《导数应用》

1、第11课时导数应用,1函数的单调性与导数 在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 如果，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增； 如果，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减； 如果，那么f(x)在这个区间内为常数 【思考探究】1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件,f(x)0,f(x)0,f(x)0,2函数的极值与导数 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数f(x)在任何一

2、点的函数值 x0点的函数值，就说f(x0)是函数f(x)的一个极 值，记作y极大(小)值f(x0)，x0是极大(小)值点 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值,不大于(小于,大(小,3函数的最值 (1)如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值 (2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的 将函数yf(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,连续不断,极值,端点处的函数值f(a)、f(b,思考探究】2.极值点一定是最值点这句话对吗？ 提示：函数的极值表示函数在一点附近的情况

3、，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较函数的极值不一定是最值，最值点也不一定是极值点,答案：B,2函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)() A无极大值点、有四个极小值点 B有三个极大值点、两个极小值点 C有两个极大值点、两个极小值点 D有四个极大值点、无极小值点 解析：设f(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4， 当xx1时，f(x)0，f(x)为增函数， 当x1xx2时，f(x)0，f(x)为减函数，则xx1为极大值点， 同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点，故选

4、C. 答案：C,答案：B,4已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数， 则a的最大值是_ 解析：f(x)3x2a在x1，)上f(x)0， 则f(1)0a3. 答案：3,5面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是_,求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f(x)，令f(x)0，求出它在定义域内的一切实根； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； (4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应

5、小开区间内的增减性 【注意】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间,变式训练】1.设x1和x2是函数f(x)x5ax3bx1的两个极值点 (1)求a和b的值； (2)求f(x)的单调区间,1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f(x)； (3)求方程f(x)0的根； (4)检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点(最好通过列表法)如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值,2010安徽卷)设函数f(x)sin xc

6、os xx1,0 x2，求函数f(x)的单调区间与极值,变式训练】2.已知函数yx33ax23bxc在x2处有极值，且其图象在x1处的切线与直线6x2y50平行 (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值的差,解y3x26x0，得0 x2. 函数的单调递增区间是(，0)，(2，)， 单调递减区间是(0,2) (2)由(1)可知函数在x0时取得极大值c，在x2时取得极小值c4， 函数的极大值与极小值的差为c(c4)4,设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值 (2)将函数yf(x)的各极值

7、与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,2010重庆卷)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数 (1)求f(x)的表达式； (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值,解得m1. 切线l不过第四象限，m1. 由于切点的横坐标为x1，f(1)4.1abc4， c5. (2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4. 令f(x)0，得x2或x . 当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表,利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关

8、系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，根据实际意义确定定义域； (2)求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0得出定义域内的实根，确定极值点； (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值； (4)还原到原实际问题中作答,变式训练】4.某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0 x1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元)

9、 (1)写出y与x的函数关系式； (2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大,解析：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1x)元，月平均销售量为a(1x2)件， 则月平均利润ya(1x2)20(1x)15(元) 所以y与x的函数关系式为 y5a(14xx24x3)(0 x1,1在利用导数确定函数单调性时要注意结论“若yf(x)在(a，b)内可导，且f(x)0，则f(x)在区间(a，b)上是增函数”的使用方法，此结论并非充要条件，如f(x)x3.在(，)上是递增的，但f(0)0；因此已知函数的单调区间求函数关系式中字母范围时，要对f(x)0处的点进行

10、检验,2可导函数极值存在的条件 (1)可导函数的极值点x0一定满足f(x0)0，但当f(x1)0时，x1不一定是极值点如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点 (2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同 3函数的最大值与最小值的理解 最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值与最小的值，在求函数的最值时，要注意以下几点,1)最值与极值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；而最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较，因而

11、在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值,2)最值与极值的求法的区别 在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导的函数f(x)，它的极值可以通过检查导数f(x)在每一个零点两旁的符号来求得而f(x)在a，b上的最大(小)值，则需通过将各极值与端点的函数值加以比较来求得，其中最大(小)的一个即为最大(小)值 (3)当f(x)为连续函数且在a，b上单调时，其最大值、最小值在端点处取得,每年全国及各省市的自主命题中都有导数应用的解答题出现，对导数的考查非常全面，既有选择题、填空题等客观题，又有解答题，通常以解答题为主，并且所占的分值较高常见的考查方式有两种形式，一是直接把导数应用于多项式函数性质的研究，考查多项式函数的单调性、极值、最值等；二是把导数与函数、方程、不等式、数列等相联系，进行综合考查，主要考查函数的最值或求参数的值(或范围,2)在(1,1)上，f(x)是增函数，当且仅当 f(x)4(x1)(3ax23ax1)0， 即3ax23a