2019年中考二轮数学练习精品讲解-分式

1、2019 年中考二轮数学练习精品讲解- 分式注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！本章小结小结 1本章概述本章在已学过的分数的基础上引入了分式的概述，用类比的方法探究分式的基本性质，在熟练掌握分式的基本性质的基础上，会进行分式的约分、通分和分式的加、减、乘、除、乖方运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根、小结 2 本章学习重难点【本章重点】 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简

2、单的可化为一元一次方程的分式方程.【本章难点】应用分式方程解决实际问题、小结 3中考透视本章内容在中考中主要考查判断分式有无意义，分式值为零的条件的应用，用分式基本主、知识网络结构图分式的概念分式的概念分式的意义、无意义的条件分式的值为0 的条件分式的基本性质分式的基本性质分式的约分分式的通分分式的乘法规那么分式的除法规那么分式同分母分式的加减法法那么分式的运算分式的加减法法那么异分母分式的加减法法那么运算性质负正数指数幂科学记数法公式方程的概念解分式方程的步骤分式方程分式方程中使最简公分母为列分式方程应用题的步骤0 的解专题总结及应用【一】识性专题专题 1 分式基本性质的应用【专题解读】分式

3、的基本性质是分式的化简、计算的主要依据性质，才能更好地解决问题.例 1 化简. 只有掌握好分式的基本(1)6xy ;(2)xyy ；10 x2x21解： (1)6xy2x 3y3 y.10x22x 5x5x(2)xyyy( x 1)y.x21( x 1)(x1)x1【解题策略】 化简一个分式时， 主要是根据分式的基本性质，把分式的分子与分母同时除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式.例 2计算31221a 2a24a2 a2解：12213a2a24a2a 23(a2)122( a2)a 2( a 2)( a2)(a2)( a2)( a2)( a2) ( a2

4、)(a2)3a18a 6(a 2)( a2)( a 2)( a2)3.【解题策略】 异分母分式相加减， 先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减 . 在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式 . 运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.专题 2 有关求分式值的问题【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值. 但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值, 而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法.例 3x1, 求x2的值 .x3

5、x4x21解 : 因为 x0 ，所以用 x 2 除所求分式的分子、分母.原式.1111x211( x12213236x2)x例 42x2xy 3 y20 ，且 xy ，求x的值 .yx2xy解 : 因为 2xxy3 y0 ，22所以 ( xy)(2 x3y)0,所以 x y0 或 2x 3y 0 ,又因为 xy , 所以 xy0 , 所以 2x3y0 , 所以y2x,3所以xxxx3.x22x22x3x7x7yxxy3233xx3例 5345求xyz的值 .,xyyzzx( xy)( yz)(xz)解 : 设3451 ,yxxyzzk那么 xy3k, yz4k, z x 5k ,解得 x=2k

6、， y=k， z=3k，所以xyz2k k 3k6k 31 .( xy)( yz)( xz） 3k 4k 5k60 k310例 6xa,z且 abco , 求abc的值 .yzyc,a1b 1c1x解 : 由得 1yzax,所以 11y z1x y z即 a 1 x y z ,axx,ax所以ax,a1xyz同理bycz,b 1xyc1xyzz所以abcxyzx y z.1a1b1c1xyzxyzxyzxyz例 7xyz且 x y z0 , 求x2y2z2的值 .y z z x x y1,y z x z x y解 : 因为 xy z 0 ,所以原等式两边同时乘以xy z , 得:x( x y

7、z)y( x y z） z( x y z)yz.yzzxxx y即 x2x( y z)y2y( z x)z2z(x y)y zy zz xz xx yx y z,x y所以x222yz(x y z)x yz,yzzxxy所以x222yz0.yzzxxy【解读策略】 条件分式的求值， 如需把条件或所示条件分式变形， 必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果， 条件分式的求值问题表达了整体的数学思想和转化的数学思想 .例 8 xyz求x y的值 .345,x2 y3z分析 根据条件 , 可把 x, y, z 用含有一个字母的代数式表示出来, 再分别代入到所求式子中化简即可 .解 : 设 x

8、yzk ,那么 x 3k , y 4k, z 5k .345所以x y3k4k7k7 .xzy3z3k2 4k 3 5k10k10【解题策略】 当代数式中的字母的比值是常数时，一般情况下都采用这种方法求分式的值 .例 9 a b b c a c求k的值 .cak,k 21b分析只要求出k 的值就可以了, 由条件可得 a b ck , bc ak, a c bk , 将这三个等式可加后得到2(a bc) k( abc), 再通过讨论得到k 的值 .解 : 由到 a bck,bcak, acbk .三式相加得 2(abc)k( abc), 即 (2 k)(a b c) 0 ,所以 2 k0 , 或

