双曲线习题及答案

1、圆锥曲线习题一一双曲线1.如果双曲线X24y22=1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是(A)迺3(B)迹3(C) 2j6(D) 2j空2.已知双曲线2当=1(a 0,b 0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的b圆的半径是(A)a(B)b(CUab(D) Ja2 +b223.以双曲线計器1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是(C.x2 +y2 -10x +9=0B . x2 + y2-10x +16 = 0x2 +y2 + 10x + 16 =0D . X2 +y2 + 10x + 9=04.2 2以双曲线x -y =2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方

2、程是(A.2 2x +y -4x-3 = 02 2B. x+y -4x + 3 = 0C.2 2x+y +4x -5 =02 2D. x + y +4x + 5 = 05.2 2若双曲线冷-爲=1a2 b23a(a0, b0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准2线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()6.A.(1,2)若双曲线2x2aB.(2,+ 处)C.(1,5)D. (5,+ 处)2卡的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2那么则双曲线的离心率是(A) 3(B) 5(c) 73(D) J 527.过双曲线-每=1(a 0,b 0)的右顶点A作斜率为 T的直线，该直线与双曲线的b两条渐

3、近线的交点分别为 B,C .若AB =丄BC，则双曲线的离心率是 ()k2B. 73c.75D 7102 28.已知双曲线Fi、F2，其一条渐近线方程为 丄 =1(b 0)的左、右焦点分别是2 b2P(V3, yo)在双曲线上.则PF1 ”PF2 =(A. -12B. -2c.D. 4二、填空题9.22X y过双曲线916=1的右顶点为A,右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则 AFB的面积为10.2已知双曲线笃a2-爲=1(a A0,b 0)的左、右焦点分别为F1(c,0), F2(c,0)，若双曲b线上存在一点P使sin P吋2 =a，则该双曲线的离心率的取值范

4、围是 sin PF2F1c11.2X过双曲线 a2y-丄7 = 1(a A 0, b A 0)的左焦点且垂直于X轴的直线与双曲线相交于bM,N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为12.X2 y2已知点P在双曲线 -L =1上，并且p到这条双曲线的右准线的距离恰是p到双169曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P点的横坐标是13.2 2X y已知F1,F2是双曲线 -L =1的两个焦点，PQ是过点F1的弦，且PQ的倾斜角169为a ,那么|PF2 | + |QF2 | - |PQ |的值是14.已知B(-6,0), C(6,0)是ABC的两个顶点，内角 A,B,C满足si

5、nB sinC sinA，则顶点A的轨迹方程是215.过双曲线X2 - y2 =4的右焦点F作倾斜角为1050的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP |FQ|的值为2 2x V16.已知P是双曲线一爲=1上除顶点外任意一点，F1,F2为左右焦点，C为半焦距,a bIJPFrF?内切圆与F1F2切于点M，则I RM | | F2M |的值为三、解答题17.如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD丄AB , P是半圆弧上一点，NP0B =30。，曲线C是满足|MA|-|MB |为定值的动点 M的轨迹，且曲线l1, l2，经过右焦点F垂直C过点P (I)建立适当的平面直角坐标系，求

6、曲线C的方程;(n)设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点 E、F 若 OEF的面积不小于2 J2，求直线I斜率的取值范围.18.双曲线的中心为原点 0 ,焦点在x轴上，两条渐近线分别为于l1的直线分别交l1, I2于A, B两点已知、|0B|成等差数列，且BF与FA同向.(I)求双曲线的离心率;(n)设AB被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.2 219.已知双曲线x-y=2的左、右焦点分别为 F1, F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A, B两点.I T T T(I)若动点M满足FM mRA + RB +FO (其中0为坐标原点)，求点M的轨迹方程;(II )在x轴上是否存在

7、定点C ,使CA CB为常数？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由.22，顶点到渐近线的距20.已知双曲线C的方程为y2ax2 =1(a A0,b a0)，离心率b(1 )求双曲线C的方程;(2)如图，P是双曲线两条渐近线上，且AP =aPB, a引,2，3双曲线习题解答题详细答案选择题:1. A 2. B3. A4. B5. B 6. D7. C 8. C填空题:9.321510.(1,1+72)11. 212.64513.1614.2y927=1 (xc3)15.83|FP 丨 I FQ 戶一3-16.IFM | | F2M Fb217.如图，在以点O为圆心,|AB| = 4为直

8、径的半圆 ADB中，OD丄AB，P是半圆弧上一点， NPOB =30。，曲线C是满足|MA | - |MB |为定值的动点 M的轨迹，且曲线C过点P.(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程;(n)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点 E、F .若 OEF的面积不小于2 J2，求直线l斜率的取值范围.解：(I)以O为原点，AB、OD所在直线分别为 x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则(-2，0), B(2，0)，D(0,2),P ( J3,1)，依题意得=4.I MA I - I MB I = I PA I - I PB I = (2 + 73)2 +12 - J(2 -73)2 +1

