概率论与数理统计华工版.ppt

1、姓名：鲍江宏 Tel:87113373 E-mail:,第一章 随机事件与概率,概率论的研究对象 随机事件 事件的关系和运算 频率与概率 古典概型 几何概型 概率的公理化定义,1.1 概率论的研究对象,试验：在标准大气压下，将水加热到100。C。 试验：在静电场中，观察同性电荷的行为。 试验：在地面上信手垂直上抛一石块,特征：只要试验的条件不变，就会出现相应的唯一确定的结果。因此在这些试验中看到的现象称为确定性现象,确定性现象：试验前可以预言其结果的，且在一定条件下，重复进行试验，它的结果总是肯定并且不变的,试验：在相同的条件下，投掷一枚匀质的硬币。观察哪一面向上。 试验：在相同条件下，投掷一

2、颗匀质正六面体的骰子。观察所出现的点数 试验：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命,这些试验具有如下特点： 1）试验可以在相同的条件下重复进行。 2）试验可能出现的所有结果种类已知 3）在未试验之前，不知道下次试验出现的结果，但试验结果必是所有可能结果中的某一个。 具有这些特点的试验称为随机试验,1)从随机试验中观察到的现象称为随机现象。 2)随机试验今后简称为试验。 3)在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质，称为统计规律性,说明,概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性,1.2 随机事件,样本空间：随机试验所有可能结果的集合称为样本空间。常用表示,样本点：样本空间的元素称为样本点，常

3、用表示,试验：投掷一枚匀质的硬币，观察哪一面向上。规定带有国徽图案的是正面。 正面，反面,例1,试验：投掷一颗匀质正六面体的骰子，观察所出现的 点数。 1，2，3，4，5，6 试验：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命 0，+)=xR0 x,试验1和试验2的样本空间只含有有限个元素，称为有限样本空间。 试验3的样本空间含有的元素是无限的，称为无限样本空间,随机事件：样本空间的某些子集称为随机事件，简称事件。常用A、B、C等表示。 在一次试验中，当试验结果事件A时，称这次试验中事件A发生。 否则，当试验结果事件A时，称这次试验中事件A不发生,两种特殊的随机事件,必然事件：样本空间在每次试验

4、中均会发生，故称为必然事件,不可能事件：空集在每次试验中均不会发生，故称为不可能事件,不能再分解的事件称为简单事件或称为基本事件。 由基本事件组合而成的事件称为复合事件。 注意：基本事件是相对的，不是绝对的,基本事件：只含单个样本点的集合称为基本事件或简单事件,也可这样定义,例2,在下列试验中，试用集合表示下列事件,解,出现偶数点=2，4，6,1)、投掷一颗匀质正六面体的骰子，出现偶数点的事件,出现偶数点是一个复合事件。它可分解为更简单的事件， 出现偶数点 =出现点出现点出现点 但上述三事件不能再分解为更简单的事件，是基本事件,2)、从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命。灯泡寿命大于10

5、0小时的事件,解:灯泡寿命大于100小时100,A=“取到黑桃”=黑桃A，黑桃2，黑桃K B=“取到K”=黑桃K，红心K，梅花K，方块KC=“取到黑牌”=黑桃A，黑桃2，黑桃K，梅花A，梅花2，梅花K,小王 D=“取到黑桃K”=黑桃K,例,随机试验E :从一副扑克牌中任取一张牌。 表示下列事件,例3，在一批含有20件正品，5件次品的产品中随机地抽取2件，可能结果如下： A2件全是正品 B只有1件是正品 C2件全是次品 1)、在不计次序的假定下，A、B、C是基本事件 2)、如果考虑次序，B不再是基本事件，它可分解为B1和B2两个基本事件。 B1第1次抽到正品，第2次是次品 B2第1次抽到次品，第

6、2次是正品,一、事件的关系,1、事件的包含,如果事件A发生，事件B一定发生。则称事件B包含事件A。记为,文氏图,例如：B出现偶数点，A出现点,1.3 事件的关系和运算,2、事件的相等,如果事件A与事件B互相包含，即 则称事件A等于事件B。记为：AB,3、事件的互斥,如事件A与事件B不能在同一次试验中都发生（但可以都不发生），则称事件A与事件B是互斥或互不相容的。记为：AB,如事件A1，A2,，An任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的,简称互斥。即有 AiAj=，1i，jn,B,4、事件的对立,所谓事件与事件为对立事件，就是指与不同时发生，但必发生一个。 由定义AB AB 记BA，则BA,例

