圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结

1、圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结1. 圆锥曲线的两个定义:（1）第一定义中要重视 括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点岛，爲的距离的和等于常数2a，且此 常数2a 一定要大于I耳骂L当常数等于 F1骂时，轨迹是线段岛场，当常数小于 闻尸时，无轨迹；双曲线中，与两定点氏，耳的距离的差的绝对值等于常数 2a,且此常数2a一定要小于I耳码1,定义中的 绝对值”与2a i 0） （1）椭圆：焦点在 X轴上时/ 护q +1（说 A占 0）d 2 L Z cy轴上时/护。方程曲+力表示椭圆的充要条件是什么？（ABCM0，且A，B，C（答: pu 匸）;兀，yj同号，AMB）。比如：已知方程3 +

2、丘2-表示椭圆，则k的取值范围为y 亠 y 1y 亠一y = （ 0, 0）2 n 2 r（2） 双曲线：焦点在x轴上：也2 护 ，焦点在y轴上：卅护。方程虫 +妙=C表示双曲线的充要条件是什么？ （ABO0，且A，B异号）。比如：双曲线的离心率等于2，且与椭圆/ 1 * 宀 1屮一 = 1一 y 15 4有公共焦点，则该双曲线的方程 （答：4）;（3）抛物线：开口向右时h =如（尹0），开口向左时h=-2w（0），开口向上时宀切9 A 0）， 开口向下时dpyS。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）3 a（1 ）椭圆：由T J分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已

3、知方程 kl-1 2-叨 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 _（答：2 ）（2）双曲线：由汽护项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒:（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点坷、码位置，焦点、的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中,a最大，/=护+/，在双曲线中，c最大，/=/ +护。4.圆锥曲线的几何性质：耳 + T 1 （a、乂* *八

4、心（1）椭圆（以/护为例）：范围：；焦点：两个焦点（业,0）；对称性：两条对称轴x=0,y=0 , 一个对称中心（0,0）,四个顶点（土,0）,（0，址），其中长轴长为2a,短轴丄盘 x=长为2b；准线：两条准线离心率:C 毂=椭圆O 0 召1，e越小，椭圆越圆；e越大,椭圆越扁。2 2X肿h 比如：若椭圆5 滋32（2）双曲线（以说 护对称性：两条对称轴的离心率m的值是_ （答：3或3 ）;为例）：范围：xS你或eg；焦点：两个焦点（业）；x=0,y=0，一个对称中心（0,0），两个顶点（如,0），其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为卞

5、2-尹2=疋,七字0 :准线：两条准力厂线C ；离心率：，双曲线 0 小，等轴双曲线 0 = 72, e越小，开口越小，e越大,y亠开口越大；两条渐近线：。713 713（答：2或a（ 0）（3）抛物线（以b =2悴为例）：范围：不y亡衣；焦点：一个焦点2， 几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴y=0,没有对称中心，只有一个顶点（比如：双曲线的渐近线方程是 弘士二0，则该双曲线的离心率等于其中P的0,0）；、一乂三准线：一条准线2；离心率：ta,抛物线 0 = 1。如设，则抛物线y = 4谟*的焦点坐标为（答:M +斗=论0)耳的关系：(1)点P(心片)在椭圆外(2)点P(心丿在椭

6、圆上(3)点Pgyj在椭圆内6.直线与圆锥曲线的位置关系：(1)相交：A Oo直线与椭圆相交； A Oo直线与双曲线相交， 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 分条件，但不是必要条件；A A 0 Q直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 件，但不是必要条件。但直线与双曲线相交不一定有 A 0 , A 0是直线与双曲线相交的充A 0，当直线与A0也仅是直线与抛物线相交的充分条22 r比如：若直线 y=kx+2与双曲线X -y = 6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（答:呼T)；(2) 相切：A =

7、 0O直线与椭圆相切； A = 0O直线与双曲线相切;(3) 相离： 0 O直线与椭圆相离；右0 O直线与双曲线相离;A = 0 O直线与抛物线相切; A 椭圆4M的坐标为35（答:3）；内有一点P（1,-1）, F为右焦点，在椭圆上有一点M，使阿+2|M阿之值最小，则点（答：普S岳 =28上的点到直线 女一 2一16 = 0的最短距离（答：问题：常利用第一定义和正弦、余弦8焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 P（忌以:到两焦点F巧的距离分别为U心，焦点也冷耳的面积为F，3222_ +乙二 13 = arccos（则在椭圆疋沪 中，甘2.宀

8、2隘C = arc匚閃一a_ 1），且当耳=广卞即P为短轴端点时，0最大为4-4=1双曲线/占2的焦点三角形有：0g 百2 tan = （? I Vf, I I M |_Or，2,当I片Fb即P为短轴端点时,j的最大值为be；对于&- arcccE 1I 仞丿；$=丄尸工血8 =护cot=2 2。_ 2比如：短轴长为丁,离心率-3的椭圆的两焦点为珥，码，过码作直线交椭圆于A、B两点，则人丘码的周长为 （答：6）;（2）设 AB（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则/ A

