光波导原理：CH5 耦合模式理论

1、光波导原理Fundamentals of Optical WaveguidesCH5：模式耦合理论（CMT,回忆：折射率dominates,2,三个要点： 给定折射率分布下光纤内电磁场分布的形成过程 非线性效应导致的折射率分布扰动的形成过程 折射率扰动对原电磁场分布的影响过程,某一个特定的折射率分布，就会对应某一种或者几种特定的光的分布和传播方式,三个基本概念： 模式 折射率及其扰动 模式耦合,引子：两个距离接近的波导,3,如果看做是两个独立的波导，那么,芯层折射率为1.5 包层折射率为1.48 芯层厚度为2微米 芯层间隔为6微米 注入频率1.5微米,分别单模工作 两个波导内的模式独立传播，具

2、有相同的有效折射率（1.4893）和模式分布（因为两个波导完全一样） 相互“渗透”到对方波导内，实际上无法独立传播,x（微米,电场分布,对称组合波导的模式,4,如果看做是一个整体的波导，那么,不再是单模波导，原本的单模分裂为两个非常接近的模式（1.4893） 与两个波导的距离有关，当两个波导距离很远的时候， 几乎为零、即两个模式接近“简并,奇对称模式,偶对称模式,有效折射率较小的模式，具有奇对称的电场分布 可以（近似）看成是两个原先对立传输的基模的“反相”合成但原先的基模并非合成波导的横模,有效折射率较大的模式，具有偶对称的电场分布 可以（近似）看成是两个原先对立传输的基模的“同相”合成但原先

3、的基模并非合成波导的横模,注入基模的传输规律：思路,5,问题：从一个波导中注入（原先的）基模，光在组合波导中的传播规律将会何如,求解方法：利用（“组合波导”的）模式的线性组合去合成注入场（初始条件） 组合波导的模式可以（近似）由两个原来的基模合成；因而反过来，原先的基模也可以由组合波导的两个模式（近似）合成,注入基模的传输规律：新模式分解/合成,6,z处的电场横向分布,原先基横模的合成,线性的合成系数是z的函数,原先基横模的传播常数,原先的两个基横模,注入基模的传输规律：原有模式耦合,7,光在“组合波导”内的传输，同样也可以表示为原有模式（包括模式的截面分布和纵向分布！）的组合、及其组合的变化

4、,z,n1,n1,n1,n2,n2,能量从一个模式完全耦合到另一个模式所经历的长度,视角：耦合模理论 vs. 模式分解/合成,8,耦合模理论认为： 折射率沿着波导传输方向发生了静态或者动态的改变，即沿z方向或者t方向不再是均匀分布的了 当理想的波导受到折射率扰动（必须是微扰！）之后，其电磁场分布在任意z或者t、仍然是多个已有模式（横模或者纵模）的叠加，只不过叠加系数随传输方向z或者t发生了改变 原本独立传播的模式之间发生了相互作用（表现为能量上的交换、或者相互调制） 耦合模理论对应的方程，是刻画模式系数随z或者t的改变与折射率微扰的关系,本章只考虑折射率随z方向的静态变化引起的模式间的能量交换

5、,x,y,波导I,波导II,耦合模理论：模型,9,假设： “组合波导”的折射率分布为n（可能沿着z方向有变化） 组合波导内的光场，由两个横模（离散的导波模式）组合而成耦合模理论必须提前假定参与耦合的模式有哪些！ 支持模式I的折射率分布为n1，支持模式II的折射率分布为n2，不随z变化 注意： 支持两个“已有模式”的波导是“假想”的，选择应该使其横模的线性组合尽量与组合波导的电磁场分布吻合（也是提前假定的,耦合模理论：方程,10,从弱导近似下的波动方程出发 组合波导中，电场应该满足波动方程,根据耦合模理论的假定，电场由两个已有横模组合而成，即,电场的截面分布,假设满足“慢变包络近似”，即,耦合模

6、理论：重叠,11,已有模式满足原波导的波动方程,在原波导I处的分布,在原波导II处的分布,注意：原有的两个模式并非正交（在当前的例子中，它们分属不同波导） 处理方法：对横向分布进行积分,耦合模理论：系数,12,其中,两模式的耦合模方程,耦合模理论：系数的含义,13,由于折射率的扰动，模式I在“组合波导”中不再独立传播，因而其复振幅随z发生了变化,弱导近似：nn1n2,归一化,模式I感受到的折射率分布变化，引起有效折射率的改变、传播相移改变,模式II在波导I区域（即波导II感受到的折射率微扰分布）的分布；对应为受微扰影响而耦合到模式I的过程,模式II直接投影到模式I中,耦合模理论：进一步近似,1