9、2 =22 0, b0).则由2 aa +b曲线C的方程为2 ab212=1斂b2解;=422Xy222 2a =b =2,=1.(n )解法1:依题意，可设直线I的方程为y= kx+2，代入双曲线 C的方程并整理得(1-K2)2X -4kx-6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点 E、1 k2 HOk =ak)2+4x6(1-k2)卜0厂k H1L-7 k 242，则有2 压 nk 242 k4-k2-2,解得-应兰| 丘.|l-k2综合、知，直线I的斜率的取值范围为-J2，-1 u(1-,1)u(1, J2).解法2：依题意，可设直线I的方程为y= kx+2,代入双曲线 C的方程并整理,

10、2 2得(1-K ) X -4kx-6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点 E、h k2 H0A =(-4k)2 +4咒6(1 -k2)0ik H1-43 kf3. k(,-1)U( -1 , 1)U( 1,73 ).设E(X1,y1),F(X2,y2),则由式得I2I Xi-X2 I = (Xj +X2) -4x1x2 =272j3-k21 -k21 k2当E、F在同一去上时(如图1所示),OD X1 X22当E、F在不同支上时(如图 2所示).00_ 1Sef = Sdf + Saode= 21OD ( X-i +X2)= OD “-x21综上得Saoef= OD2xi -X2|,于是由

11、I OD I = 2及式,得 Sa oef=2J2C1-k2若 OEF面积不小于2J2即s當EF工2运,则有综合、知，直线丨的斜率的取值范围为-72 , -1 U(-1，1)u( 1, 42).|l-k22血13-k 辽罷二 k4 -k2 m解得-72 k18. (I)设 OA = m d , AB = m , OB = m + d由勾股定理可得:(m -d)2 +m2=(m + d)2l_tanNAOF = , tanNAOB=tan2/AOF aAB 4OA 3由倍角公式”2baGY匕丿，解得:叮则离心率占2 2(n)过F直线方程为- (x-c),与双曲线方程字-計1联立将a =2b ,

12、c= 屈代入，化简有5rx2-8x+21=04b2bX1 x；=(1 + 但気 +X2)2 4X1X2一 2丿L将数值代入，有.竽，解得b = 32 2故所求的双曲线方程为丄=1。36919.解：由条件知 Fd2,0) , F2(2,O)，设 A(x1, y1) , B(x2, y2).T T T= FiA + FiB + FO 得(I)解法一：(I)设 M(x, y)，则 则 FiM =(x + 2, y) , FiA = (x,+2, yi), TTFiB=(X2+2, y2),FO =(2,O)，由 FM豪+2=%+%2+6,x1+x2=x-4,12 即2y=y1+y2畀 + y2=y于

13、是AB的中点坐标为竺兰,.12 2丿y当AB不与X轴垂直时，y1 y； = 一2一X1 - x； x-4_22两式相减得又因为A, B两点在双曲线上，所以X2 y； = 2 , X； y； = 2 ,(Xi X2)(Xi +X2)=(yi y2)(yi +y2)，即(Xi X2)(x 4) =(yi y2)y .将 y； = L(X1 X2 )代入上式，化简得(X 6)2 y2 =4 .x-8当AB与X轴垂直时，X, =X2 =2，求得M (8,0)，也满足上述方程.所以点M的轨迹方程是(X-6)2 y2 =4.IX1 + x； = X 4 解法二：同解法一的(|)有4M 中 y； = y当A

14、B不与X轴垂直时，设直线 AB的方程是y =k(x-2)(k H1).代入 x2-y2 =2 有(1-k2)x2 +4k2x-(4k2 +2) =0 .则X1,X2是上述方程的两个实根，所以X1+X2=k -1f 4k2) 4kk2 1% +y2 =k(X1+X2 -4) = k| -4这-1丿由得x-4卓k2 -14ky当k工0时,y H 0，由得，X 4=k，将其代入有y,X -44xy _ 4y(x-4)(X-4)21 (x-4)2-y221y.整理得(x-6)2 -y2 =4 当k =0时，点M的坐标为(4,0)，满足上述方程.当AB与x轴垂直时，x, =X2 =2，求得M (8,0)

15、，也满足上述方程.2 2故点M的轨迹方程是(x-6) -y =4 (II)假设在X轴上存在定点C(m,0)，使CACB为常数.当AB不与x轴垂直时，设直线 AB的方程是y =k(x-2)(k H1).代入 x2-y2 =2 有(1-k2)x2 +4k2x-(4k2 +2) =0 .2 24k24 k2 +2则N, x2是上述方程的两个实根，所以 Xj +X2 = , x1x2k -1k -1于是 cAcB =(为-m)(X2 -口)+12(为-2)(X2 -2)=你2 +1)X2 -(2k2 +m)(x, +X2) +4k2 +m22 2 2 2=(k +1)(4k +2) 4k (2k +m)+4k2 协2k2 1k2 122(1-2m)k +2+m22(14-4m +27十m 一十,2, mk -1k -1因为是与k无关的常数，所以4-4m=0,g卩m=1，此时=一1.当AB与x轴垂直时，点 A, B的坐标可分别设为（2,J2） , （2,-J2）,此时 CACB =(1,72)_(1, -72) = -1 .故在x轴上存在定点C（1,0），使为常数.2v/520. （I）由题意知，双曲线C的顶点（0- a）到渐近线ax-by = 0的距离为一5ab所以Ja2 +b2ab 255虽22 .由ac2 =a2 +ba =2得 b =12所以曲线C的方程