四边形易错题汇编含解析

1、四边形易错题汇编含解析一、选择题1 .如图，菱形 ABCD中，点P是CD的中点，/ BCD=60,射线AP交BC的延长线于点 E, 射线BP交DE于点K,点0是线段BK的中点，作 BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N,连结M0、NO,以下四个结论： OMN是等腰三角形； tan / OMNZ3 ;BP=4PK;3【解析】C.D.【分析】根据菱形的性质得到定理 AADPA ECPAD/ BC,根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定 由相似三角形的性质得到 AD=CE,作PI/ CE交DE于I,根据点P是KPPI1CD的中点证明CE=2P, BE=4PI,根据相似三角形的性质得到 二

2、一，得到KBBE 4BP=3PK故错误；作0G丄AE于G,根据平行线等分线段定理得到MG=NG,又0G丄MN，证明MON是等腰三角形，故正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出 / OMN=3，故正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM?P A=3 PD，故正3确.【详解】解：作PI/ CE交DE于I,四边形ABCD为菱形， AD/ BC,/ DAP=/ CEP, / ADP=/ ECP 在 AADP 和 AECP中，DAP CEPADP ECP,DP CP ADPA ECP AD=CEPI PD则-，又点卩是CD的中点,PI _ 1CE 2/ AD=CEKP PI = 1KB BE

3、=4 BP=3PK故错误；作OG丄AE于G,/ BM 丄 AE于 M , KN丄 AE于 N, BM / OG/ KN,点O是线段BK的中点， MG=NG, 又 OG丄 MN ,OM=ON ,即MON是等腰三角形，故 正确； 由题意得，BPC, AMB, ABP为直角三角形, 设BC=2,则CP=1由勾股定理得，BP=J3 , 则 ap=77 , 根据三角形面积公式，BM=2!217点O是线段BK的中点， P B=3 PO, OG=1 bM=-21321MG=2Mp=2 ,37 tan / OMN= 二 ，故正确;MG 3/ ABP=90 , BM 丄 AP,- PB2= PM?PA,/ BC

4、D=60 ,/ ABC=120 ,/ PBC=30,/ BPC=90 , pb=73 pc,/ PD=PC, PB2=3 PD, PM?PA=3PD2,故 正确. 故选B.本题考查相似形综合题.150，贝y AEF =()2.如图，把矩形 ABCD沿EF对折后使两部分重合，若A. 110B. 115C. 120D. 130【答案】B【解析】【分析】3,然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算根据翻折的性质可得/ 2=/3,再求出/ 即可得解.【详解】矩形ABCD沿EF对折后两部分重合,150,./ C /C 180 -50/ 3= / 2=65 2矩形对边AD/ BC,/ AEF=180-/

5、3=180-65 =115.【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题 的关键.3.如图，在矩形 ABCD中，AB 6 , BC 8，若P是BD上的一个动点，则PB PC PD的最小值是（）A. 16【答案】D【解析】B. 15.2C. 15D. 14.8【分析】根据题意，当PC丄BD时，PB PC PD有最小值，由勾股定理求出 BD的长度，由三角 形的面积公式求出 PC的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC丄BD时，PB PC PD BD PC有最小值，在矩形 ABCD中,/ A=/ BCD=90 , AB=CD=6, AD=BC=8,由

6、勾股定理，得BD82 10， PB PD BD=10,在BCD中，由三角形的面积公式,1-BD ? PC 二21-BC?CD ,21即丄2解得:10PC1PC二一8 6 ,24.8,PD的最小值是: PB故选：I【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点PCD.PB PC PD BD PC 10 4.8 14.8;最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公P的位置，得到PC最短.4. 下列命题错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 两直线平行，内错角相等C. 等腰三角形的两个底角相等D. 若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析

7、】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判 断，即可得到答案.【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确；B、两直线平行，内错角相等，正确；C、等腰三角形的两个底角相等，正确；D错误;D、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故 故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性 质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.5. 如图，已知 AD是三角形纸片 ABC的高，将纸片沿直线 EF折叠，使点 A与点D重 合，给出下列判断： VDEF的周长等于VABC周长的一半： 若四边

8、形AEDF是菱形，则AB AC ； 若BAC是直角，则四边形 AEDF是矩形. 其中正确的是(A.【答案】A【解析】)B.C.D.【分析】根据折叠可得EF是AD的垂直平分线，再加上条件AD是三角形纸片ABC的高可以证明EFAE AF/ BC,进而可得 MEFsA ABC,从而得AB AC位线；再根据三角形的中位线定理可判断出aaef的周长是AOAD/曰1，进而得到2ABC的一半,EF是ABC的中进而得到 DEF的周长等于ABC周长的一半；根据三角形中位线定理可得1 1AE=AB, AF=-AC,若四边形2 2AEDF是菱形则AE=AE即可得到AB=AC.【详解】解： AD是ABC的高， AD

