四、 正应力分析

1、弹性杆件横截面上的 正应力分析,第4章,1、与应力分析相关的截面图形几何性质,2、平面弯曲时梁横截面上的正应力,3、斜弯曲时梁横截面上的正应力,4、弯矩与轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,第4章 弹性杆件横截面上的正应力分析,5、基于最大正应力的强度计算,与应力分析相关的截面图形几何性质,1、横截面面积 常见的横截面有： 矩形 a = hb ; 圆形 a = r,b,h,r,2、静矩、形心 截面面积对轴的矩称为静矩： 图形几何形状的中心称形心,3、惯性矩、极惯性矩、惯性半径 惯性矩- 惯性半径- 极惯性矩,与应力分析相关的截面图形几何性质,4、常见形体的惯性矩、极惯性矩 a、矩形截面的惯性矩

2、 b、圆形截面的惯性矩 c、圆环截面的惯性矩,与应力分析相关的截面图形几何性质,b,h,d,y,z,y,z,d,y,z,d,d,d、圆形截面的极惯性矩 e、圆环截面的极惯性矩 4、形心主惯性矩 图形对形心主轴的惯性矩称形心主惯性矩,与应力分析相关的截面图形几何性质,例4-1、求图中剖面线部分的惯性矩惯性矩 iy ;iz ; 解：由负面积法, iz=h b / 12 h b / 12 = b( h - h) / 12; iy = b h / 12 b h / 12 = b( h - h) /12,与应力分析相关的截面图形几何性质,b,h,z,y,h,小鸟,与应力分析相关的截面图形几何性质,与应力

3、分析相关的截面图形几何性质,1、平面弯曲的概念 梁的对称面：梁的横截面具有 对称轴，所有相 同的对称轴组成 的平面。 形心主轴平面：所有相同的形 心主轴组成的平 面。 平面弯曲：所有外力都作用在梁 的同一主轴平面内， 梁的轴线在该平面中 弯曲成曲线,平面弯曲时梁横截面上的正应力,纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩作用的情况，如梁的bc段。截面上只有正应力。 横向弯曲：梁的横截面上既有剪力也有弯矩，如梁的ab段。因而其上既有正应力也有切应力,平面弯曲时梁横截面上的正应力,c,b,l/5,f,a,l/5,m,f,f,fl/5,f,d,3l/5,fq,fay,fdy,x,x,2、纯弯曲时梁的正应力分析 纯

4、弯曲梁的正应力分析需要三个步骤,平面弯曲时梁横截面上的正应力,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,平面弯曲时梁横截面上的正应力,m,m,中性轴,a、应用平面假设确定应变分布 1） 弯曲梁变形后，梁表面的纵向线弯曲，截面上面缩短、下面伸长、中间长度未变化。根据外表面线条可以确定横截面上面受到压应力；下面受到拉应力；而中间没有应力。我们把中间未伸长的一层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴,2）梁弯曲时的平面假设 梁变形后周边表面的横向线仍然是直线，且垂直于纵向线。我们假定梁的横截面在变形前后仍然保持为平面，只是相对转过一个角度 d 。 3）沿梁横截面高度方向正应力表达式,平面弯曲时梁横截

5、面上的正应力,b、应用虎克定理确定横截面上正应力分布 由虎克定律 将上述应变公式带人得： = e 即：正应力与高度坐标成线性关系 = -e y / 其中 表示该点的曲率半径，它如何表达呢,平面弯曲时梁横截面上的正应力,c、应用静力方程确定正应力公式 由 由,平面弯曲时梁横截面上的正应力,x,将 带人公式 得正应力公式： 正应力与截面上弯矩、中性轴距离成正比； 与截面的惯性矩成反比。应力分布如图,平面弯曲时梁横截面上的正应力,x,d、中性轴在横截面上的位置 中性轴通过横截面的形心，并且垂直于形心主轴。 e、最大正应力公式与弯曲截面模量 对于横截面上正应力最大值 其中 wz = iz / ymax

6、 称为弯曲截面系数,平面弯曲时梁横截面上的正应力,max,max,弯曲截面系数: wz = iz /ymax ; *矩形截面的弯曲截面系数: wz = b h / 6 ; *圆形截面的弯曲截面系数: wz = d / 32 ; *圆环截面的弯曲截面系数,平面弯曲时梁横截面上的正应力,f、梁平面弯曲后轴线曲率的计算公式 公式表明梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。 3、弯曲正应力公式的应用与推广 a、梁上最大正应力位置的判定 需要考虑弯矩分布；横截面形状等因素； b、纯弯曲正应力公式可以推广到横向弯曲 纯弯曲正应力公式在横向弯曲也是近似适用的,平面弯曲时梁横截面上的正应力,平面弯

7、曲时梁横截面上的正应力,例题4-2 受均布荷载简支梁如图,已知梁的截面为矩形b=20mm;h=30mm;q=10kn/m;l=450mm.试求最大弯矩截面b上1、2两点的正应力,l/2,h,b,h/4,z,y,2,1,平面弯曲时梁横截面上的正应力,解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置 mzb = q l / 8; 2、计算正应力 1点的正应力： 为拉伸应力 2点的正应力： 为压缩正应力,m,h,b,h/4,z,y,2,1,l/2,l/2,x,x,平面弯曲时梁横截面上的正应力,200,150,96.4,z,y,50,1,50,例题4-3 丁字截面简支梁受力如图,已知梁的参数： 试求最大弯矩截

