数学选修求曲线的方程.ppt

1、3.1.2求曲线的方程,一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与,1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解,2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,说明,1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解” ，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外,纯粹性,2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏,完备性,定义,一个二元方程 f (x，y) = 0的实数解建立了如下的关系,那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线(图形,复习旧知,新课引入： 我们已经建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。 利用这两个概念，就可以

2、借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成是满足某种条件的点的轨迹或集合，用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程F(x,y)=0表示曲线。 在数学中，建立曲线方程，然后用方程研究曲线的方法，叫做解析法（或坐标法）。 平面解析几何主要研究的问题是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质,知识链接 轨迹和轨迹方程： 如果某条曲线C是由动点M运动产生的，我们就称曲线C是点M的轨迹，曲线C的方程称为M的轨迹方程,注意：“轨迹”、“方程”要区分：求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型,解法一：由已知得,例1 设A、B

3、两点的坐标是(-1, -1)、(3 ,7)，求线段AB的垂直平分线的方程,M,线段的中点坐标为 M(1，3,又,线段AB的垂直平分线的斜率,线段AB的垂直平分线的方程为,即,说明：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决,可是，你们是否想过 x + 2y -7= 0 恰好就是所求的方程吗,例1 设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程,解：设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上 任意一点，也就是点M属于集合 P=M|MA|=|MB,由两点的距离公式，点M所适合的条件可表示为,M,方程x+2y-7=0是线段AB的垂直平分线的方程,下面证明,求解过程说明垂直平

4、分线上每一点的坐标都是方程 x +2y -7=0的解,设点M1 的坐标(x1，y1)是方程x+2y-7=0的解,即 x1+2y1-7=0 x1= 7-2y1,点M1到A、B的距离分别是,即点M1在线段AB的垂直平分线上,综上两个方面,方程x+2y-7=0是线段AB的垂直平分线的方程,M,这样我们就有两种求解方程的方法，解法一借助 直线方程的理论.解法二不借助直线方程的理论，非常 自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想 因此是个好方法,求曲线方程的一般步骤,1）建立适当的坐标系，用 (x，y) 表示曲线上任意一点M的坐标； （建系并设点,2）写出动点满足的关系式(动点的集合); （列式,3

5、）用坐标x,y表示关系式，即列出方程 f(x,y)=0; （代换,4）化简方程 f(x,y)= 0; （化简,5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. （证明,说明,一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5） 可以省略不写，如有特殊情况，可予以说明.根据情况， 也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程,例2 已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程,M,A,B,解：设点M(x,y)是曲线上任意一点， MBx轴，垂足是B，则 |MA|-|MB|= 2,由距离公式，点M适合的条件 可表示为,化简,因为曲线在x轴的

6、上方，y0，虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是 它的图象是关于y轴对称的抛物线，但缺一个顶点,即,为所求的曲线的方程,1. 若条件中只出现一个定点 , 常以定点为原点建立直角坐标系 ; 2. 若已知两定点 , 常以两定点的中点为原点 , 两定点所在的直线 为 x 轴建立直角坐标系 ； 3. 若已知两条互相垂直的直线 , 则以它们为坐标轴建立直角坐标系； 4. 若已知一定点和一定直线 , 常以点到直线的垂线段的中点为原点 , 以点到直线的垂线的反向延长线为 x 轴建立直角坐标系 ; 5. 若已知定角 , 常以定角的顶点为原点 , 定角的角分线为 x 轴建 立直角坐标系 . 由于坐标系的建立不同 , 同一曲线在不同坐标系中的方程也不相 同 , 但它