因式分解的常用方法

1、因式分解的常用方说LOGYOUR LO(某某广告设计有限么总改制作自子片.电干画册 冃严品动画设ih广吿设计、发布、An album of paintinss of cal 1 ing card of the professicxial electron that make, electron, catalog produce animation design, advertisement design, release, instalb因式分解的常用方法第一部分.方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之 中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解

2、方法灵活，技巧性强，学习这些方法 与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的 思维能力，都有着十分独特的作用-初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式 法、分组分解法和十字相乘法-本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方 法、技巧和应用作进一步的介绍.一. 提公因式法 : ma+mb+mc=m(a+b+c)二. 运用公式法.在整式的乘.除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如:(1) (a+b) (a-b) = fT/aM/= (a+b) (a-b)；5. 2x1 + /? 一 2b + 2ah +16. +

3、a* 土 2ab+b= (at 土 b) * ；(a+b) (a-ab+b =a+ba+b= (a+b) (f-ab+b?)；(a-b) (a+ab+b = a-b(n-b) (a+ab+b).F面再补充两个常用的公式: (5) a+b+c+2ab+2bc+2ca= (a+b+c)： (6)a+b+宀3abc=(a+b+c) (a+b+J-ab-bc-ca) j三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 练习S分解因式1、 -ab + ac-bc（二）分组后能宜接运用公式 例3、分解因式S -V- -y- + ax + ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、 能继续分解，所以只能另外分组。解

4、：原式-y-) +(ax + ay)-(x + y)(x-y) + a(x + y)(x + y)(x-y + a)例冬分解因式：a-2cib + h-e-解J 原式2,ub + h c-a-h- -c= (a-h-c)(a-h + c)四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就2.宀加3+2-93.43-4心-心+巧4. -V - 2xy -XZ + yz + y?综合练习：L a- -6ah + 2l + 9h -4a四. 十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式宜接利用公式x? +( + q)x+M = (x+pXx + q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1;(2) 常数项是两个

5、数的乘积;(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律 例已知0VaW5,且“为整数，若2疋+3戈+ 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项 式axQbx+c,都要求=沪-4(0而且是一个完 全平方数。于是 = 9一&(为完全平方数=1(二)二次项系数不为1的二次三项式ax- +加+ C条件：(1) a =（2） C = qc（3）b =+分解结果： ax +Z?x + c =（4；v + CiXo2 欠+ 5） 例7、分解因式：3, - 11兀+ 105(-6) + (-5) = 11解J 3x2-1Lr + io=(x-2)(3x-5

6、)练习7、分解因式：（1） 5X-+7X-6(2) 3X-1X + 2(3) 10，一17x + 3(4) -6y+lly + 10= (% + l)(x-2)-= Cv+l 心-2)2（三）二次项系数为1的齐次多项式 例 8、分解因式：-分析：将b看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1* + 6y例 10. x-y-3xy + 2= (2005x + l)(x-2005)(2)型如abcd + e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式+7x + 6)(x +5x + 6) + x设x，+ 5x + 6 = A,贝+ 7x + 6 = A + 2x原

7、式=(4 + 2x)A +/=/V + 2.Ax+x= (A + x) = x +6x + 6)2练习 13、分解因式(1) (x-+xy + y-)- -4xyCv + y-)(2)(X-+3X + 2X4X- +8,v + 3) + 90 (3) “r+1)2+(/+5)2-4(2+3)2六.添项、拆项、配方法，试根法，短除法。例15.分解因式(1) %-3，+4解法2添项。解法1一一拆项。原式=x +1 3x + 3原式一3/2 一4兀+ 4x + 4=x(x 一 3x - 4) + (4x + 4)=(x + l)(x-x +1) 一 3(x + l)(x -1)=(x+ l)(x -

8、X +1 -3x + 3)=xx + l)(x-4) + 4(x +1) =(x + l)(x -4x + 4)=(x + l)(x - 4x + 4)解：原式=(尤9 1) +(X& - 1) + (F - 1)= (x3 - IX-V + 兀3 + 1) + (兀3 _ 1)(3 + 1) + (x3 _ 1)X-DX+x+i + x+I + I)=(X - l)(x- + X +1)(+ 3)练习15.分解因式(1) x3-9x + 8(2) (x+F+C?-1)2+(4) %* + X + 2ax + -a(5)宀)，+(x+yr(6) 2专 + 加1+22-七.待定系数法或双十字相乘

9、法。例 16-分解因式X +A-6y +x + 3y-6分析：原式的前3项，+；,_6），2可以分为（x + 3y）（x_2y）,则原多项式必定可分为 (X + 3y + m)(x - 2y + )解设x， + xy-6y + X + 13y - 6 =(X + 3 + in)(x - 2y + n) *.*(X + 3y + m)(x 2y + n) + xy-()y + (m + nx + (3 - 2m)y - mn/ X +xy-()y +x + i3y-6-x +xy-6y + (m + nx + (3n -2m)y -nvim = -2 = 3in + n = I对比左右两边相同项的系数可得3/1-2加= 13,解得.inn = -6A 原式=(X + 3y - 2)(x 一 2y + 3)练习 17-(1)分解因式X- - 3xy-Qy- +x + 9y-2(2)分解因式X + 3x + 2y + 5x + 7y + 61 在 AABC 中，三边 a, b, C 满足 a? - 16b -c +6ab+ 10bc = 0求证：a + c = 2b2 已知：x + - = 2 则x+-V =Xx3. 已知：x + y = 6,