圆锥曲线基本知识点总结

1、圆锥曲线的方程与性质1.椭圆（1）椭圆概念 平面内与两个定点Fi、F2的距离的和等于常数 2a （大于IF1F21）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若 M为椭圆上任意一点，则有IMF, 1 + 1 MF2 |=2a。椭圆的标准方程为:2 2x yp+%=1 （ ab0 ）（焦点在x轴上）a b2 2y x+ =1 （ ab0 ）（焦点在 y 轴a b2 2在冷=1和 2a ba2母的大小。例如椭圆一+上m2=1 n（m0，n0，mHn ）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当 m0，其中 b2 =a2-c2 ；2 2与+計1两个方程中都有50的条件，要分

2、清焦点的位置，只要看x2和y2的分表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质范围：由标准方程2x2a=1知Ixa，I y b，说明椭圆位于直线 x = a，y = b所围成的矩形里;对称性：在曲线方程里,若以-y代替y方程不变，所以若点（x,y）在曲线上时，点（x,-y）也在曲线上,所以曲线关于x轴对称，同理，以-x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以 -X代替x，-y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心; 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭

3、圆的标准方程中，令X = 0，得y =b，则Bi（0,b）， B2（0,b）是椭圆与y轴的两个交点。同理令y = 0得x = a，即A（a,0），A2（a,0）是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 AA、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;在ROB2F2中，I0B2 |= b，|OF2 |= c, | B2F2 |= a，且 IOFzfTBFzI2 IOB2I2，即 C2 =a2-b2 ；c离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e

4、=叫椭圆的离心率Tac0 , Ocecl，且e越接近1, c就 a越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0 ,从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a = b时，C = 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2 + y2 =a2。2.双曲线(1)双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(IIPFi| I PF2 42a）。注意：式中是差的绝对值，在02&a ， X a即双曲线在两条直线 x=a的外侧。2 2对称性：双曲线 务-气=1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点a b2 2是双曲线 务-

5、=1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 a2 b2顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线22笃-与=1的方程里，对称轴是 x,y轴，所a2 b22 2 以令y =0得X = a，因此双曲线和X轴有两个交点 A a,0)A2(a,0)，他们是双曲线 令-y2 =1的顶点。a b令X = 0，没有实根，因此双曲线和 y轴没有交点。，双曲线的顶点分别是实轴的两个1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） 端点。2）实轴：线段 A A叫做双曲线的实轴，它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B B?叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b,b叫做

6、双曲线的虚半轴长。 渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从2 2图上看，双曲线 笃与=1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。a b 等轴双曲线:1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a = b ；2）等轴双曲线的性质：（1 ）渐近线方程为：y = x ； （2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征2 2a = b，则等轴双曲线可以设为：x y= A（A工0），当A 0时交点在x轴,当几0 ）叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（卫，0）,它的准线方程是 x = -2 2（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其 他几种形式：y2 = -2px, X2 =2py , x2 = -2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如标准方程2y =2px(P 0)2y =-2px(Pa0)2X =2py (P 0)图形焦点坐标准线方程范围对称性顶点离心率(P0)X 0(0,0)e =1(却)X 0(0,0)e =12X =-2 py (P 0)L/(宀)y