7、如：出现偶数点，出现奇数点；与互为对立事件,二、事件的运算,1、事件的和,事件A与事件B的和是指事件A和事件B中至少有一个发生。记为AB。 例如：出现点或点，出现点或点；则AB 出现偶数点,当A、B互斥时，AB可记为AB。 n个事件A1，An的和 是指这n个事件中至少有一个发生。 如果事件A1，A2，An两两互斥,则 如果事件A1，A2，An两两互斥,且A1+A2+An，则称这n个事件构成互斥完备群,例如：出现、4、6、点，出现1、点；则与构成互斥完备群,可列多个事件的和事件,2、事件的积,事件A与事件B的积是指事件A和事件B同时发生。记为AB或AB,当A、B互为对立事件时，有：AB，AB,可

8、列多个事件的积事件,例如：出现点或点，出现点或点；则出现2点,例4：设、为任意三个事件，写出下列事件的表达式： 1)恰有二个事件发生。 2) 三个事件同时发生。 3)至少有一个事件发生,解,3、事件的差 事件与事件的差，是指发生，不发生。 由定义AB，AA 例如：出现点或点，出现点或点；则出现点,对于任意三个事件、，满足下列运算： 1)、交换律AB=BA AB=BA 2)、 结合律 (AB)C= A(BC) (AB)C=A(BC) 3)、分配律 A (BC)= ABAC A(BC)= (AB)(AC) 4)、 对偶律,三、事件的运算法则,例5：同时抛掷两颗骰子，以x,y表示第一、第二颗骰子出现

9、的点数， =两颗骰子出现的点数之和为奇数 =两颗骰子出现的点数之差为零 =两颗骰子出现的点数之积不超过 问:(1)-；()BC ；()BC表示什么事件,解,1)表示：满足xy0且xy为偶数。则 BA(1,1)，(2,2)，(3,3)， (4,4)，(5,5)，(6,6,2)C表示：满足xy0且xy20。则 BC(1,1)，(2,2)，(3,3)， (4,4) (3)C表示：满足xy0或xy20。则 BC(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(4,6)，(6,4)，(6,5)，(5,6,例6：在纸牌游戏中，分别以Nk、Ek、Sk、Wk表示北家，东家，南家，西家至

10、少有个“”（已知一副牌中共有个），问下列事件中西家有几个“”,解,1)、W1表示西家至少有一个“”，则 表示西家没有“”。 (2)、N2S2表示北家与南家至少各有两个“”，但一副牌共有个“”，因此，北家与南家各有两个“”。即西家没有“,3)、 分别表示北家、南家、东家没有“”，则 表示北家、南家、东家三家同时没有“”，即西家有个“,提问,答案：西家至少有3个“,1. 4 频率与概率,频率的定义,设事件在次试验中出现了次，则比值r/n称为事件在次试验中出现的频率,概率的统计定义,在同一组条件下所作的大量重复试验中，事件出现的频率总是在区间0，1上的一个确定的常数附近摆动，并且稳定于，则称为事件的

11、概率，记作P(A,1)、非负性 对任一事件有：0P(A)1 2)、规范性 P()=1 3)、可加性 若事件与互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B,概率的性质,对于n个两两互斥的事件A1，A2，An，有 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) 如果构成互斥完备群，则P(A1)+P(A2)+P(An)1,对一列两两互斥的事件A1，A2，An，有,4)、P()0,证明：对任一事件A，AA 则P(A)=P(A)=P(A)P()P()=0,证明,证明,7)、对于任意事件、，有P(AB)=P(A)P(AB,证明,8)、对于任意事件、，有P(AB)=P(A)P(B)P(AB,证明：AB

12、=A+(BAB) P(AB)=P(A+(BAB)=P(A)+P(BAB) =P(A)+P(B)P(AB,小概率原理,若在某试验中，事件A的概率非常接近于零。那么可以实际推断，若进行一次该试验，在试验的结果中事件A是不会出现的。从而实际上可将A看作是（实际）不可能事件。 即：小概率事件在一次试验中是不会发生的,1.5 古典概型,古典概型的随机试验要求满足下两条件： 有限性。只有有限多个不同的基本事件。 等可能性。每基本事件出现的可能性相等,投掷一枚匀质的硬币，观察哪一面向上 在装有5个白球，6个蓝球的盒中随机抽取三个球,在古典概型中，如果基本事件（样本点）的总数为，事件所包含的基本事件（样本点）

