Chap5比估计与回归估计.ppt

1、比估计与回归估计,主要内容: 5.1比估计 5.2回归估计 5.3分层比估计与回归估计,5.1比估计,1.基本概念,当调查指标仅为,为辅助变量时,在 或 已知时,将总体记为 ，对应样本为,总体比值,进行估计，该估计量称为比值估计量,和分别用,进行估计，称为比（比率）估计量,可用样本的比值,2.性质,可证：对于简单随机抽样，当n很大时,当n很大时， ，代入上式分母中，有,所以，当n很大时 此时,简要证明,对每个样本单元有,对每个总体单元，令,和样本均值分别为,因而,所以，当n很大时,此方差的估计量可采用,或,则其总体均值,类推可得：对于简单随机抽样，当n很大时,例1】例5.3,交通运输统计中有三

2、个重要的指标，即运量、周转量与平均运距，其中平均运距是总周转量除以运量所得的商。为估计公路载货汽车的平均运距，在总体中用简单随机抽样抽取32辆货车，记录每辆车在一个月内的运量xi (单位:吨)与周转量yi (单位:吨公里)，如表所示，试估计平均运距R并给它的90%的置信区间,解,故平均运距的估计值为,为了求此估计的方差估计值，令f1,R的90%的置信区间为,3.比估计与简单估计的比较,比估计优于简单估计的条件是,简单估计的估计方差,比估计的估计方差,回归估计,对于简单随机抽样，总体均值和总量的（线性）回归估计量分别定义为,当 时的回归估计量称为差估计量,当 时,其中可以是：(1)事先设定的常数

3、,2)从样本中计算得到的某一特定统计量，如样本回归系数,几种特殊情况,当 时，则,即为简单估计量,即比估计量,回归估计的性质,为设定常数时,是 的无偏估计.可视 为 的样本均值,由于样本方差 和协方差 是总体方差 和协方差,因此 的一个无偏估计是,令是设定常数，易证回归估计量,由简单估计量的方差公式,的无偏估计,可证 取对的总体回归系数时， 取得最小值,为样本回归系数 时,总体回归系数一般未知，常用其样本回归系数b估计,可证:当n大时，以 估计 近似无偏的；其均方误差,此时总体均值的回归估计为,可用下式进行估计,的一个近似估计式为,近似为理论上的最小值，即,回归估计与简单估计和比估计的比较,当

4、n大时，回归估计的方差为 而简单估计的方差 而 ，故有 当样本量n大时,比估计的方差近似为 回归估计量优于比估计量的条件为,例2,某系统共有N=687个单位，为预计当年全系统的工资总量，用简单随机抽样抽取一个n=26个单位的样本，下表是这些单位当年击伤一年工资总额数。已知上一年全系统工资总额为70523.16万元。试采用比估计和回归估计法（ 取样本回归系数b）两种方法估计当年全系统的工资总额及估计的近似标准差,解： 方法：比估计,方法：回归估计法,样本回归系数为,作为比较，的简单估计量为 比估计的设计效应 回归估计法的设计效应,5.3分层比估计,将比估计的思想和技术用于分层随机样本，有两种可行

5、的方法： 一种是先对每一层使用比估计，然后进行加权平均，得到整个总体的估计量的比估计，这种方法称为分别比估计； 另一种是对两个指标和各自都作分层简单估计，然后用它们构造比估计，这种方法称为联合比估计（或组合比估计,分别比估计（separate ratio estimator,对分层简单随机样本，若各层均值采用比估计，则总体均值的分别比估计定义为 当 都比较大时， 是近似无偏的,且其均方误差近似为 该方差的一个近似无偏估计为,联合比估计（combined ratio estimator,对分层简单随机样本，先求两个指标和的总体均值的分层简单估计： 则总体均值的联合比估计定义为 当n比较大时， 是

6、近似无偏的，且其方差近似为 方差的近似估计为,3.两种比估计的比较（适用场合,注意式中在比估计适用的场合都比较小 结论： （）当每层的 时，两种比估计效果一样。 （）每一层的样本量 都比较大，每层的与相关系数 较大，且 相差较大时，分别比估计优于联合比估计。 （）仅当层数较多，而某层样本量不够大时，才采用联合比估计,分层回归估计,对于分层随机样本，也有两种形式的回归估计: 一种是先对每一层使用回归估计，然后进行加权平均，得到整个总体的估计量的回归估计，这种方法称为分别回归估计； 另一种是对两个指标和各自都作分层简单估计，然后用它们构造回归估计，这种方法称为联合回归估计（或组合回归估计,分别回归

7、估计,对分层随机样本，总体均值 的分别回归估计定义为 （）当i事先取定时，该估计量为无偏估计量，且其方差为 可证当h取 时，方差达最小值,当h不能事先取定时,h通常取为 此时当各层的样本量nh很大时，以分层回归估计量是近似无偏的；其方差近似为 它的一个近似估计为 式中样本残差方差,联合回归估计,对分层随机样本，先求两个指标的总体均值的分层简单估计： 则总体均值的联合回归估计定义为 （）当事先取定时，该估计量为无偏估计量，且其方差为 可证当取 时，方差达最小值,当不能事先取定时,通常取为从样本中计算得到的 此时当总样本量n很大时，分层回归估计是近似无偏的；其方差近似为理论上的最小值，即 它的一个

8、近似估计为,3.两种回归估计的比较（适用场合,分别回归估计的最小方差为 联合回归估计的最小方差为,由此可知： （）当每层的 时，两种回归估计效果一样。 （）每一层的样本量 都比较大，每层的与相关系数 较大，且 相差较大时，分别回归估计优于联合回归估计。 （）仅当层数较多，而各层样本量不够大时，才采用联合回归估计,式中,例】 （冯例.,已知某市年年底中央直属单位（）专业技术人员总数人，市属单位（）专业技术人员总数人，欲通过抽样调查，估计年年底全市专业技术人员的总数抽样按中直单位与市直单位分层随机抽取，前者抽n1=15个单位，后者抽n2=个单位，数据如下表. 对上述数据按分别比估计、联合比估计、分

9、别回归估计、联合回归估计四种方法对年年底全市专业技术人员的总数作出估计，并给出各估计量的精差,解：先将样本数据计算得到的中间结果列如下表,分别比估计,联合比估计,3) 分别回归估计,4) 联合回归估计,与分层简单估计进行比较,4.5各种估计量的比较与选择（小结,比估计与简单估计的比较：在有辅助变量时，若的变异系数与的变异系数相当，且相关系数大于1/2时，比估计比简单估计更优 回归估计与简单估计的比较：在大样本下，除非相关系数c =0，否则回归估计优于简单估计,4.5各种估计量的比较与选择（小结,比估计与回归估计的比较： 在大样本下，除非与的总体回归系数B=R，否则回归估计优于比估计 小样本时，考虑总的偏差，比估计可能比回归估计更优 分别估计与联合估计的比较： 对分层抽样，当每一层的样本量nh都比较大，每层的与相关系数h较大，且Bh或Rh相差较大时，分别估计优于联合估计，无论是比估计还是回归估计。 对分层抽样，仅当层数较多，而各层样本量不够大时，才采用联合回归估计,本章公式汇总（总体均值情形,本章公式汇总（总体均值情形,本章公式汇总（总体均值情形,作业： 5.4(1