2021年中考数学中档题(四)　三角形、四边形中的相关证明及计算

1、中档题型训练(四) 三角形、四边形中的相关证明及计算 纵观近5年贵阳中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题 三角形的有关计算及证明1(2021泰州中考)如图，在ABC中，ABAC，E在BA的延长线上，AD平分CAE.(1)求证:ADBC；(2)过点C作CGAD于点F，交AE于点G，若AF4，求BC的长 新$课$标$第$一$网解:(1)AD平分CAE，DAGCAG，ABAC，BACB，CAGBACB，BCAG，BDAG，ADBC；(2)CGAD，AFCAFG90，在AFC和AFG中，A

2、FCAFG(ASA)，CFGF，ACAG，又ABAC，ABAG，AF是BCG的中位线，BC2AF248.2(2021青岛中考)已知:如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，AEBC，CEAE，垂足为点E.(1)求证:ABDCAE；(2)连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论 解:(1)在ABC中，ABAC，BACB.AEBC，ACBCAE，BCAE.又AD是BC边上中线，ADBC，又CEAE，ADBE90，在ABD与CAE中，ABDCAE(AAS)；(2)ABDE，ABDE，理由如下:由(1)得ABDCAE，AEBD.AEBD，四边形ABDE是平行四边形，

3、ABDE且ABDE.3(2021荷泽中考)如图，点O是ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形；(2)若M为EF的中点，OM3，OBC和OCB互余，求DG的长度 解:(1)点D，G分别是AB，AC的中点，DG是ABC的中位线，DGBC，DGBC.点E，F分别是OB，OC的中点，EF是OBC的中位线，EFBC，EFBC，DG綊EF，四边形DEFG是平行四边形；(2)OBC和OCB互余，OBCOCB90，EOF90，EOF是直角三角形，点M为EF的中点，EF2OM236，DGEF，DG6.4(2

4、021中考预测)如图，已知ABC是等腰三角形，顶角BAC(60)，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF.(1)求证:BECD；(2)若ADBC，试判断四边形BDFE的形状，并说明理由 证明:(1)ABC是等腰三角形，顶角BAC(60)，ABAC，线段AD绕点A顺时针旋转到AE，BAECAD，AEAD，在ABE和ACD中，ABEACD(SAS)，BECD；(2)四边形BDFE为菱形ADBC，BDCD，BEBDCD，在ABE和ABD中，ABEABD(SSS)，EBFDBF，EFBC，DBFEFB，EBFEFB，EBE

5、F，BDEF，BDBEEFFD，四边形BDFE为菱形5(2021龙岩中考)数学活动求重叠部分的面积问题情境:数学活动课上，老师出示了一个问题:如图1，将两块全等的直角三角形纸片ABC和DEF叠放在一起，其中ACBE90，BCDE6，ACFE8，顶点D与边AB的中点重合，若DE经过点C，DF交AC于点G.求重叠部分(DCG)的面积(1)独立思考:请解答老师提出的问题；(2)合作交流:受问题(1)的启发，将DEF绕点D旋转，使DEAB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分(DGH)的面积 解:(1)ACB90，D是AB的中点，DCDBDA，BDCB，又ABCFDE，FDEB，FDEDC

6、B，DGBC，AGDACB90，DGAC.又DCDA，G是AC中点，CGAC84，DGBC63，SDCGCGDG436； (2)如图，ABCFDE.B1，C90，EDAB，AB90，A290，B2，12，GHGD，A290，1390，A3，AGDG，AGGH，点G为AH的中点，在RtABC中，AB10.D是AB的中点，ADAB5，在ADH与ACB中，AA，ADHACB90，ADHACB，DH，SDGHSADHDHDA5. 四边形的有关计算及证明6(2021长沙中考)如图，AC是ABCD的对角线，BACDAC.(1)求证:ABBC；解:(1)在ABCD中，ABCD，BD，BCAD.E，F分别是B

7、C，AD的中点，BEDF，在ABE与CDF中，ABECDF(SAS)；(2)当四边形AECF为菱形时，ABE为等边三角形，四边形ABCD的高为，菱形AECF的面积为2.8(2021莆田中考)如图，AC是矩形ABCD的对角经，过AC的中点O作EFAC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.(1)求证:四边形AECF是菱形；(2)若AB，DCF30，求四边形AECF的面积(结果保留根号) 新*课*标*第*一*网解:(1)O是AC中点，EFAC，AFCF，AECE，AOCO，四边形ABCD是矩形，ADBC，AFECEF，在AOF和COE中，AOFCOE(AAS)，AFCE，AFCFCEAE，四

8、边形AECF是菱形；(2)四边形ABCD是矩形，CDAB，在RtCDF中，cosDCF，DCF30，CF32.四边形AECF是菱形，CECF2，四边形AECF的面积为ECAB22.9(2021荆州中考)如图(1)，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PAPE，PE交CD于点F，(1)求证:PCPE；(2)求CPE的度数；(3)如图(2)，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ABC120时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由 解:(1)四边形ABCD是正方形，ADCD，ADPCDP，在ADP和CDP中，ADPCDP(SAS)，PAPC，PAPE，PCPE；(2)四边形ABCD是正方形，ADC90，CDE90，EDFE90，PAPE，PADE，又ADPCDP，PADPCD，PCDE，PFCDFE，PCDPFCEDFE90，CPE90；(3)CEAP，同(1)易证A