7、4,模式II直接投影到模式I中（场重叠），也被称为butt coupling；其耦合机理与完全不同。两者大小比较如下,因而，一般情况下,如果两个模式同向传输、且耦合较弱时，其场重叠非常弱，因而认为c121、近似为零 如果两个模式是同一个波导的两个横模，由于正交性、c12为零；如果两个模式是正反向传输的同一个横模，由于不存在butt couple的现象，因而该耦合系数也为零 总之，一般情况下无需考虑该项，除非耦合是由butt coupling带来的。因而双模式下的耦合模方程可以表示为,即使是微扰，一般的折射率微扰也基本10-4,耦合模方程：物理过程,15,波导I内，模式I随z的变化,波导I处折射

8、率的变化引起其有效折射率的变化，导致模式I的相移移动,波导I处折射率的变化引起模式II的变化，将模式II的功率耦合到模式I中,波导II内，模式II随z的变化,波导II处折射率的变化引起其有效折射率的变化，导致模式II的相移移动,波导II处折射率的变化引起模式I的变化，将模式I的功率耦合到模式I中,折射率的变化引起模式之间的耦合，类似于光遇到折射率突变的界面会受到反射一样；这才是模式耦合的主因，而非butt coupling（场重叠,波矢匹配,例1：两模式的同向耦合,16,耦合模方程的边界条件不同，求解思路也不同 这里考虑两个模式同向传输时发生的耦合，具体应用例子包括双输入、双输出的光耦合器、长

9、周期光纤光栅等,光纤/波导耦合器 耦合发生在两个分离但靠近的波导之间 一般情况下，两个波导是相同的 一般情况下，耦合发生在两个基模之间,长周期光纤光栅 耦合发生在同一个波导内部 一般情况下，耦合发生在基模和某个高阶导波模之间（或者两个高阶导波模之间,边界条件的特点：光从一边注入，从另一边输出；或者可以转化为上述条件的组合,例1.1 光纤/波导耦合器,17,变系数常微分方程组 一般情况下无解析解 可以使用四阶龙格库塔法则方便得到数值解,耦合器的简化方程求解,18,根据B的边界条件假设,假设折射率微扰导致的有效折射率改变为零，即只考虑耦合带来的模式变化（即使非零值也可以通过变量替换去掉,假设耦合系

10、数相同,波矢失配,得到,因而,初始注入到模式I的光功率,耦合器的耦合规律,19,耦合过程是能量守恒的，即只在两个既定的模式之间相互转换 耦合模方程只能处理假定已有的模式,周期性函数：光功率在两个模式之间往复转换 （几乎？）所有同向耦合的特点,耦合系数和波矢失配均对耦合的效率和往复的周期有影响 耦合效率定义为PB/P0的最大值，即,当=0时，耦合效率达到最大值1；与之前的分析相同：=0意味着两个波导是对称的（注意，这里的是已有模式的传播常数，而之前分析中的O/E则是组合波导的,往复周期为,耦合系数越大，功率往复转换的就越快；耦合系数足够小时，光需要接近的长度才能实现耦合，等价于无耦合发生,耦合系

11、数大意味着两个波导相互影响大,耦合导致组合波导的模式分裂更加严重；距离足够远时，奇偶模式基本简并，有限距离传播不会改变合成方式，对应了原模式之间无耦合,波矢匹配：微扰+波动的必然,20,当波矢失配度增大后，耦合效率迅速降低,路径 A,路径 B,相干相长,由于模式间的耦合属于微扰过程，即折射率扰动引起的模式间能量交换在短距离内（波长量级）观察是微乎其微的；明显的能量交换必须依赖微扰在长距离上的累积 由于光的波动特性，累积需要相干相长的条件 波矢匹配是耦合模方程的必然结论,波矢匹配 vs. 失配,21,无论匹配或者失配，模式之间的耦合总是存在的！只不过失配的时候无法将微扰累积、从而得到明显的模式耦