9、MF =/ BMF ;的延长线交准线于 C,则BC平行于x轴，反C三点共线。A、B，且X1也!分别为A、B的横坐标，则分别为4.A,若P为4耳的中点，贝U PA丄PB; （4）若AO 之，若过B点平行于x轴的直线交准线于 C点，则A，10、弦长公式：若直线=后+&与圆锥曲线相交于两点肋I二J1 +鬥吗-咄，若九乃分别为A、B的纵坐标,卜打弘如若弦AB所在直线方程设为妙+0,则1 = J1+F 31-幻。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算,般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。比如：过抛物线h = 2兀焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|

10、=10, 0为坐标原点，贝U ABC重心的横坐标为（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用2 ）二+1 韦达定理”或点差法”求解。在椭圆/沪 中，以F（心为中点的弦所在直线的斜率上=1在双曲线卩 F 中，以尸（亦兀）为中点的弦所在直技=字在抛物线中，以23X y , + = 1比如：如果椭圆 369 弦被点A （4, 2）平分，那么这条弦所在的直线方程是兀+2 y-S = Q）；12你了解下列结论吗？双曲线，护的渐近线方程为门於 ；线的斜率戸（血，甘0为中点的弦所在直线的斜率。(答:(1)(2)上4-4=14-4=以 肝 为渐近线（即与双曲线 占 共渐近线）的双曲线方程为 b

11、（久为参数，X工0。中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为口 ,焦准距（焦点到相应准线的距离） 为C ,抛物线的通径为2p,焦准距为p；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线y =2和9 A 0）的焦点弦为AB ,诵=5乃卫（可（毛必），则丨纠=叼+ 2厂戸；（7）若OA、0B是过抛物线y顶点0的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点（2p,0）13. 动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系如已知动点P到定点F（1

12、,0）和直线/=-12Cz-4）（3;v4或b = 4卞（0 0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件对称轴，过A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答 :八m定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如点M与点F（4,0）的距离比它到直线z+5=0的距离小于1,则点M的轨迹方程是 （答:bid）；代入转移法：动点P（x,y）依赖于另一动点的变化而变化，并且2（心,又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示心必，再将心必代入已知曲线得要求的轨迹方程;如动点P是抛物线y- + l上任一点，定点为A（0,

13、-1）,点M分刃所成的比为2,则的轨迹方（答：3）；参数法：当动点 P （x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）程为x,y均如若点代西小）在圆H +h = 1上运动，则点儿+ Xl）的轨迹方程是j/= = 2x-hl（|x|）；己丿；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式 进行 摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行摘帽子或脱靴子”转化。2 2= 1口血 A 0）如已知椭圆/护的左、右焦点分别是F1 （-c，0）、F2 （c，0），Q是椭圆外的动k

14、hh点，满足I点p是线段年e与该椭圆的交点，点T在线段爲12上，并且满足 円開=01巩-C.（1）设x为点P的横坐标，证明口 ；（ 2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点 皿，使 F1MF2的面积S=若存在，求/ F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由J 22兰 df（答：（1）略；（2）*+=;（ 3）当Q时不存在；当0时存在，此时/ F1MF2 = 2） 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点 对轨迹的完备性与纯粹性”的影响. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于 平面几何性质”数形结合（如角平分线的双重身份 一

15、一对称性、利用到角公式卜方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、分类讨论思想”化整为零分化处理、求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 如果在一条直线上出现三个或三个以上的点”，那么可选择应用 斜率或向量”为桥梁转化.14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量豆=（1朮）或M ；给出刃十看与AB相交,等于已知习十iS过AB的中点； 给出丽+兩=0,等于已知P是MN的中点； 给出乔+元=几丽+葩）,等于已知P,Q与AB的中点三点共线；（5）给出以下情形之一：忑走；存在实数使刁倉= E5c；若存在实数且口 +1,使龙=沏+成，等于已知A,B,C三点共线(6)是钝角,芜亟唾_给出1+兄，等于已知P是苑5的定比分点，人为定比，即 丽=2西给出血倔=0,等于已知 M 1倔,即是直角，给出 M3 =慚 0,等于已知ZAMB是锐角。(9)在平行四边形ABCD中，给出1石+兀盲疋）=0，等于已知ABCD是菱形；（10）在平行四边形ABCD中，给出|/0+AD AB-AD，等于已知abcd是矩形；3_ 2 2（11）在ABC中，给出加 =03 =CC ,等于已知 0是 ABC的外心（三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）（12）在ABC中，给出 十OB+OC