9、 a b c 0 .即 k2 , 或 a bc0 .当 a b c0 时 , a bc , 此时 a b即 k1.c1,所以 k2 , 或 k1 .当 k2 时 ,k22 ;1221k 25当 k1时 ,k11 .k 21 (1)212【解题策略】在得到2(abc)k( a bc), 时，因为 a b c 可以等于零，所以两边不能同时除以abc ，否那么分丢解，应进行整理，用分解因式来解决.例 10 111求 ba 的值 .abab,ab分析观察条件和所示的分式, 可将它们分别进行整理 , 从中得到某种关系 , 然后求值 .解 : 由 111得 a b1,aba,ababb所以 ( ab)ab

10、, 即 a2b2ab .2所以 baa 2b2ab.ababab1例 111, 求以下各式的值 .x4x(1)21 ;(2)x2.xx2x4x21分析观察 (1)和条件可知 ,将等式两边分别平方再整理, 即可求出 (1)的值 ; 对于 (2), 直接求值很困难 , 根据其特点和条件, 能够求出其倒数的值 , 这样便可求出 (2)的值 .解 :(1)因为1, 所以2.x4x142xx即1. 所以x21.x221614x2x2(2)x4x21x4x2121,x2x2x2x2xx21 14 1 15所以x21 .3243a0x4x2115专题 2 与增根有关的问题例 12 如果方程131x 有增根

11、, 那么增根是 .x22x分析因为增根是使分式的分母为零的根, 由分母 x2 0或 2 x0 可得 x2 . 所以增根是 x2 .答案 :x2例 13 假设关于 x的方程x2a有增根 , 那么 a 的值为 ()4 x0x3A.13B. 11C.9D.3分析因为所给的关于 x 的方程有增根 , 即有 x30 , 所以增根是 x3 . 而 x3 一定是整式 x24xa0 的根 , 将其代入得 3243a 0 , 所以 x 3 .答案 :D例 14a 何值时 , 关于 x 的方程2ax3会产生增根 ?x2x24x2分析因为所给方程的增根只能是x2 或 x2 ，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出其

12、根，然后求a 的值 .解 : 方程两边都乘以 ( x 2)( x2) , 得 2( x2) ax3( x 2).整理得 (a 1)x10 .当 a=1 时 , 方程无解 .当 a1时 ,10 .x1a如果方程有增根 , 那么 (x 2)( x2) 0 , 即 x2或 x2 .当 x2 时 ,10, 所以 a4 ;a 12当 x2时 ,10, 所以 a=6.a 12所以当 a4 或 a=6 原方程会产生增根 .专题 4 利用分式方程解应用题【专题探究】列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题. 检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.例 15 在“情系海啸”捐款

13、活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息 .信息 1：甲班共捐款300 元，乙班共挡捐款 232 元 .信息 2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的4 .5信息 3: 甲班比乙班多2 人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元 .解 : 设甲班平均每人捐款x 元 , 那么乙班平均每人捐款4 x 元 .5根据题意 , 得, 解这个方程得 x 5 .300232x42x5经体验 , x5 是原方程解 .例 16(08 山西 ) 某文化用品商店用2000 元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包， 所购数量是第二批进数量的 3 倍，但

14、单价贵了 4 元，结果第二批用了 6300 元 . 1求第一批购进书包的单价是多少？ 2假设商店销售这两批书包，每个售价都是120 元，全部售出生，商店共盈利多少元？分析 设第一反批购进书包的单价为x 元，那么第二批购进的书包的单价为(x 4) ，第一批购进书包 2000 个，第二批购进书包6300个 .xx 4解 : 设第一批购进书包的单价为x 元 .依题意 , 得 20006300,x34x整理 , 得 20( x 4)21x , 解得 x80 .答 : 第一批购进书包的单价为80元.解法 1:(2) 2000(120630084)10002700( 元 ).8080)(120370084

15、答 : 商店共盈利 3700 元 .解法 2: 20003)120(20006300)120008300( 元 )(1370080答 : 商店共盈利 3700 元 .【二】规律方法专题专题 5 分式运算的常用讨巧 1顺序可加法 . 有些异分母式可加 , 最简公分母很复杂 , 如果采用先通分再可加的方法很烦琐 . 如果先把两个分式相加减 , 把所提结果与第三个分式可加减 , 顺序运算下去 , 极为简便 .(2) 整体通分法 , 当整式与分式相加减时 , 一般情况下 , 常常把分母为 1 的整式看做一个整体进行通分 , 依此方法计算 , 运算简便 .(3) 巧用裂项法 . 对于分子相同、 分母是相

16、邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111进行裂项 .n(n 1)nn 1(4) 分组运算法 : 当有三个以上的异分母分式相加减时 , 可考虑分组 , 原那么是使各组运算后的结果能出现分子为常数 , 且值相同或为倍数关系 , 这样才能使运算简便 .(5) 化简分式法 . 有些分式的分子 . 、分母都异常时如果先通分， 运算量很大 . 应先把每一个分别化简，再相加减 . 6倒数法求值取倒数法. 7活用分式变形求值 .(8) 设 k 求值法 ( 参数法 )(9) 整体代换法 .(10) 消元代入法 .例 17 化简112x34xx1x1x21x41解