13、个数为r(rn)，则定义事件的概率P(A)为r/n。即,古典概率,例：投掷一颗匀质骰子，求事件出现偶数点的概率,解,ei 出现第i点 样本空间U=e1,e2,e3,e4,e5,e6,即n=6 A=e2,e4,e6,即r=3 故,概率计算,例：袋中有三个白球两个红球，从袋中任取两个球，求以下事件的概率： （）取得两个都是白球 （）取得两个都是红球 （）C取得一个白球一个红球,袋中有三个白球，从袋中取两个白球有 种取法。即包含的基本事件个数 。 于是,解：袋中有五个球，任取两个共有 种取法，即基本事件总数,3）袋中有两个红球，三个白球，故从袋中取一红一白有 种取法，包含的基本事件个数 。于是,从袋

14、中取得两个红球，只有一种取法。即包含的基本事件的个数r=1。 于是,例3：某车间有男工人，女工人，现要选三个代表前往先进单位参观学习，问个代表中至少有一个女工的概率是多少,例4、(抽球类型)袋中有a个黄球，个白球，从中接连任意取出k个球(ka+b)，且每次取出的球不再放回去，求第k次取出的球是黄球的概率？ 分析：样本点就是从a+b中有次序地取k个球的不同取法；第k次取出的球是黄球意味着：第k次是从a个黄球中取出一球，再在a+b-1个球中取出k-1个球,解法一,注：本结论说明按上述规则抽签，每人抽中黄球的机会相等，同抽签次序无关,解法二,例5：个质点在个格子中的分布问题。设有个不同质点，每个质点

15、都以概率1/N落入个格子(Nn)的每一个之中，求下列事件的概率： 1) ：指定个格子中各有一个质点； 2)：任意个格子中各有一个质点； 3)：指定的一个格子中恰有(mn)个质点,解：每一个质点可以落入个格子中的任一个，即个质点共有Nn种分布。故基本事件总数为Nn 1)、事件包含的样本点数： 在个格子中放有个质点，且每格有一个质点，共有n!种不同方法；因此，事件包含的样本点数为n! 则,2)、事件包含的样本点数： 选取个格子共有 种不同的方法；在个格子中放个质点，且每格有一个质点，共有n!种不同方法；因此，B事件包含的样本点数为n! 则,3）事件包含的样本点数： 个质点可从n个质点中任意选取，共

16、有种不同方法。余下nm个质点任意放在余下的N1个格子中，共有(N1)nm种不同方法；因此，事件包含的基本事件数为(N1)nm 则,某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大,例6,解,例7（超几何分布,在一批总量为N件的产品中有N1件是次品，N2件是正品。今从中取出n件，求恰有k件次品的概率,解,例8：证明下列命题： ) 若A1与A2同时发生时发生，则有 P(A) P(A1)P(A2)1 2) 若 ，则有 P(A) P(A1)P(A2)P(A3)2,证明,几何概型,平面上有可测的区域G和g，向G中随机投掷一点M，设M必落在G内。 如M落在g内的概率只与g的面积成正比，

17、而与g的位置和形状无关。 这样的随机实验，称为几何概型,1.6 几何概型,向平面区域G内随机投点，则点M落入G内的部分区域g的概率,注意：随机投点是指M落入G内任一处均是等可能的,g,M,G,几何概率,例9：会面问题,已知甲乙两船将在同一天的0点到24点之间随机地到达码头，该码头只有一个泊位。若甲先到达，需停靠6小时后才离开码头。若乙先到达，则要停靠8小时后才离开码头。问这两船中有船需等候泊位空出的概率,解,设甲船到达码头的时刻是x，乙船到达码头的时刻是y，显然0 x,y24,按题意，有y-x6,x-y8,例10：投针问题,平面上画着一些平行线，它们之间的距离等于a,向此平面任投长度为l(la

18、)的针，试求此针与任一平行线相交的概率,解,设x表示针的中点到最近的一条平行线的距离，表示针与平行线的交角。如图 显然0 xa/2， 0 为使针与平行线相交，必须,故所求概率为,1.7 概率的公理化定义,古典概率：试验结果要求有限、互不相容、等可能,几何概率：落入区域G内任一点是等可能的,统计概率：要求作大量重复试验,前面学了三种概率定义，各有其局限性,事件域,由样本空间的一些子集构成的集合F，如果满足如下条件,则称F为一个事件域,F中的元素称为随机事件，为必然事件，为不可能事件,定义在事件域F上的一个集合函数称为概率，如果它满足如下三个条件,概率的公理化定义,1,2,3,对任一事件有：0P(A)1,P()=1,对于n个两两互斥的事件A1，A2，An，有 P(A1+A2+An)=P(A1