导数和微分的公式和法则,隐函数求导--复习.ppt

1、1/41,2.4 基本初等函数的导数公式表(要求每一个公式,都能自己推导出来,2/41,2.4 基本初等函数的导数公式表(要求每一个公式,都能自己推导出来,3/41,第二节 求导的基本法则,给定一个函数,如何求导,当函数比较复杂时,用定义计算导数就相当困难.本节给出一些基本的求导法则,有理运算法则,复合函数和反函数求导法则,并在此基础上,给出隐函数和参数方程求导法则,从而使导数的计算系统化、简单化,4/41,Th2.1 （导数的有理运算法则）设,在点,处均可导，则它们的和差积商在x点也可导，且,2.1 函数和、差、积、商的求导法则,5/41,或,则复合函数,Th2.2 (链式法则,或,2.2

2、复合函数的求导法则,6/41,二、 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,C 为常数,分别可微,的微分为,一阶微分形式不变性,5. 复合函数的微分,则复合函数,7/41,2.6、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,由,表示的函数 , 称为显函数,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化,函数为隐函数,则称此,隐函数求导方法,利用链式法则, 两边对 x 求导( 注意 y = y(x),含导数 的方程,8/41,例2.13 幂指函数的导数,9/41,2.5高阶导数,我们知道速度函数 v(t) 是位移函数 s(t) 的导数, v(t)=

3、s(t) 而加速度 a(t) 是速度 v(t) 的导数, a(t)=v(t),定义2.1设函数 f :IR可导如果它的导函数,处可导,则称 f 在 x 处,二阶可导,处,f 在 I 上 n 阶可导, f (n)称为 f 在 I 上的 n 阶导函数,的导数称为 f 在 x 处的二阶导数,记作f (x)=(f)(x,若 f 在I上,y=f (x)的 n 阶导数简记为 y(n)或,叫作s(t)对t的二阶导数记作a(t)=s(t,故a(t)=v(t)=s(t,处处二阶可导,则称,f 在 I 上二阶可导,f 称为 f 在 I 上的,二阶,导函数,一般地,若 f 的 n-1 阶导函数 f (n-1):IR

4、在 x I 可导,则称 f 在 x 处 n 阶可导,f (n-1) 在 x 处的导数称为 f 在 x 处的,n 阶导数,记作f (n)(x)=(f(n-1)(x,若 f 在 I 上处处 n 阶可导,则称,简称n 阶导数,10/41,二阶导数与高阶导数,11/41,例2.14证明下列函数的 n 阶导数公式,12/41,定理2.4,设函数 u,v 都是 n 阶可导的，则,与 uv 也是 n 阶,可导的，而且有,1) 线性性质,2) Leibniz 公式,13/41,例2.11 证明,例2.12 设,14/41,基本初等函数的导数公式,15/41,求导法则,1。和差积商的求导法则,2。复合函数的链导

5、法则,3。反函数的求导法则,常用公式,前面的导数表，十几个导数公式,16/41,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,A 为不依赖于x 的常数,则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,17/41,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,18/41,例如,基本初等函数的微分公式 (见 P116表,又如,19/41,例1,求,解,20/41,例2. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容,注

6、意,数学中的反问题往往出现多值性,注意,21/41,三、 高阶微分,定义,若函数,在 I上一阶可导。其微分,若函数在 I 上,二阶可导 ,则可再求微分，得,通常把,dy对！ dy错,dx 为常量，不变,22/41,类似地 , 可以定义三阶微分 ,四阶微分等等,一般地,则定义其在 I 上的n阶微分为,如果函数 n 阶可导,注意：高阶微分没有微分形式不变性,而函数的微分称为 f 的一阶微分,二阶或二阶以上的微分统称为高阶微分,23/41,四、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则,得近似等式,24/41,特别当,很小时,常用近似公式,很小,证明,令,得,25/41,的近似值,解: 设,取,

7、则,例4.求,26/41,的近似值,解,例5.计算,27/41,例6. 有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,g,用铜多少克,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,28/41,2,29/41,5. 设,由方程,确定,解,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,则,30/41,1. 已知,求,解：因为,所以,备用题,31/41,已知,求,解:方程两边求微分, 得,2,习题课,32/41,第二节(2,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和参数方程求导,

8、相关变化率,第二章,33/41,2.6、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,由,表示的函数 , 称为显函数,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化,函数为隐函数,则称此,隐函数求导方法,利用链式法则, 两边对 x 求导( 注意 y = y(x),含导数 的方程,34/41,例2.16 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,35/41,解: y 是 x 的函数, 方程两边对 x 求导得,解得,例2.17,求由方程,确定的隐函数,在,处的二阶导数,将 x=0 代入所给方程可得 y