17、: 原式 = x 1x 12x4x32x2x4x3x21 x21 x21 x4 1 x21 x21 x412x( x21) 2x( x2 1)4x34x34x3(x21)(x21)x41 x4 1 x4 14x3 (x4 1) 4x3 ( x4 1)8x7.( x4 1)( x41)x81例 18 计算a24.a 2解：原式a24(a2)(a2)41a2a2a2(a2)( a2) 4a2a2a2例 19 计算3.x2xx1x1解：原式323x2x1x1( x1)( x1x 1)x1xxxx31x31 .x 1x1例 20 计算1111.a(a1)( a 1)(a2)(a2)(a3)(a2005

18、)( a2006)解 : 原式11111111aa1a 1 a2a2a3a2005a 200611111111aa1a1a2a2a3a2005a200611aa2006a2006aa(a 2006) a( a 2006)2006.a22006a【解题策略】要注意裂项法解分式是，常用分式111.n(n1)nn1例 12 计算1111.x2x x22x x x23x 2 x24x 3解 : 原式1111x2x x 23x 2x22x 1 x 24x 31111x( x 1)(x1)(x2)x( x1)2(x1)(x3)(x2)x(x3)( x1)x(x1)(x2)(x1)2 (x3)22x(x1)

19、(x2)(x1)2 ( x 3)2( x 1)(x 3)2x( x 2)x(x1)2 ( x2)( x3)2(2 x26 x3).x(x1)2 ( x 2)(x3)例 22 x3, 求111.x2x24x2解 : 原式111( x2)( x2)1x 2 x 2 x24x24x24413.x24x24x24当 x3, 原式33(13) 242.例 23 计算 x 3x 6 x 5x 2 .22x23x2x25x6解 : 原式1414x23x2x25x6x24x243x25x 644(x1)(x2)(x2)( x3)4(x3)4( x1)(x1)(x2)( x3)( x2)( x3)(x1)8x1

20、6(x1)(x2)( x3)8.(x1)(x3)例 24x, 求2的值 .x27xx1x4x21解 : 因为x, 所以 a0 ,x2x 17所以 x2x 11 , 即1 8 ,x7xx7所以x4x21121521x11x2xx2x49所以x215 .x4x2149【解题策略】 在求代数式的值时，有时所给条件或所求代数式不易化简变形，当把代数式的分子、 分母颠倒后， 变形就容易了， 这样的问题通常采用倒数法把分子、 分母倒过来求值 .例 25x25x 10和 x0 , 求1的值 .x4x4解 : 由 x25x 1 0和 x0 , 提1,xx5所以112x4x22x4x222x122x(522)2

21、2527【解题策略】假设能对分式进行熟练的变形运用，可给解题带来极大的方便.例 26 bcc aab求abc的值 .abc,abbc(c a)解 : 设 bccaab,abck所以 bcak, cabk , abck所以 bcc aabakbkck,所以 2( abc)k (abc),( abc)(2k)0,即 k2 或 (a bc)0,当 k2 , 所求代数式abc11 ,abck 3k 38当 abc0 , 所求代数式1.即所求代数式等于1 或 1.8【解题策略】当条件以此等式出现时，可用设k 法求解 .例 27 111111111求abc的值 .ab,bc,ac15,bcac69ab解

22、: 因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1ab6,c9,c,ba15各式可加得111111 ,2abc6915所以 11131 ，abc180所以ababcabc(abc)111180 .bcac(ab bcac)(abc)131cab例 28 假设 4x 3 y 6z 0, x2 y 7 z, 求 5x22 y3z2 的值 .2x23y310 z2分析消元法首选方法，即把其中一个未知数视为常量.解：以 x,y 为主元，将两等式化为所以原式52222.9z4zz1329z234z210z2【三】思想方法专题专题 6 整体思想【专题解读】 在进行分式运算时要重视括号的作用，即在计算时括号内的部

23、分是一个整体，另外在分式的运算以及解方程时要注意符号的作用.例 29 请先将以下代数式化简，再选择一个你喜欢又使原式有意义和数代入求值.1a11a 1a1a22a 1分析先化简，再代入使a 1 0 的数 a 求值 .解原式a(a 1) (a 1)2.1a 1(a1a 1a 1a 11)2a 1取 a 10 ，那么原式 =9.【解题策略】将1 化为 a1 进行减法运算，计算时要注意分子a 1是一个整体 .a12017 中考真题精选【一】选择题1. 2017 广东珠海， 5，3分假设分式2a 的 a、 b 的值同时扩大到原来的10 倍，那么a b此分式的值A、是原来的 20 倍 B、是原来的10 倍 C、是原来的1 倍 D、不变10考点： 分式的基本性质专题： 分式分析： 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变；可知该运算中分式的值没有改变，应选D、解答： D点评： 抓住分式的基本性质，分式的基本性质是分式通分、约分的依据、 1在运用分式的基本性质进行通分或约分时，容易漏掉分子或分母中的某一项，从而出现运算错误、 2分式本身、 分子和分母三个当中， 任意改变其中的两个符号， 分式值不变，这也是一个易错点