12、合,PA/P0, PB/P0,z/L,波矢失配带来：快速、且小幅度的模式耦合,当B是慢变函数时，快变虚指函数的积分对应了这种情况 非常大的波矢失配对模式复振幅的影响可以忽略 微分方程右侧只保留基带项旋转波近似 等同于慢变包络近似,22耦合器的传输矩阵,22,满足波矢匹配后，单端输入时耦合器的解为,双模式输入时的传递矩阵：注意i带来的90相位移动,耦合臂，90额外相移,90额外相移保证了2*2耦合器的能量守恒：例如，不会出现“1+142”的情况,直通臂，无额外相移,WDM耦合器,23,当耦合器结构固定后，耦合系数与场的重叠情况有关、即与场分布相关；而场分布随着波长缓慢变化着 窄带情况下，耦合器的

13、特性（波矢匹配下，耦合效率是1，因而仅表现为发生完全耦合的长度）基本不变 宽带情况下，发生完全耦合的长度将发生变化,设计耦合器的长度合适，就可以实现不同波段的光的分离（波长解复用器件，双波长使用）一般的耦合器无法实现该功能 反过来，可以将不同波段的光耦合到同一波导内、同时保证（理论上的）无损一般耦合器会有损耗 通常应用在光纤激光器中、实现激光与泵浦光的合成和分离,例1.2 长周期光纤光栅,24,物理过程： 光纤内的各个模式是独立传播的；但由于在纵向存在折射率的变化，某个模式的光就会被“散射”出来；满足一定条件时（模场匹配+波矢匹配），这些光会注入到另一个模式中,同一个波导，n1=n2,组合波导

14、”的折射率n表现为原波导折射率的纵向调制，即,折射率纵向调制的横向分布,条件I：不能为零！但模式之间具有正交性,长周期光纤光栅中的耦合系数,25,例如，LP模式的正交性,均匀的折射率调制横向分布不会产生不同横模之间的耦合,LP模式下,如果要实现不同m阶模式之间的耦合，折射率调制横向分布不能具有对称性,条件II：必须满足波矢匹配，但在这里，同一波导内的不同横模，必然有0,长周期光纤光栅中的波矢匹配,26,非零的只有通过周期性变化的耦合系数来补偿其带来的失配,路径 A,路径 B,相干相长,周期性的微扰得到周期性的模式耦合,与之前波矢匹配的差别： 光纤耦合器要求处处波矢匹配，即对任意的z都相干相长

15、长周期光栅只要求在发生耦合的地方实现波矢匹配，是“离散”的,中间区域没有耦合发生,长周期光栅中发生模式耦合的波长与折射率调制周期的关系表达式,长周期光纤光栅方程,27,由于是周期性函数，因而利用其傅里叶级数表示为,这里假设为实数；复数同样结论,傅里叶级数一般会是复数（其相位具有含义,根据波矢匹配的数学要求，虚指数项必须为零；在给定光栅周期情况下，我们只考虑满足=2/（即m=1）的光波长附近（一般傅里叶级数随着m的增大而减小,失谐，同之前的,类比：面光栅,假设0,慢变包络近似 & 旋转波近似,长周期光纤光栅应用,28,长周期光纤光栅能够在不同模式之间产生耦合，应用I即模式转换,长周期光纤光栅的波

16、矢匹配条件与波长直接相关，满足波矢匹配的光会被耦合到其它模式中、而其它波长的光则保留下来，因而可以做带阻的滤波器（应用II,波矢匹配处实现最高的耦合效率（损耗,透过率,模式II透过率,失谐增大，导致透射率迅速下降,长周期光栅透射谱带宽,29,透过率,模式II透过率,第一透射点距离中心频率（最低透射处的频率,中心频率（最低透射处的频率）满足=0，即,或者,中心波长,折射率微扰的周期波长，被称为“长周期”光栅,长周期光纤光栅的带宽一般都很宽（相比于短周期光栅，见后,传感：应用III，灵敏度要高于短周期光栅,例2：两模式的反向耦合,30,耦合模方程的边界条件不同，求解思路也不同 这里考虑两个模式反向

17、传输时发生的耦合，典型应用实例是光纤布拉格光栅（也被称为短周期光纤光栅,短周期光纤（布拉格）光栅 耦合发生在同一个波导内部 耦合可以发生在正反向传输的基模间、或者正反向传输的任意导波模之间、或者导波模与反向辐射模之间（倾斜光栅） 正向传输的光不断感受到纵向折射率的变化、从而发生反射；满足波矢匹配（布拉格条件）后即形成明显的反射光,边界条件的特点：光从一端或者两端注入，同时又从两端输出 本课程以正反向传输的基模间耦合为例介绍,布拉格光栅的耦合系数,31,正反向传输，模场截面分布一样 但坡印廷矢量反向,光纤布拉格光栅的典型制作方法：相位模板法,基本可以保证折射率微扰在光纤截面的分布均匀，即可近似认