9、丄 BC,/ ADC=90 ,根据折叠可得：EF是AD的垂直平分线,1 AO=DO=AD, AD丄 EF,2/ AOF=90 ,/ AOF=/ ADC=90 , EF/ BC, AEFA ABC,AEAFAOAB ACAD EF是ABC的中位线，故正确； EF是ABC的中位线， AEF的周长是 AABC的一半， 根据折叠可得AEF DEF, DEF的周长等于 AABC周长的一半, 故正确； EF 是 ABC的中位线，2 11二 AE= AB, AF=AC,22若四边形AEDF是菱形，贝U AE=AF, AB=AC,故正确；根据折叠只能证明/ BAC=/ EDF=90 ,不能确定/ AED和/

10、AFD的度数，故 错误；故选：A.【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.6.如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE丄AM于点E, BF丄AM于点F,连接BE,若AF= 1,四边形ABED的面积为6,则/ EBF的余弦值是（【答案】B【解析】C.D.亟13【分析】首先证明ABFA DEA得到BF=AE设AE=x,则BF=x, DE=AF=1,禾ij用四边形 ABED的面1积等于AABE的面积与AADE的面积之和得到 一？x?x+?x X 1=6解方程求出X得到AE=BF=3,2

11、BE,最后利用余弦的定义求解.则EF=x-1=2然后利用勾股定理计算出【详解】四边形ABCD为正方形， BA= AD, / BAD= 90DE丄AM于点E, BF丄AM于点F,/ AFB- 90 / DEA= 90/ ABF+/ BAF= 90 , / EAD+/ BAF= 90, / ABF=/ EAD,在 ZABF 和 ZJDEA 中BFA DEAABF EADAB DA ABFA DEA (AAS), BF= AE；设 AE= X,贝U BF= X, DE= AF= 1,四边形 ABED的面积为6, 11,一 XXX122EF= X- 1 = 2,6，解得 xi = 3, X2=- 4

12、（舍去），在 RtABEF中,BE二 cos EBFBFBEJ22 32 屁,33屁故选B.【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边 形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质会运用全等三角形的知识解决线段相等的问 题.也考查了解直角三角形.7.如图，四边形 ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接 CF, DG,则 竺 ()CFA. d3【答案】【解析】【分析】连接AC 和 AF,DG证明ADAGsA CAF可得的值.CF【详解】连接AC 和 AF,AG则血AC/ DAG=45 -/ GAC,/ CAF=45-GAC,AF/ DAG=/ CAF. DGC

13、F故答案为:AD 72AC 2B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角 形.&在平面直角坐标系中， A，B，C三点坐标分别是（0, 0）,（ 4, 0）,（ 3，2），以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（A.第一象限【答案】C【解析】B.第二象限C第三象限D.第四象限A点在原点上，B点在横轴上，C点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平 行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C9.已知，如图，在VABC中， ACB 90，A 30，求证：BC - AB .在证明2该结论时，需添加辅助线，则

14、作法不正确的是（/A/B(-PA. 延长BC至点D，使CD BC，连接ADB. 在 ACB中作 BCE B，CE交AB于点C. 取AB的中点P ,连接CPD. 作 ACB的平分线CM，交AB于点M【答案】D【解析】【分析】分别根据各选项的要求进行证明，推出正确结论，则问题可解【详解】A：如图,解:选项D由辅助线可知，VABC ; ADC，则有ab=AD,再由 ACB 90，由 BAC 30 ，贝y B 60 , ABD是等边三角形2ab1- BC -DB2故选项A正确;选项B:如图，由辅助线可知,则 BECEBD是等边三角形EAC ECA 60 ,BE=ECA 30ECAA 30 AE=EC1

15、- BC -AB2故选项B正确选项C如图,有辅助线可知，CP为直角三角形斜边上的中线 AP=CP=BPA 30B 60 VPBC是等边三角形综上可知选项故应选D1 AB2D错误【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质的综合应用，根据条件选择 正确的证明方法是解题的关键.10.已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是 多边形的边数是（3： 1，这个A. 8【答案】A【解析】试题分析：设这个多边形的外角为x则内角为3x根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数.解：设这个多边形的外角为

16、x则内角为3x,由题意得：x+3x=180,解得x=45,这个多边形的边数：360。十45=8,故选A.考点：多边形内角与外角.B. 9C. 10D. 1211.如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF/BC，分别交 AB、CD 于点 E、F，连接 PB、PD，若 AE 1 ,PF 8，则图中阴影部分的面积为C.D. 9【答案】C【解析】【分析】由矩形的性质可证明 SapeB=Sa PFD,即可求解.【详解】作PM丄AD于M，交BC于N.四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形,SzADc=SzABc, Saamp=Saep，Szpbe=Spbn，SpfefSpdm， StcfSp