8、面上的最大拉应力和最大压应力,l/2,l/2,平面弯曲时梁横截面上的正应力,m,200,150,96.4,z,y,50,1,50,解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置。 mzb=fp l / 4 =16 knm; 2、计算最大弯矩截面上最大正应力 最大拉伸正应力： 位置在梁的下边缘处 最大压缩正应力： 位置在梁的上边缘处。 思考：对于脆性材料，极限拉伸应力小于极限压缩应力，设置上下非对称的横截面并且如此放置，是否最大限 度地发挥了材料的强度潜力,x,mz,max,max,fpl/4,l/2,x,x,斜弯曲时梁横截面上的正应力,1、产生斜弯曲的加载条件 当梁的外力平面与梁的轴线变形平面不共面

9、时，这种弯曲称斜弯曲。如图,fp2,fp1,变形平面,合力作用平面,y,z,斜弯曲时梁横截面上的正应力,2、叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力 当梁的受到外力作用在竖直平面和水平面同时弯曲，梁横截面上的正应力可以应用叠加法确定。如图： 其最大正应力： 公式对于非圆形截面梁都是适用的（圆形截面除外,y,z,c,y,z,c,max,max,斜弯曲时梁横截面上的正应力,圆形截面斜弯曲梁的最大正应力： 例4-4 图示矩形截面梁已知：b=90mm; h=180mm; fp1=800n; fp2=1650n; l=1m; 试求梁内最大弯曲正应力及作用位置,解：1、确定梁截面上的内力分量，梁的内力如图：最大

10、弯矩在固定端处。 mymax = -fp1l ; mzmax = -fp2l ; 2、确定梁根部截面上最大正应力作用点：如图 ,a 点处是两拉应力相加；b 点处是两压应力相加。 3、计算最大正应力,斜弯曲时梁横截面上的正应力,fp1,fa1,may,fq,my,fp2,fa2,maz,fq,mz,x,x,x,x,x,x,z,z,2fp!l,fp2l,a,a,b,b,y,y,max,max,纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，但不重合，这种载荷称为偏心载荷。 将载荷向截面形心简化得到两个内力分量：fnx 0 ; mz0; 其中轴力和弯矩将使梁横截面产生正应力,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力

11、,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,例4-5 图示开口链环由直径d=12mm的园钢制作而成。试求： 1）、链环直段部分横截面上最大拉应力和最大压应力；2）、当链环焊接成闭口状态应力如何,800n,800n,800n,800n,21mm,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,解：1、计算开口链环直段部分横截面上最大应力，受力如图；横截面上弯矩： 横截面上正应力（如图所示,800n,800n,800n,800n,mz,c,max,max,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,课外练习：4-1；4-5；4-9；4-14,2、计算闭口链环直段部分横截面上最大应力，受力如图：横截面上只有

12、拉应力。 比较两种形式链环的正应力大小相差近 22倍,400n,800n,800n,800n,400n,c,课堂练习4-1 图示矩形截面柱，已知：外加载荷fp以及横截面尺寸。 试求 abed 截面上四个角点上的正应力,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,偏心压缩：压力沿轴线方向但与轴线不重合,解：1、确定截面上的内力分量，在abde横截面将柱截开由力的平移定理将力平移到横截面的形心处，内力如图,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力,2、判断最大应力作用位置： 在内力作用下a、e 分别是最大压应力和拉应力作用点 3、计算abde各点的应力，作图,弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力

13、,基于最大正应力的强度计算,1、基于最大正应力的强度条件: max 2、强度计算的主要步骤,a、计算杆件的约束力； b、作杆件的内力图； c、根据内力、横截面、材料等因素确定可能的危险点； d、应用强度条件进行强度计算： 对于塑性材料：max ; 对于脆性材料：max + +; max,基于最大正应力的强度计算,例4-6 图示圆轴ab段是空心的，已知 d = 60mm; d=40mm，尺寸和外力， =120mpa ；试分析圆轴强度是否安全,3kn,5kn,2.93kn,5.07kn,a,c,b,d,300,1000,400,基于最大正应力的强度计算,解：1、作内力图 2、判断可能的危险截面是c

14、、b横截面； 3、计算危险截面上的最大正应力： 4、对轴进行强度校核： 轴的强度是安全的,2.93kn,5kn,5.07kn,3kn,2.93kn,3kn,2.07kn,fq,0.9knm,1.17knm,m,a,c,b,d,基于最大正应力的强度计算,2fp,fp,600,1400,a,c,b,例4-7 由铸铁制作的悬臂梁尺寸如图，fp=20kn,材料的许用应力 试校核梁的强度,200,150,96.4,z,y,50,1,50,c,基于最大正应力的强度计算,解：1、作内力图 2、判断可能的危险截面是a、b横截面； 3、计算危险截面上的最大正应力： 4、对梁进行强度校核： 梁的强度是安全的,20

15、kn,40kn,20kn,20kn,20kn,fq,12knm,16knm,m,a,c,b,16knm,x,mz,x,mz,b截面应力分布,a截面应力分布,max,max,max,max,基于最大正应力的强度计算,例4-8 图示行车梁由32a热轧工字钢制成，已知起吊时重物与 y 轴之间的夹角 =5; = 160mpa ，试校核梁的强度,80kn,80kn,40kn,40kn,a,c,b,z,4000,4000,y,基于最大正应力的强度计算,解：1、将重物的力在z、y轴投影： 2、作内力图 3、查表得32a热轧工字钢的抗弯截面模量 4、计算横截面最大正应力,fpy,0.5fpy,0.5fpy,fpy,79.69knm,fpz,0.5fpz,fpz,6.97knm,基于最大正应力的强度计算,5、最大应力在梁的中间截面的两点如图： 可见 max = 217.8mpa= 160mpa ； 梁不安全。 讨论： 1、两个方向外力作用，正应力如何相加需要作图多练习。 2、当重物的