18、为,不同于长周期光纤，布拉格光栅的折射率微扰横向分布对耦合有无影响不大,折射率纵向调制的横向分布,也可以这样理解：虽然折射率变化对正反向是相同的，但反向传播常数为负值（即相位随z增加是衰落的,布拉格光栅的波矢匹配,32,正反向传输，因而传播常数应该符号相反，1=-2,与长周期光栅类似，正反向波矢之间的失配必须通过结构的周期性补偿！ 正反向波矢的失配远大于同向传输的失配，因而折射率微扰的周期也远大于长周期光栅,路径 A,路径 B,相干相长,中间区域没有耦合发生,布拉格光栅的耦合也是“离散”的,布拉格条件,布拉格波长,回忆：布拉格条件,33,输出端依复振幅叠加：达到最大值要求各个反射光相位一致,布

19、拉格光栅方程：近似,34,周期性变化的折射率调制,折射率微扰一般都是“准周期”的，因而用带通信号表示,慢变包络近似 & 旋转波近似,只保留m=1项,布拉格光栅方程：标准形式,35,一阶光纤布拉格光栅方程,直流耦合系数,交流耦合系数,长周期光栅方程,差别仅在这个正负号上,So what,与之前方程形式的差别：将波矢失配体现在直流耦合系数中（之前的方程也可以做类似变量替换）；失配与频率相关,布拉格光栅的传递矩阵,36,耦合系数均为常数,其中,均匀光栅,矩阵函数，对角化即可求解（Matlab的expm支持该运算,散射矩阵,正向反射率,反向透射率,正向透射率,反向反射率,非均匀光栅等效为N段均匀光栅的

20、级联,又见）传输矩阵方法,均匀布拉格光栅的反射谱,37,满足布拉格条件的光会被光栅反射，而不满足的则会透射，因而会形成反射谱 正向反射率、透射率为,为零处、即完全满足波矢匹配的波长，此处反射率达到最大值,两个反射谱零点之间的距离，反映其带宽,布拉格频率,反射群时延谱,具有非平坦的群时延，中心频率处达到最小值,fB处反射率、带宽、群时延,交流耦合系数,反射率饱和（1,带宽增加,群时延下降,短周期（反向耦合，反射谱）与长周期（同向耦合，透射谱）差别很大： 反射率具有饱和特性（长周期：往复耦合） 带宽随交流耦合系数增大（长周期：仅受长度影响） 群时延下降（长周期：不变,反向耦合的光空间分布,38,均

21、匀短周期光栅反射谱的特点，来自于反向耦合与正向耦合的能量转换差异性,正向传输光不断被反射,反向传输光不断增强,均匀布拉格光栅内反向耦合过程中，模式间能量转换是“单向”的，因而出现反射率的饱和（最大为1） 当耦合系数不断变大时，带宽会变大、群时延下降vs. 长周期光栅内同向耦合过程中，模式间能量转换是往复的,布拉格波长处光的“渗透”与耦合系数的关系,光的“渗透”与入射频率的关系,渗透减小意味着群时延降低,渗透增大意味着群时延增大,任意折射率调制的布拉格光栅：近似,39,布拉格光栅特性主要体现在其反射谱中。通过设计交流耦合系数，可以得到各种复杂的反射谱（频率响应）潜在应用广泛,反射率很低的时候，可以忽略为零,假设直流折射率调制为零 直流耦合不随z变化,在弱耦合近似下，光纤布拉格光栅的结构和其频响之间是傅里叶变换的关系,光纤布拉格光栅的结构即其冲击响应,均匀光栅的比较,回忆：弱反射下的周期性结构,40,其中,傅里叶变换对,结论：弱反射近似下，周期性结构的反射谱是其耦合系数分布的傅里叶变换,垂直入射,反射谱是周期、分立的，满足,即,或,布拉格条件,波导的布拉格光栅是周期性平面多层薄膜结构的“翻版” 忽略掉“模式”的差别，纵向上两者遵循相同的规律,非均匀布拉格光栅：切趾,41,光纤布拉格光栅的结构即其冲击响应：可以