17、cn, 右 X 1 X 8=4S 阴=4+4=8, 故选：C.【点睛】此题考查矩形的性质、三角形的面积,解题的关键是证明Szpeb=Spfd.BD与 AC交于点 0, BD=8cm，AC=6cm，过点 0 作 0HDa. 5cm12.如图，菱形ABCD中，对角线)5B. cm212C. cm5【答案】C【解析】24D.cm5【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出0B、0C,再利用勾股定理列式求出BC,然后根据AB0C的面积列式计算即可得解.【详解】解：四边形ABCD是菱形，1 1AC丄BD, 0C 1AC -3,0B- BD 1 842 2在RtABOC中，由勾股定理得,BCJob2 oc2

18、42 5/ 0H 丄 BC,S/B0C0H1 1 -0C 0B -CB 22412故选C.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利 用两种方法表示 B0C的面积列出方程.BD相交于点O, DH丄AB于H,连接OH, / DHO=A. 25【答案】【解析】13.四边形ABCD是菱形，对角线 AC,20 ,则/ CAD的度数是（）.B. 20C. 30D. 40 ABCD是菱形,OB=OD, AC丄 BD,DH 丄 AB,四边形1OH=OB=_ BD,2/ DHO=20 ,/ OHB=90-/ DHO=70 ,/ ABD=/ OHB=70 ,/ CAD

19、=/ CAB=90-/ ABD=20 .故选A.两条对角线相交于点O,若OB= 6,则菱形面积是14.如图，在菱形 ABCD中，AB= 10 ,【答案】D【解析】C. 24D. 96【分析】BO= DO= 6，由勾股定理可求 AO的长，即可求解.由菱形的性质可得 AC丄BD, AO= CO,【详解】解：四边形ABCD是菱形， AC丄BD, AO= CO, BO= DO= 6,- AO= J AB2 OB27100 368， AC= 16 , BD= 12,菱形面积= 12_16 = 96,2故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键.15.如图，

20、在 ABCD中E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H, 则图中阴影部分图形的面积与 ABCD勺面积之比为（）【解析】C. 13 : 36D. 13 : 72【分析】根据已知条件想办法证明【详解】BG=GH=DH即可解决问题;解：四边形ABCD是平行四边形, AB/ CD, AD/ BC, AB=CD AD=BC,/ DF=CF BE=CE DHDF1BGBE1HBAB2，DGAD2 DHBG1 BDBD3，BG=GH=DHSeBG=SkAGH=SeDH,S平行四边形abcd=6 Sxagh,SAGH： S平行四边形ABCD =1 :E、F分别是边BC CD的中点,EF

21、1BD 21SVEFC1SVBCDD4，SvEFC1SVAGH S/EFC117 =7:24S四边形ABCD6824故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质, 题目的综合性很强，难度中等.AC8, BD 6,AD 5，则YABCD的面积为（）A. 6B. 12C. 24【答案】C【解析】【分析】由勾股定理的逆定理得出AOD90,即ACBD积公式即可得出结果.【详解】四边形ABCD是平行四边形， OC1OC AC 4, OB2OD1BD23, OA2OD225 AD2,D. 48，得出YABCD是菱形，由菱形面AOD 90，即ACBD ,- Y

22、ABCD是菱形,二YABCD的面积2acBD8 624 ；故选C.【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边 形的性质，证明四边形 ABCD是菱形是解题的关键.17.如图，四边形 ABCD的对角线为 AC BD,且AC=BD,则下列条件能判定四边形ABCDA. BA=BCB. AC BD互相平分C. AC丄 BDD. AB/ CD【答案】B【解析】 试题分析：根据矩形的判定方法解答.解：能判定四边形 ABCD是矩形的条件为 AC BD互相平分. 理由如下： AC BD互相平分，四边形ABCD是平行四边形， / AC=BD, ?ABCD是矩形.其它三个

23、条件再加上 AC=BD均不能判定四边形 ABCD是矩形.故选B.考点：矩形的判定.18.如图，四边形 ABCD和EFGH都是正方形，点E, H在AD, CD边上，点F, G 在对角线AC上，若AB 6，则EFGH的面积是（）【解析】C. 9D. 12【分析】根据正方形的性质得到/ DAC=/ ACD= 45,是等腰直角三角形，于是得到DE=2eH=2由四边形EFG H是正方形，推出 AEF与 DFH4242 EF, EF= AE,即可得到结论.2 2【详解】 解：在正方形 ABCD中，/ D= 90, AD= CD= AB,/ DAC=/ DCA= 45,四边形EFGH为正方形， EH= EF

24、, / AFE=/ FEH= 90/ AEF=/ DEH= 45 AF= EF, DE= DH,在 RtMEF 中，AF2 + EF2 = AE2,- AF= EF= ZIaE,2同理可得：DH= DE=妲eh2又 EH= EF,12AE,4272 42- DE= * EF= * 二 AE=222/ AD= AB= 6, DE= 2, AE= 4, EH= 72dE= 22， EFGH 的面积为 EH2=( 2J2)2= 8,故选：B.【点睛】 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，熟练掌握 图形的性质及勾股定理是解决本题的关键.19.如图，AABC的角平分线 CD BE相交于F,/ A= 90 EG/ BC,且CG丄EG于G,下1列结论： / CEG= 2/DCB; / A