40+60)=4800/100=48。 注释 往返运动问题核心公式： v=2v1v2 / (v1+v2)( 其中 v1 和 v2分别代表往、返的速度 )【例2】一辆汽车以10千米/时的速度从A地开往B地，它又以15千米/时的速度从B地返回A地，则汽车行驶的平均速度为多少千米/小 时?()A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 答案 B 解析 根据往返运动问题核心公式： v=2v1v2 / (v1+v2)=2 X 10X 15/(10+15)=300/25=12 。例 3】 ( 广东 2004 上 -8) 一辆汽车驶过一座拱桥，拱桥的上、下坡路程是一样的。汽车行驶拱桥上坡时的时速

17、为 6公里;下坡时的时速为 12公里。则它经过该桥的平均速度是多少公里 / 小时?()A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 答案 B 解析 根据往返运动问题核心公式： v=2v1v2 /(v1+v2)=2 X 6X 12/(6+12)=8 。例 4】( 江苏 2007B 类-78) 在村村通公路的社会主义新农村建设中，有两个山村之间的公路都是上坡和下坡，没有平坦路。农车上坡的速度 保持 20 千米/小时，下坡的速度保持 30 千米/小时，已知农车在两个山 村之间往返一次，需要行驶 4 小时，问两个山村之间的距离是多少千米 ?()A. 45 B. 48 C. 50 D. 24 答案 B 解析 根据往返运动问题核心